圆锥形及阶梯型变幅杆模态分析

超声波变幅杆的设计及修正摘要:超声变幅杆是超声波振动系统中一个重要的组成部分。

本文结合超声变幅杆理论对设计变幅杆进行结果分析及参数修正,采用ANSYS 12.1对变幅杆进行了有限元模态分析，在此基础上，设计并加工了一个应用于超声显微切割系统中的、谐振频率为70 kHz的半波长圆锥型变幅杆，和用于超声波近场悬浮的、谐振频率是20kHz的阶梯型变幅杆，并进行了相关实验。

实验结果表明，利用ANSYS软件辅助设计方法得到的超声变幅杆，其谐振频率与模态分析值非常接近，修正理论也可以让变幅杆谐振频率更加接近设计值，为超声变幅杆的设计、校核和优化提供了一种新途径。

关键词:变幅杆;有限元;模态分析Design and Revise of Ultrasonic hornAbstract：Ultrasonic horns apply widely in ultrasonic processing. Combined with ultrasonic horn theory, correct the ultrasonic hornby formula, analysis the modal of horn by ANSYS 12.1, on this basis, design a half-wavelength conical horn which resonant frequency is 60kHz, used by a ultrasonic micro dissection system, and a stepped ultrasonic horn which resonant frequency is 20kHz, used by a near-field acoustic levitation system, then make the related experiment. The results show that the resonant frequency of the ultrasonic horn designed by ANSYS is approaching the theory value, the correction coefficient also can make the resonant frequency approach the theory value, that provides a new way to design, checking or optimization.Key word:Ultrasonic horn; Finite element; Modal analysis引言超声变幅杆是超声振动系统的重要组成部件，它在振动系统中的主要作用是把机械振动的质点位移量或运动速度放大，并将超声能量集中在较小的面积上[1]。

在高强度超声应用中，如超声加工、超声焊接、超声切割、超声波悬浮等场合，所需要的振幅大约为几十至几百微米，但是超声换能器辐射面所产生的振动幅度较小，一般只有几微米，所以必须借助变幅杆将机械振动质点的位移或速度放大至满足工程应用要求。

目前，有关超声变幅杆的设计，国内外主要采用传统解析法、等效电路法与替代法等，但是这些方法普遍存在计算量大而且设计精度不高的缺陷。

运用有限元分析软件ANSYS，可以有效地解决传统设计方法中存在的不足[2]。

因此，运用ANSYS，通过对超声变幅杆进行模态分析和参数优化，可以大大提高设计效率和精度。

本研究结合ANSYS软件，设计一个在超声显微切割系统应用的、谐振频率为60 kHz的半波长圆锥型变幅杆和超声波悬浮中应用的谐振频率为20kHz圆柱型变幅杆。

1 超声变幅杆的理论分析与设计1. 1 变截面杆纵向振动的理论分析物体在弹性介质中发生振动时会引起介质的振动。

在研究振动波时，假设把弹性介质分成若干层，每一层看作是由许多彼此紧密相连的质点组成，一旦介质中的某个质点受到某种扰动，此质点便产生偏离其平衡位置的运动[3]，由于介质各点之间存在着弹性的联系，这一运动势必推动与其相邻的质点也开始运动，这样，物体的振动就在弹性介质中传播出去，这种物体的振动在弹性介质中的传播被称为波动。

以质点和简单机械振动系统的振动及超声波的传播原理为理论基础，建立数学模型，根据牛顿定理可以确定变截面杆纵向振动的波动方程。

为了便于研究，设定理想状态，假定变截面杆是由均匀、各向同性材料所构成的，略去机械损耗，当杆的横截面尺寸远小于波长时，可以认定，平面纵波沿杆轴向传播，在杆的横截面上应力分布是均匀的[4]。

图1 变截面杆纵向振动任一变横截面杆（如图1所示），其对称轴为X 轴，作用在任意的一小体积元(),d x x x +上的张应力为d x xσ∂∂，根据牛顿定律可以得出动力学方程：22()d d S x S x x xσξρ∂∂=∂∂ (1) ξ为变幅杆纵向振动位移，()=s s x 为面积函数，=k c ω为波数，ρ为材料的密度。

σ为应力函数，Exξσ∂=∂，E 是杨氏模量。

按照经典的一维变截面细杆纵振理论，假定变幅杆是由密度均匀且各向同性的材料制成，不计机械损耗，在杆的横截面上应力分布均匀且平面波沿轴向传播，此时平面波的传播方程为：22210∂∂∂++=∂∂∂s k x s x x ξξξ (2)=k c ω为圆波数，ω是圆频率，c是纵波在细杆中的传播速度，c =。

1.2 圆锥型变幅杆的设计 1.2.1 变幅杆的理论分析变幅杆各性能参数是根据纵向振动的波动方程、杆的面积函数及边界条件推导出的公式确定的，如图2所示。

图2 圆锥型变幅杆结构图以变幅杆的纵向为x 轴，l 为长度，()S x 为截面面积，设坐标原点x =0处的横截面积为1S ，x l =处的横截面积为2S ；作用在1S ，2S 上的力及位移分别为1F 、1ξ和2F 、2ξ，两端自由的时候，边界条件为：11000:,|,|0x x x t xξξξξξ==∂∂====∂∂(3)22:,|,|0x l x l x l t xξξξξξ==∂∂===-=∂∂ (4)根据边界条件可以得到变幅杆的谐振长度：2l λ= (5)这就是变幅杆的设计长都都是半波长的原因[6]。

1.2.2 变幅杆谐振频率修正假设变幅杆纵振时沿轴线方向上的位移为x ξ，则应变为∂=∂x x x ξε，纵振速度为=x x d dtξυ。

根据瑞利近似理论[9]，横向应变为∂=-∂x r x μξε(μ为泊松比)，横向位移为∂==-∂x r r r r xξξεμ(r 为半径)，横向振动速度为∂==-∂x r rd r dt xυξυμ。

变幅杆上任意一个微分单元的质量为2=dm rdrdx πρ，故沿轴向方向的纵向振动动能x E 和沿径向方向的横向振动动能r E 分别为：22201()22=⎰⎰⎰l x x x E dm R x dx πρυυ (6) 222401()24∂⎛⎫==⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰lx r r E dm R x dx x υπρμυ (7)忽略横向振动后的系统总动能降低，等效质量eq m 减小，因为f ，故变幅杆计算出的谐振频率比实际谐振频率高[7]。

增加横向振动后的纵振谐振频率'f 与忽略横向振动时的频率f 比值为：'==f fβ这里称β为频率修正系数。

为了让变幅杆实际频率与设计频率一致，需要对未考虑横向振动时的杆长l 进行修正，经修正后的杆长'l 为：'=l l β (9)对于圆柱杆，两端自由时cos =xA l πξ，所以222200∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭⎰⎰llx x dx dx x l υπυ，故222212=++杆杆杆x x r E R E E lμπ，于是圆柱杆的频率修正公式为：'==杆f fβ对于常用的粗细两段等长阶梯型变幅杆，令粗细两段半径分别为R 和r ，质点的纵向振动速度分别为xa υ和xb υ。

两端自由时，变幅杆两端应力为0，在0=x 的截面处力和位移连续，由这些边界条件可知120==A A ，1122=B S B S ，所以22122===b a S R N S r ξξ，2==xb b xa aN υξυξ。

计算阶梯型变幅杆的纵振动能阶梯x E 和横振动能阶梯r E 时，可以按照半径为R 长度为l 的等效圆柱杆来计算，只是在计算阶梯r E 时，应加上阶梯面对变幅杆两端速度的影响。

于是阶梯x E 、阶梯r E 分别为：222222==⎰⎰阶梯l lxaxa x E Rdx Rdx πρυπρυ (11)()2220442023244222414-⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰⎰阶梯l xa xb l r lxa E R dx R dx x x N R dxlυυπρμπρμυ(12)故阶梯型变幅杆频率修正公式为[8]：=阶梯β1.2.3变幅杆的设计分别为超声显微切割系统和超声波近场悬浮系统设计一个半波长的变幅杆，要求工作频率60f kHz =和20f kHz =，材料选用45号钢。

根据系统结构要求，设定圆锥型变幅杆的大端直径120D mm =，小端直径25D mm =，得到124N D D ==，可知纵波声速（在45号钢中）65.1710/c mm s =⨯，根据式（5）、式（6）和式（7）计算可得: 143l mm =，019x mm =。

同时，考虑到其与外界的装配问题，在节面处增加了一厚度为4mm ，外径为28mm 的法兰盘，具体尺寸如图3所示。

图3圆锥型变幅杆而对于设计频率是20kHz 的近场悬浮变幅杆，型状是一个圆柱上面一个圆盘，可以把圆盘考虑成弯曲振动，这样设计的时候只需考虑圆柱杆。

同上面的步骤，最后得到变幅杆尺寸为：长度2129l mm =，取大端直径338D mm =，小端直径420D mm =。

如图4所示。

图4 阶梯型变幅杆2 超声变幅杆的有限元分析根据圆锥型变幅杆的理论完成设计，并进行有限元分析。

这里采用美国ANSYS 公司设计开发的大型通用有限元分析软件ANSYS 12.1进行分析。

2.1 变幅杆模型的建立 用SolidWorks 建立上述圆锥型变幅杆的三维结构模型。

将设计尺寸输入，经处理后建立变幅杆完整的实体模型。

然后将模型数据存储为x_t 格式并通过数据交换将几何模型导入有限元软件ANSYS 中。

2.2 定义材料特性 设计变幅杆所用材料如表1所示。

表1 45号钢材料属性材料密度ρ/（3kg m ⋅）弹性模量/Pa E G声速 c /1m s -⋅泊松比45号钢 780021051700.282.3 单元确定及网格划分 采用SOLID187单元对圆锥型变幅杆进行自由映射网格单元划分。