平行线与相交线的知识点总结与归纳

平行线与相交线（1）

一、知识概述

（一）从台球桌面上的角，引出有关角的概念

1、两角互余、互补的概念及性质

（1）定义：

如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角.（如图）简称互补.

如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角.（如图）简称互余.

说明：①互余、互补是指两个角的关系.

②互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关.

③用数学语言表述为：

若∠α＋∠β=180°，则∠α与∠β互补；反之，若∠α与∠β互补，则∠α＋∠β=180°.

若∠α＋∠β=90°，则∠α与∠β互余；反之若∠α与∠β互余，则∠α＋∠β=90°.

（2）性质：

①同角或等角的补角相等.

②同角或等角的余角相等.

2、对顶角的概念

（1）如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.如图中的∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角.

由对顶角的位置特点也可将其描述为：

①两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角.

②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.

说明：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的.

③对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线.

（2）对顶角的性质：对顶角相等.

（二）探索直线平行的条件

1、两条直线相交构成四个有公共顶点的角.一条直线与两条直线相交得八个角，简称“三线八角”，则

不共顶点的角的位置关系有同位角、内错角、同旁内角.

如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，形成了8个角.

（1）同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角.如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和∠6.

（2）内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角.例如∠3和∠5，∠4和∠6.

（3）同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.例如∠4和∠5，∠3和∠6.

2、两条直线平行的条件：

两条直线被第三条直线所截，如果

（1）同位角相等，两直线平行. （2）内错角相等，两直线平行. （3）同旁内角互补，两直线平行.

二、重难点知识剖析

1、互为补角和互为邻补角的关系. 互为补角是两个角的和为180°，与它们的位置无关. 而互为邻补角既与它们的和为180°有关，又与位置有关，不要混淆.

2、灵活运用互余、互补等知识点以及对顶角的性质列方程求解，即学会用代数法解几何题的方法.

3、证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而

成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.

平行线与相交线（2）

一、知识概述

1、平行线的特征

特征一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成“两直线平行，同位角相等”，使用方法如图：

∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

特征二：两直线平行，内错角相等.

使用方法：∵a∥b，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）

特征三：两直线平行，同旁内角互补.

使用方法：∵a∥b，∴∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）

2、直线平行的条件与平行线的特征的区分表

3、尺规作图的意义在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图。

虽然尺规也是画图工具，但尺规作图不同于用工具画图，尺规作图只限于用无刻度的直尺和圆规，直尺用于根据两点的位置作直线、射线、线段或作延长线，圆规用于根据圆心位置、半径大小作弧或圆。所以作图题都应用直尺或圆规作图，而不能把用三角尺画直角、画平行线等当作尺规作图。本节课要求会利用尺、规作线段和一个角等于已知角等。

二、重难点知识剖析

1、（1）同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：“两直线平行”。当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。

（2）只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。

2、要分清平行线的识别和平行线的特征之间的关系，不要混淆运用，同时要学会综合运用这两者之间都是存在着“位置关系”和“数量关系”，其中由“数量关系”去确定“位置关系”是平行线的识别方法和过程，反之是平行线的特征。

3、用尺、规作线段和角时，要学会叙述几何作图语言，如过点×作直线××与直线××平行，或以点×为圆心，以××为半径作弧，等等。

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