岭回归研究分析
第7章岭回归分析
第7章岭回归分析岭回归分析（Ridge Regression Analysis）是一种线性回归的改进方法，用于解决当自变量之间存在多重共线性（multicollinearity）时，常规最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）估计的回归系数不稳定的问题。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，即两个或多个自变量之间存在线性关系。
在OLS估计中，当出现多重共线性时，回归系数的估计值可能变得非常大，导致模型不可靠。
岭回归通过引入一个惩罚项（penalty term）来解决多重共线性带来的问题。
惩罚项是对回归系数的约束，使得估计值更稳定。
惩罚项的大小由一个称为岭参数（Ridge parameter）的超参数决定，岭参数越大，惩罚项越大。
具体实施岭回归分析的步骤如下：1.收集数据：收集需要进行回归分析的数据，包括自变量（X）和因变量（Y）。
2.数据预处理：对数据进行预处理，包括缺失值处理、异常值处理和标准化处理等。
3.岭回归模型：构建岭回归模型，假设回归方程为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中β0是截距，β1-βn是回归系数，ε是误差项。
4. 岭参数选择：选择适当的岭参数值。
一种常用的方法是交叉验证（cross-validation），通过在训练集上进行模型拟合和验证，选择使得平均误差最小的岭参数。
5.模型拟合：使用选定的岭参数，对模型进行拟合，通过最小化残差平方和（RSS）来估计回归系数的值。
6.结果分析：通过分析回归系数的估计值，评估模型的拟合效果和自变量的影响程度。
岭回归分析的优点是可以解决多重共线性问题，使得回归模型在存在多重共线性时仍然具有较好的稳定性。
同时，通过调节岭参数，还可以控制惩罚项的大小。
然而，岭回归也存在一些限制。
首先，岭回归对于多重共线性问题的处理是通过牺牲模型的拟合度来换取回归系数的稳定性，有时会导致模型的预测能力下降。
其次，选择合适的岭参数值也需要一定的经验和技巧，选择过小的岭参数可能无法很好地解决多重共线性问题，而选择过大的岭参数可能导致模型欠拟合。
岭回归分析（RidgeRegressonAnalysis）
岭回归分析（RidgeRegressonAnalysis）简介1962年A.E.Hoerl⾸先提出，1970年他⼜和R.W.kennard合作在发表的论⽂中作了详细的讨论。
应⽤回归分析有⼀种实际情况是：研究者希望在回归⽅程内包含2个或⼏个⾼度相关的共线性⾃变量。
这在医学研究中有时会遇到，例如有些⽣理指标，特别是⽣长发育指标(⽐如⾝⾼和体重)，明知是⾼度相关的，有时却希望把它们都引⼊回归⽅程，以便作专业解释。
这时⽤逐步回归法不合适，⽤⼀般回归分析法所求得的各回归系数值不稳定、难于解释。
岭回归分析针对这种实际情况，⽤改进的最⼩⼆乘法拟合多元线性回归⽅程，叫做岭回归⽅程，可减少样本回归系数的标准误，使各回归系数值相对稳定和便于解释。
其基本原理是：在⽤样本的相关系数值拟合标准化变量的岭回归⽅程时，把两两变量(包括⾃变量和应变量)Xi和Xj的相关系数rij，⼈为地减少成为rij/(1+k)，k称为岭参数，取值0～1。
求得的标准化岭回归系数可记作bi′(k)，取使各bi′(k)相对稳定的k值，得标准化变量的岭回归⽅程为＝b1′(k)X1′+b2′(k)X2′+…+bm′(k)Xm′。
还可得岭回归⽅程为＝a(k)+b1(k)X1+b2(k)X2+…+bm(k)Xm，bi(k)为岭回归系数。
岭回归⽅程的⽅差分析、岭回归系数的标准误等的运算和⼀般多元线性回归分析的相同。
岭回归分析主要⽤于解释：⽤岭回归系数bi(k)说明各⾃变量和应变量的数量关系;⽤标准化岭回归系数bi′(k)⽐较各⾃变量对应变量的作⽤⼤⼩。
要指出的是：相对于⼀般回归分析所拟合的回归⽅程，特别是相对逐步回归分析所拟合的回归⽅程，岭回归⽅程的剩余均⽅要⼤，因此预报效果要差，⼀般不⽤于预报。
spssau共线性处理方法之岭回归(ridge-regression)
岭回归分析在进行线性回归分析时，很容易出现自变量共线性问题，通常情况下VIF值大于10说明严重共线，VIF大于5则说明有共线性问题。
当出现共线性问题时，可能导致回归系数的符号与实际情况完全相反，本应该显著的自变量不显著，本不显著的自变量却呈现出显著性；共线性问题会导致数据研究出来严重偏差甚至完全相反的结论，因而需要解决此问题。
针对共线性问题的解决方案上，可以考虑使用逐步回归进行分析，直接移除出共线性的自变量X，但此类做法导致自己希望研究的变量无法得到研究。
此时，可以考虑使用更科学的研究方法即岭回归（Ridge regression）。
岭回归是一种改良的最小二乘法，其通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息为代价来寻找效果稍差但回归系数更符合实际情况的模型方程。
针对共线性的病态数据，岭回归的耐受性远强于普通线性最小二乘法回归。
岭回归分析（Ridge Regression）用于解决线性回归分析中自变量共线性的研究算法。
岭回归通过引入k个单位阵，使得回归系数可估计；单位阵引入会导致信息丢失，但同时可换来回归模型的合理估计。
针对岭回归：其研究步骤共为2步,分别是结合岭迹图寻找最佳K值；输入K值进行回归建模。
第一步：岭回归分析前需要结合岭迹图确认K值；K值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小K值。
K值越小则偏差越小，K值为0时则为普通线性OLS回归；SPSSAU提供K值智能建议，也可通过主观识别判断选择K值第二步：对于K值，其越小越好，通常建议小于1；确定好K值后，即可主动输入K 值，得出岭回归模型估计。
SPSSAU操作截图如下：如果输入框中不输入值，此时SPSSAU默认是生成岭迹图，即识别最佳K值（当然SPSSAU 会智能化建议最佳K值）；如果输入K值，此时SPSSAU则输出岭回归模型结果。
岭回归分析案例Contents1背景 (3)2理论 (3)3操作 (4)4 SPSSAU输出结果 (5)5文字分析 (6)6剖析 (6)1 背景现测得胎儿身高、头围、体重和胎儿受精周龄数据，希望建立胎儿身高、头围、体重去和胎儿受精周龄间的回归模型。
统计学中的回归分析方法
统计学中的回归分析方法回归分析是统计学中经常被使用的一种方法，它用于研究两个或多个变量之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测一个变量如何随着其他变量的变化而变化，或者确定变量之间的因果关系。
在本文中，我将介绍几种常见的回归分析方法，帮助读者更好地理解和应用这一统计学方法。
一、简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式。
它适用于只涉及两个变量的场景，并且假设变量之间的关系可以用一条直线来描述。
在进行简单线性回归分析时，我们需要收集一组观测数据，并使用最小二乘法来拟合直线模型，从而得到最优的回归方程。
通过该方程，我们可以根据自变量的取值预测因变量的值，或者评估自变量对因变量的影响程度。
二、多元线性回归分析多元线性回归分析扩展了简单线性回归模型，允许多个自变量同时对因变量进行解释和预测。
当我们要考察一个因变量与多个自变量之间的复杂关系时，多元线性回归分析是一种有力的工具。
在进行多元线性回归分析时，我们需收集多组观测数据，并建立一个包含多个自变量的回归模型。
通过拟合最优的回归方程，我们可以分析每个自变量对因变量的影响，进一步理解变量之间的关系。
三、逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于处理因变量为二元变量（如真与假）时的回归问题。
逻辑回归分析的目标是根据自变量的取值，对因变量的分类进行概率预测。
逻辑回归模型是通过将线性回归模型的输出映射到一个概率区间（通常为0到1）来实现的。
逻辑回归在实际应用中非常广泛，如市场预测、医学诊断等领域。
四、岭回归分析岭回归是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。
多重共线性指多个自变量之间存在高度相关性的情况，这会导致回归分析结果不稳定。
岭回归通过在最小二乘法的基础上加入一个惩罚项，使得回归系数的估计更加稳定。
岭回归分析的目标是获得一个优化的回归方程，从而在存在多重共线性的情况下提高预测准确度。
五、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线或其他非线性形态。
r岭回归结果解读 -回复
r岭回归结果解读-回复岭回归结果解读是对于岭回归模型的结果进行分析和解释的过程。
岭回归是一种常见的线性回归方法，用于处理多重共线性问题，通过引入一个正则化项来控制模型的复杂度。
在进行岭回归分析时，我们首先需要对模型进行拟合和预测，然后对结果进行解读和解释。
岭回归模型的目标是最小化残差平方和的同时，给模型的系数加上一个惩罚项，这个惩罚项可以通过岭参数来控制。
因此，岭回归模型的结果由两部分组成：模型的系数和岭参数。
下面将分别对这两部分进行解读和解释。
1. 模型的系数解读：在岭回归模型中，系数表示自变量对因变量的影响程度。
具体地，系数越大表示自变量与因变量之间的关系越强，系数越小表示自变量与因变量之间的关系越弱。
通过分析系数的绝对值大小，我们可以判断自变量对因变量的重要性。
如果某个自变量的系数为0，表示该变量对因变量没有影响。
2. 岭参数解读：岭参数是岭回归模型中的一个重要参数，用于控制模型的复杂度。
较大的岭参数会导致模型的系数接近于0，减少共线性带来的影响，从而降低模型的复杂度。
较小的岭参数表示模型对共线性不敏感，可能导致模型过拟合。
因此，岭参数的选择需要根据具体情况进行调整，以使模型在对数据进行拟合的同时尽量简单。
在进行岭回归分析后，我们还需要对岭回归模型的整体性能进行评估和解释。
以下是一些常见的评估指标：1. 均方误差（MSE）：岭回归模型的MSE衡量了模型预测值与真实值之间的平均误差，MSE越小表示模型的拟合效果越好。
2. R方（R-squared）：R方是用来衡量模型解释变量的方差比例，即因变量的变异量中有多少可以被自变量解释。
R方的取值范围在0到1之间，R方越接近1表示模型的拟合效果越好。
3. 可解释性：通过对模型系数的解读，我们可以了解每一个自变量对因变量的影响程度。
较大的系数表示自变量对因变量的影响较大，较小的系数表示自变量对因变量的影响较小。
这些系数可以帮助我们理解变量之间的关系并做出相应的决策。
岭回归和Lasso回归的比较与分析
岭回归和Lasso回归的比较与分析岭回归和Lasso回归是现代统计学中常用的两种回归方法，它们在处理高维数据时比传统的最小二乘回归更为有效。
在这篇文章中，我们将对这两种方法进行比较和分析，以便更好地了解它们的共同点和区别。
1. 岭回归岭回归是一种正则化回归方法，它通过约束模型的参数来防止过拟合。
该方法的核心在于将参数w的平方和约束在一个较小的值上，从而使模型的稳定性得到增强。
岭回归的数学公式如下：minimize ||Xw - y||^2 + alpha * ||w||^2其中，||w||2表示w的平方和（L2范数），而alpha是控制约束强度的超参数。
在实践中，alpha的最优值通常需要进行交叉验证来确定。
岭回归的优点在于它可以很好地处理多重共线性问题，同时也能降低对异常值的敏感性。
然而，它的缺点是它倾向于将所有的特征变量都纳入模型，这可能会导致解释性较差而且复杂度高的模型。
2. Lasso回归跟岭回归一样，Lasso回归也是一种正则化回归方法。
不同之处在于，Lasso回归使用L1范数而不是L2范数来约束模型的参数。
由于L1范数会将一些参数置零，因此Lasso回归可以用于特征筛选和模型压缩。
Lasso回归的数学公式如下：minimize 1 / (2 * n_samples) * ||Xw - y||^2 + alpha * ||w||1其中，||w||1表示w的绝对值和（L1范数），而alpha是L1范数的权重参数。
Lasso回归的优点在于它可以激发稀疏解，即只使用少量特征变量的模型。
这使得Lasso回归在特征筛选、噪声降低和模型规整方面都很有用。
它的缺点在于它不能很好地处理多重共线性问题，并且对于相互关联的特征变量，它倾向于将其中之一选择出来而忽略其他的。
3. 比较与分析岭回归和Lasso回归都是常用的正则化回归方法，它们都可以提高模型的泛化性能并防止过拟合。
但是，它们在实现上有一些关键区别。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(九)
回归分析是一种常用的统计分析方法，用于探究变量之间的关系，并预测一个或多个因变量的数值。
在回归分析中，岭回归模型是一种常见的技术，它在面对自变量之间存在共线性或者自变量数量远大于样本量的情况下，能够有效地改善模型的表现。
本文将探讨回归分析中的岭回归模型的应用技巧。
岭回归模型最初是由Hoerl和Kennard在1970年提出的。
它的基本原理是通过对自变量的系数进行惩罚，减小系数的估计值，从而解决多重共线性的问题。
在实际应用中，岭回归模型的效果取决于多个因素，包括惩罚项的选择、惩罚项参数的设定、数据的预处理等。
下面将从数据的准备、模型的选择、参数的设定等方面介绍岭回归模型的应用技巧。
首先，数据的准备是岭回归模型应用的第一步。
在进行岭回归之前，需要对数据进行预处理，包括去除异常值、缺失值的处理、标准化等。
由于岭回归对自变量的尺度敏感，因此在进行岭回归之前需要对自变量进行标准化，以保证模型的稳定性和可解释性。
其次，模型的选择是岭回归应用的关键。
在选择模型时，需要考虑到岭回归模型的特点，比如对共线性的鲁棒性、抗过拟合能力等。
当自变量之间存在共线性时，岭回归模型通常比普通最小二乘回归更为稳健。
此外，岭回归还可以用于特征选择，通过调节惩罚项的参数来控制模型的复杂度，进而实现特征的筛选和模型的简化。
最后，参数的设定也是岭回归应用中需要注意的地方。
在进行岭回归时，需要选择合适的惩罚项参数，通常使用交叉验证的方法来选择最优的参数。
通过交叉验证，可以评估不同参数对模型的影响，找到最优的惩罚项参数，从而得到更稳健的岭回归模型。
总之，岭回归模型在回归分析中具有重要的应用价值，能够有效解决自变量之间存在共线性或者自变量数量远大于样本量的问题。
在应用岭回归模型时，需要注意数据的准备、模型的选择、参数的设定等关键步骤，以确保模型的稳健性和预测性能。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用岭回归模型，在实际问题中取得更好的分析效果。
第7章岭回归分析
第7章岭回归分析岭回归分析是一种用于解决多重共线性问题的回归方法。
在多重共线性问题中，自变量之间存在高度相关性，这会导致传统的最小二乘法线性回归产生不稳定的估计结果。
岭回归通过对系数进行约束，来减小估计值的方差，从而提高回归模型的稳定性。
本章将介绍岭回归的原理、步骤和应用。
一、岭回归的原理岭回归是对普通最小二乘法进行修正的一种方法。
其基本思想是通过对最小二乘法中的残差平方和添加一个惩罚项来控制系数的大小，从而减小方差。
岭回归的目标是找到一个最优的系数向量，使得残差平方和和正则化项的加权和最小化。
在岭回归中，通过引入一个正则化参数λ（也称为岭参数），目标函数变为最小二乘法的残差平方和加上λ乘以系数向量的平方和。
正则项的引入使得系数向量的估计值在其中一种程度上受到限制，使回归模型更加稳定。
通过调整正则化参数λ的值，可以控制估计值的偏差和方差之间的权衡。
二、岭回归的步骤岭回归的步骤如下：1.数据准备：将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。
2.数据标准化：对X和y进行标准化，使得均值为0，方差为1、这一步骤是为了使得不同变量之间的尺度一致。
3.构建岭回归模型：通过求解最小二乘法，得到系数估计值。
岭回归的系数估计值计算公式为：β^=(X^T*X+λI)^(-1)*X^T*y。
其中，X^T为X的转置矩阵，I为单位矩阵，λ为正则化参数。
4.选择合适的λ：通过交叉验证等方法，选择合适的正则化参数λ。
5.模型评估：使用选择的正则化参数λ对模型进行评估，计算均方误差等指标。
三、岭回归的应用岭回归在实际应用中具有广泛的用途，主要包括以下几个方面：1.多重共线性问题：当自变量之间存在高度相关性时，使用岭回归可以解决多重共线性问题，减小估计值的方差，提高回归模型的稳定性。
2.特征选择：岭回归通过惩罚项的引入，可以压缩系数向量，从而减小不重要的特征对模型的影响，实现特征的选择。
3.数据挖掘：岭回归可以用于数据挖掘任务，如预测、分类等。
回归分析中的岭回归模型应用技巧
回归分析是统计学中一种常用的方法，用来研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
在回归分析中，岭回归模型是一种经典的技术，它可以帮助我们处理多重共线性和过拟合等问题。
本文将介绍岭回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和使用这一技术。
1. 岭回归模型的原理岭回归模型是一种正则化方法，它通过引入一个正则化参数来限制模型的复杂度，从而避免过拟合的问题。
在岭回归模型中，我们的目标是最小化残差平方和加上正则化参数与模型系数的乘积。
这样一来，即使在存在多重共线性的情况下，岭回归模型也能够给出稳定可靠的估计结果。
2. 如何选择正则化参数选择正则化参数是岭回归模型中的关键问题。
一般来说，我们可以使用交叉验证的方法来选择最优的正则化参数。
具体而言，我们可以将数据集分为训练集和验证集，然后对不同的正则化参数进行测试，选择在验证集上表现最好的参数作为最终的选择。
另外，我们还可以使用留一法交叉验证或者k折交叉验证来进行参数选择，以确保结果的稳健性。
3. 岭回归模型与普通最小二乘法的比较岭回归模型和普通最小二乘法在处理多重共线性问题上有很大的不同。
普通最小二乘法在存在多重共线性时会导致估计系数的方差非常大，从而使得模型的预测能力变差。
而岭回归模型通过引入正则化参数，可以有效地缓解多重共线性的影响，提高了模型的稳定性和鲁棒性。
4. 岭回归模型的应用实例在实际应用中，岭回归模型有着广泛的应用。
例如在金融领域，我们可以使用岭回归模型来预测股票价格或者汇率变动；在医学领域，我们可以使用岭回归模型来研究疾病与基因之间的关联等。
岭回归模型的灵活性和鲁棒性使得它成为了统计学中一个不可或缺的工具。
5. 岭回归模型的局限性尽管岭回归模型有着诸多优点，但是它也存在一些局限性。
例如在处理大规模数据集时，岭回归模型的计算成本会非常高；另外，岭回归模型还要求自变量之间不存在严格的共线性，否则会导致参数估计的不准确性。
因此在具体应用时，我们需要根据实际情况选择合适的模型和方法。
回归分析方法总结全面
回归分析方法总结全面回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度，以及预测因变量的值。
回归分析有多种方法和技术，本文将对几种常用的回归分析方法进行总结和介绍。
1. 简单线性回归分析简单线性回归分析是回归分析的最基本形式，用于研究单个自变量与因变量之间的关系。
它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且通过拟合一条直线来描述这种关系。
简单线性回归分析使用最小二乘法来估计直线的参数，最小化观测值与模型预测值之间的差异。
2. 多元线性回归分析多元线性回归分析是回归分析的一种拓展形式，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它假设各个自变量与因变量之间存在线性关系，并通过拟合一个多元线性模型来描述这种关系。
多元线性回归分析使用最小二乘法来估计模型的参数。
3. 逻辑回归分析逻辑回归分析是回归分析的一种特殊形式，用于研究二分类变量与一系列自变量之间的关系。
它通过拟合一个Logistic函数来描述二分类变量与自变量之间的概率关系。
逻辑回归分析可以用于预测二分类变量的概率或进行分类。
4. 多项式回归分析多项式回归分析是回归分析的一种变体，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过引入自变量的高次项来拟合一个多项式模型，以描述非线性关系。
多项式回归分析可以帮助我们探索自变量与因变量之间的复杂关系。
5. 非线性回归分析非线性回归分析是回归分析的一种广义形式，用于研究自变量与因变量之间的非线性关系。
它通过拟合一个非线性模型来描述这种关系。
非线性回归分析可以用于分析复杂的现象或数据，但需要更复杂的参数估计方法。
6. 岭回归分析岭回归分析是回归分析的一种正则化方法，用于处理自变量之间存在共线性的情况。
共线性会导致参数估计不稳定或不准确，岭回归通过加入一个正则化项来缩小参数估计的方差。
岭回归分析可以帮助我们在共线性存在的情况下得到更可靠的结果。
7. 主成分回归分析主成分回归分析是回归分析的一种降维方法，用于处理高维数据或自变量之间存在相关性的情况。
推导岭回归的解析解
推导岭回归的解析解
岭回归（Ridge Regression）是一种用于处理多重共线性问题的线性回归方法。
相比于普通最小二乘法（Ordinary Least Squares,OLS），岭回归通过引入一个正则化项来惩罚回归系数的大小，从而减小模型的方差。
为了得到岭回归的解析解，我们首先需要了解岭回归的目标函数。
假设我们有一个数据集X，其中X是一个n×p的矩阵，n表示样本数量，p表示特征数量。
我们还有一个目标向量y，其中y是一个n×1的列向量。
岭回归的目标是最小化以下目标函数：
min||y-Xβ||^2+λ||β||^2
其中，β是回归系数向量，λ是正则化参数。
||y-Xβ||^2表示残差平方和，||β||^2表示回归系数的平方和。
为了求解上述目标函数的最小值，我们将目标函数转化为矩阵形式：
min(y-Xβ)^T(y-Xβ)+λβ^Tβ
对目标函数求导并令导数为0，可以得到解析解：2X^T(y-Xβ)+2λβ=0
将上式整理得到：
X^T(y-Xβ)+λβ=0
将上式展开可得：
X^Ty-X^TXβ+λβ=0
进一步整理得到：
(X^TX+λI)β=X^Ty
其中，I是单位矩阵。
最后，我们可以通过求解上述线性方程组得到岭回归的解析解：
β=(X^TX+λI)^-1X^Ty
通过这个解析解，我们可以计算出岭回归模型的回归系数，从而进行预测和分析。
总结而言，岭回归的解析解可以通过求解一个带有正则化项的线性方程组得到。
通过引入正则化项，岭回归能够有效应对多重共线性问题，提高模型的稳定性和泛化能力。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(十)
回归分析是统计学中的一种常用方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，常常会遇到自变量间存在多重共线性的情况。
这时，传统的最小二乘法(OLS)估计存在严重的问题，会导致参数估计的不稳定性和方差的膨胀。
因此，人们引入了岭回归模型来解决这一问题。
一、岭回归模型概述岭回归模型是一种改进的回归分析方法，通常用于解决自变量之间存在共线性问题的情况。
它的核心思想是在最小二乘法的基础上引入了一个惩罚项，通过调整惩罚参数来平衡模型的拟合优度和参数的偏差。
这样可以有效地减小参数估计的方差，提高模型的稳定性。
二、岭回归模型应用技巧1. 数据标准化在进行岭回归分析之前，首先需要对数据进行标准化处理。
这是因为岭回归模型是对自变量进行惩罚，而惩罚项的大小与自变量的尺度有关。
如果不对数据进行标准化处理，那么得到的结果可能会受到自变量尺度的影响，导致参数估计的偏差。
因此，对于连续型的自变量，需要进行标准化处理，使其均值为0，标准差为1。
这样可以保证各个自变量的尺度一致，不会对参数估计产生影响。
2. 选择合适的惩罚参数岭回归模型中的惩罚参数λ是一个非常重要的调节参数，它决定了模型的拟合优度和参数估计的偏差程度。
一般来说，λ越大，模型对参数的惩罚越大，拟合优度越差，但参数估计的偏差越小；反之，λ越小，模型对参数的惩罚越小，拟合优度越好，但参数估计的偏差越大。
因此，选择合适的惩罚参数是非常关键的。
一种常用的方法是通过交叉验证来选择最优的惩罚参数。
通过在不同的λ取值下进行交叉验证，选择拟合优度和参数估计的折中点作为最优的惩罚参数。
3. 检验模型拟合效果在进行岭回归分析之后，需要对模型的拟合效果进行检验。
一般来说，可以通过残差分析、拟合优度指标和交叉验证等方法来评估模型的拟合效果。
残差分析可以帮助我们检验模型的假设条件是否满足，拟合优度指标可以帮助我们评价模型的拟合程度，而交叉验证可以帮助我们选择最优的惩罚参数。
4. 解释模型结果最后，当得到最优的岭回归模型之后，需要对模型结果进行解释。
岭回归分析
岭回归分析一、普通最小二乘估计带来的问题当设计矩阵X 呈病态时，X 的列向量之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性，在这种情况下,用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计的方差太大,即jj jj j L C 2)ˆvar(σβ=很大，jβˆ就很不稳定，在具体取值上与真值有较大的偏差,有时会出现与实际经济意义不符的正负号。
下面看一个例子，可以说明这一点。
假设已知1x ,2x 与y 的关系服从线性回归模型:ε+++=213210x x y ,给定1x ，2x 的10个值,如下表1,2行所示：表7.1然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项ε，见表第3行.然后再由回归模型i i i i x x y ε+++=213210计算出10个i y 值,见表第4行。
现在假设回归系数与误差项是未知的,用普通最小二乘法求回归系数的估计得：0ˆβ=11.292, 1ˆβ=11。
307，2ˆβ=-6。
591，而原模型的参数0β=10,1β=2，2β=3看来相差太大。
计算1x ，2x 的样本相关系数得12r =0.986，表明1x 与2x 之间高度相关。
通过这个例子可以看到解释变量之间高度相关时，普通最小二乘估计明显变坏。
二、岭回归的定义当自变量间存在多重共线性，|X X '｜≈0时,设想给X X '加上一个正常数矩阵kI （k>0)那么X X '+kI 接近奇异的程度就会比X X '接近奇异的程度小得多。
考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X 表示，定义y X kI X X k '+'=-1)()(ˆβ称为β的岭回归估计，其中，k 称为岭参数。
由于假设X 已经标准化,所以X X '就是自变量样本相关阵。
y 可以标准化也可以未标准化，如果y 也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。
)(ˆk β作为β的估计应比最小二乘估计βˆ稳定，当k=0时的岭回归估计)0(ˆβ就是普通的最小二乘估计.因为岭参数k 不是唯一确定的，所以得到的岭回归估计)(ˆk β实际是回归参数β的一个估计族。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(六)
回归分析是统计学中重要的分析方法之一，它可以帮助研究人员发现自变量和因变量之间的关系，从而预测未来的结果。
而岭回归模型是回归分析中的一种重要方法，它在处理自变量之间存在多重共线性的情况下表现出色。
本文将探讨岭回归模型的应用技巧，希望对读者有所帮助。
1. 岭回归模型的基本原理岭回归模型是由统计学家Arthur E. Hoerl和Robert W. Kennard在20世纪70年代提出的，它是一种用于解决多重共线性问题的回归分析方法。
在传统的最小二乘法中，当自变量之间存在高度相关性时，会导致回归系数的估计不准确甚至不稳定。
而岭回归模型通过对回归系数施加惩罚项来解决这一问题，从而得到更加稳健的估计结果。
2. 岭回归模型的应用场景岭回归模型在实际应用中有着广泛的应用场景。
首先，当数据集中存在多个高度相关的自变量时，可以使用岭回归模型来解决多重共线性问题。
其次，在样本量相对较小的情况下，岭回归模型也能够提供更为稳健的估计结果。
此外，岭回归模型还可以用于特征选择，帮助研究人员挖掘出对因变量有重要影响的自变量。
3. 岭回归模型的参数选择在应用岭回归模型时，参数选择是至关重要的一步。
岭回归模型中的惩罚项参数λ的选择对模型的性能有着直接的影响。
一般来说，λ越大，模型对回归系数的惩罚越强，从而得到的模型对多重共线性的鲁棒性也越强。
但是，λ过大也会导致模型的偏差变大。
因此，研究人员需要通过交叉验证等方法来选择合适的λ值。
4. 岭回归模型的结果解释岭回归模型得到的回归系数与传统的最小二乘法有所不同，它们是经过惩罚项调整过的。
因此，在解释结果时，需要注意回归系数的含义。
一般来说，绝对值较大的回归系数对因变量的影响较大。
此外，由于岭回归模型中的惩罚项，回归系数的估计会有偏，因此在解释结果时需要注意这一点。
5. 岭回归模型的进阶技巧除了基本的岭回归模型外，还存在一些进阶的技巧可以提升模型的性能。
比如，在岭回归模型的基础上，可以引入交叉项、多项式项等形式来拓展模型的表达能力。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(四)
回归分析是统计学中常用的一种方法，用于研究变量之间的关系。
在实际应用中，我们常常会遇到数据之间存在多重共线性或者数据量较少的情况，这时候传统的最小二乘法可能会出现问题。
岭回归模型便是一种常用的解决方案，本文将探讨在实际应用中岭回归模型的一些技巧和注意事项。
首先，岭回归模型是在最小二乘法的基础上引入了正则化项，通过对回归系数进行惩罚来避免多重共线性。
在实际数据分析中，我们通常会遇到自变量之间存在较强相关性的情况，这时候使用岭回归模型可以有效地缓解多重共线性带来的问题。
同时，岭回归模型也可以在样本量较少的情况下进行稳健的估计。
其次，对于岭回归模型的应用，我们需要注意选择合适的正则化参数。
正则化参数的选择对于模型的拟合效果和预测性能都有很大的影响。
一般来说，我们可以通过交叉验证的方法来选择最优的正则化参数。
在实际操作中，可以将数据集分为训练集和验证集，通过尝试不同的正则化参数值来选择使模型在验证集上表现最好的参数值。
同时，一些自动调参的工具和算法也可以帮助我们更快地找到最优的正则化参数。
另外，岭回归模型在实际应用中还需要注意数据的标准化处理。
由于岭回归模型对于自变量的尺度敏感，因此在进行岭回归之前，我们需要对数据进行标准化处理，将不同尺度的自变量缩放到相同的范围内。
这样可以避免模型受到自变量尺度的影响而导致估计系数不准确的问题。
此外，岭回归模型还可以与其他方法结合使用，以提高模型的预测性能。
例如，可以将岭回归模型与特征选择方法结合，选择对模型预测性能有重要影响的自变量。
另外，可以将岭回归模型与集成学习方法相结合，通过组合多个岭回归模型来提高整体模型的预测能力。
最后，需要注意的是，在应用岭回归模型时，我们需要根据具体的问题情境来选择合适的模型。
岭回归模型虽然在处理多重共线性和样本量较少的情况下有很好的表现，但并不是适用于所有情况的万能工具。
在面对特定问题时，我们需要对数据的特点进行充分的分析，选择最适合的建模方法。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(Ⅱ)
回归分析是统计学中常见的一种分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，岭回归模型是回归分析中的一种重要技巧，它能够有效地处理自变量间存在多重共线性的情况，提高模型的稳定性和准确性。
本文将介绍岭回归模型的基本原理和应用技巧，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一技术。
一、岭回归模型的基本原理岭回归模型是由美国数学家Arthur E. Hoerl和Robert W. Kennard于1970年提出的，用于解决回归分析中存在多重共线性问题的方法。
在传统的最小二乘法中，如果自变量之间存在高度相关性，就会导致估计系数的方差变得很大，模型的稳定性和准确性都会受到影响。
岭回归通过对最小二乘估计加入一个参数λ的惩罚项，从而抑制了自变量之间的共线性，提高了估计系数的稳健性。
岭回归的基本原理可以用数学公式来描述，假设我们的回归模型为：Y =Xβ + ε，其中Y为因变量，X为自变量矩阵，β为系数向量，ε为随机误差项。
最小二乘法的估计是通过最小化残差平方和来得到，即最小化目标函数：RSS = (Y - Xβ)'(Y - Xβ)。
而岭回归则是在目标函数中加入一个惩罚项，变为：RSS(λ) = (Y - Xβ)'(Y - Xβ) + λβ'β，其中λ为岭参数。
通过调节λ的大小，可以在偏置方差之间做出权衡，得到更加合理的估计结果。
二、岭回归模型的应用技巧在实际应用中，岭回归模型的选择和调参是很重要的。
首先，选择合适的岭参数λ至关重要，通常可以通过交叉验证的方法来确定。
交叉验证是一种常用的模型选择技术，将数据集分为训练集和测试集，根据不同的λ值分别进行岭回归拟合，并计算在测试集上的预测误差，最终选择使得均方误差最小的λ值作为最优参数。
其次，岭回归模型的特征选择也是需要注意的。
由于岭回归对所有的自变量都进行了估计，因此可能会导致模型中包含许多无关紧要的变量，从而增加了模型的复杂度。
为了避免这种情况，可以引入稀疏岭回归或lasso回归来进行特征选择，通过对系数向量增加L1惩罚项，使得一些系数变为0，从而实现自动特征选择的效果。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(五)
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，通过建立变量之间的数学模型来探究它们之间的关系。
在回归分析中，岭回归模型是一种经典的技术，它可以有效地解决多重共线性问题，提高模型的稳定性和预测能力。
在实际的数据分析中，如何正确地应用岭回归模型是非常重要的，本文将探讨一些岭回归模型的应用技巧。
首先，我们需要了解岭回归模型的原理。
岭回归是普通最小二乘法的一种改进方法，它通过对自变量的系数引入惩罚项来降低多重共线性带来的影响。
在普通最小二乘法中，如果自变量之间存在高度相关性，就会导致估计系数的方差很大，降低了模型的准确性。
而岭回归通过在最小二乘法的目标函数中引入一个惩罚项，可以有效地控制系数的大小，从而减少多重共线性对模型的影响。
其次，在实际应用中，我们需要注意选择合适的惩罚项参数。
岭回归中的惩罚项参数λ是需要我们自己指定的，它的取值会直接影响到模型的拟合效果。
一般来说，λ的取值越大，惩罚项对系数的约束就越强，从而可以更有效地降低多重共线性带来的影响。
但是如果λ取值过大，就可能会导致模型欠拟合，降低了预测的准确性。
因此，我们需要通过交叉验证等方法来选择合适的λ值，从而使模型取得最佳的拟合效果。
另外，岭回归模型还可以用于特征选择。
在数据分析中，往往会面临大量的自变量选择问题，而有些自变量可能对因变量的预测贡献很小，甚至是无关的噪声变量。
岭回归模型通过对系数的惩罚，可以将一些不重要的自变量的系数缩小甚至置零，从而实现特征选择的效果。
这不仅可以简化模型，还可以提高模型的预测能力和解释性。
此外，我们还需要注意岭回归模型对数据的要求。
岭回归模型要求自变量之间不存在严格的共线性，否则会导致无法估计出唯一的系数。
因此在应用岭回归模型时，我们需要进行变量筛选和处理，确保自变量之间不存在严重的共线性。
另外，岭回归模型还要求自变量和因变量之间存在线性关系，因此在应用岭回归模型时，我们需要对数据进行适当的变换和调整，以满足模型的前提条件。
第七章 岭回归分析
MSE[
(k
)]
MSE
(
ˆ
)
即
p
E[ j (k) j ]2
p
D(ˆ j )
j 1
j 1
§3 岭迹分析
当岭参数 k 在 (0, ) 内变化时，ˆ j (k)是k 的函数， 在平面坐标系上把函数 ˆ j (k) 描画出来，画出的曲线称
为岭迹。由于尚未找到一种公认的最优选择 k 的方法， 所以在实际应用中，可以根据岭迹曲线的变化形状来确 定适当的 k 值和进行自变量的选择。
用最小二乘法求出回归参数的估计值为
ˆ0 11.292, ˆ1 11.307, ˆ2 6.591,
而原模型的参数为
0 10, 1 2, 3 3,显然相差很大；
计算 X1, X 2 的样本相关系数为 r12 0.986, 表明X1, X 2 之间高度相关.
岭回归的定义
当自变量间存在多重共线性， X X 0 时，设想给 X X 加上一个 正常数矩阵 kI (其中k 0) ，则 X X kI 接近奇异的程度就会比 X X
中 k=0.5 时，岭迹已算平稳，这时 ˆ1(0.5) 2.06已相当接近真值2 ， 但此时 ˆ2 (0.5)=1.49与真值3还相差很大 。
岭迹法的缺点是：缺少严格的理论依据； 岭迹法的优点是：发挥了定性分析和定量
分析的有机结合.
方差扩大因子法
记 R 2 j 为自变量 x j 对其余 p 1 个自变量作回 归拟合的复决定系数。这里 R2 j 度量了 x j 与其余 p 1 个变量的线性相关程度。可以证明：
岭迹法
选择k值的一般原则是： 各回归系数的岭估计基本稳定； 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，
其岭估计的符号变得合理； 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 残差平方和增大不太多.
岭回归的t检验方法和f检验
岭回归的t检验方法和f检验
岭回归是一种用于处理多重共线性的回归分析方法。
在岭回归中，我们通常会使用t检验和F检验来评估模型的显著性和预测能力。
首先，让我们来看看岭回归中的t检验方法。
在岭回归中，t 检验通常用于检验各个自变量的系数是否显著不为零。
这可以帮助我们确定哪些自变量对因变量的影响是显著的。
t检验的原假设是自变量的系数为零，备择假设是自变量的系数不为零。
通过计算t 统计量，我们可以得到自变量系数的显著性水平，如果t统计量的绝对值大于临界值，我们就可以拒绝原假设，认为自变量的系数是显著不为零的。
其次，我们再来看看岭回归中的F检验。
F检验通常用于评估整体回归模型的显著性。
在岭回归中，F检验可以帮助我们确定模型是否整体上显著，即我们是否可以拒绝所有自变量的系数都为零的原假设。
F检验的原假设是所有自变量的系数都为零，备择假设是至少有一个自变量的系数不为零。
通过计算F统计量，我们可以得到整体回归模型的显著性水平，如果F统计量大于临界值，我们就可以拒绝原假设，认为模型是整体上显著的。
总的来说，岭回归中的t检验和F检验都是用来评估模型和自变量的显著性以及模型的预测能力。
通过这些检验，我们可以更好地理解岭回归模型的有效性和可靠性。
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岭回归分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：岭回归分析一、普通最小二乘估计带来的问题当设计矩阵X 呈病态时,X 的列向量之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性,在这种情况下,用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计的方差太大,即jj jj j L C 2)ˆvar(σβ=很大，j βˆ就很不稳定,在具体取值上与真值有较大的偏差,有时会出现与实际经济意义不符的正负号。
下面看一个例子,可以说明这一点。
假设已知1x ,2x 与y 的关系服从线性回归模型:ε+++=213210x x y ,给定1x ,2x 的10个值,如下表1，2行所示：表7.1序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1） x 1 1.1 1.4 1.7 1.7 1.8 1.8 1.9 2.0 2.3 2.4 （2） x 2 1.1 1.5 1.8 1.7 1.9 1.8 1.8 2.1 2.4 2.5 （3） εi 0.8 -0.5 0.4 -0.5 0.2 1.9 1.9 0.6 -1.5 -1.5 （4）y i16.3 16.8 19.2 18.0 19.5 20.9 21.1 20.9 20.3 22.0然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项ε,见表第3行。
然后再由回归模型i i i i x x y ε+++=213210计算出10个i y 值,见表第4行。
现在假设回归系数与误差项是未知的,用普通最小二乘法求回归系数的估计得：0ˆβ=11.292, 1ˆβ=11.307,2ˆβ=-6.591,而原模型的参数0β=10,1β=2,2β=3看来相差太大。
计算1x ，2x 的样本相关系数得12r =0.986,表明1x 与2x 之间高度相关。
通过这个例子可以看到解释变量之间高度相关时，普通最小二乘估计明显变坏。
二、岭回归的定义当自变量间存在多重共线性,|X X '|≈0时，设想给X X '加上一个正常数矩阵kI (k>0)那么X X '+kI 接近奇异的程度就会比X X '接近奇异的程度小得多。
考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X 表示，定义y X kI X X k '+'=-1)()(ˆβ称为β的岭回归估计，其中，k 称为岭参数。
由于假设X 已经标准化，所以X X '就是自变量样本相关阵。
y 可以标准化也可以未标准化，如果y 也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。
)(ˆk β作为β的估计应比最小二乘估计βˆ稳定，当k=0时的岭回归估计)0(ˆβ就是普通的最小二乘估计。
因为岭参数k 不是唯一确定的，所以得到的岭回归估计)(ˆk β实际是回归参数β的一个估计族。
三、岭回归估计的性质性质1，)(ˆk β是回归参数β的有偏估计。
证明：ββX X kI X X y E X kI X X y X kI X X E k E '+'='+'='+'=---111)()()())(()](ˆ[显然只有当k=0时，ββˆ)]0(ˆ[=E ；当k ≠0时，)(ˆk β是β的有偏估计。
性质2，在认为岭参数k 是与y 无关的常数时，)(ˆk β=y X kI X X '+'-1)(是最小二乘估计βˆ的一个线性变换。
也是y ˆ的线性函数。
证明：ββˆ)()()()()(ˆ1111X X kI X X y X X X X X kI X X y X kI X X k '+'='''+'='+'=---- 性质3，对任意k>0，0ˆ≠β，总有ββˆ)(ˆ<k 。
这里•是向量的模，等于向量各分量的平方和。
这个性质表明)(ˆk β看看成由βˆ进行某种向原点的压缩。
从)(ˆk β的表达式可以看到，当k →∞时，)(ˆk β→0，即)(ˆk β化为零向量。
性质4，以MSE 表示估计向量的均方误差，则存在k>0，使得)ˆ()](ˆ[ββMSE k MSE <。
四、岭迹分析当岭参数k 在（0，∞）内变化时，)(ˆk β是k 的函数，在平面坐标系上把函数)(ˆk β描画出来，画出的曲线称为岭迹。
在图a 中，)0(ˆj β=j βˆ>0，且比较大。
从古典回归分析的观点看，应将j x 看作是对y 有重要影响的因素。
但)(ˆk j β的图形显示出相当的不稳定，当k 从零开始略增加时， )(ˆk j β显著地下降，而且迅速趋于零，因而失去预测能力。
从岭回归的观点看，j x 对y 不起重要作用，甚至可以去掉这个变量。
在图b 中，j βˆ=)0(ˆj β>0，但很接近0。
从古典回归分析看，j x 对y 的作用不大。
但随着k 略增加，)0(ˆj β骤然变为负值，从岭回归观点看，j x 对y 有显著影响。
在图c 中，j βˆ=)0(ˆj β>0，说明j x 还比较显著，但当k 增加时，迅速下降，且稳定为负值，从古典回归分析看j x 对y 有正影响的显著因素，而从岭回归分析角度看，j x 要被看作是对y 有负影响的因素。
在图d 中，)(ˆ1k β和)(ˆ2k β都很不稳定，但其和却大体上稳定。
这种情况往往发生在自变量1x 和2x 的相关性很大的场合，即1x 和2x 之间存在多重共线性的情形。
因此，从变量选择的观点看，两者只要保存一个就够了。
这种情况可用来解释某些回归系数估计的符号不合理的情形，从实际观点看，1β和2β不应该有相反符号。
岭回归分析的结果对这一点提供了解释。
从全局考虑，岭迹分析可用来估计在某一具体实例中最小二乘估计是否适用，把所有回归系数的岭迹都描在一张图上，如果这些岭迹线“不稳定度”很大，整个系统呈现比较“乱”的局面，往往就会怀疑最小二乘估计是否很好地反映了真实情况。
如图e 那样。
如果情况如图f 那样，则对最小二乘估计可以有更大的信心。
五、岭参数k 的选择岭参数选择的目的是要选择使MSE （)(ˆk β）达到最小的k ，最优k 值依赖于未知参数β和2σ。
1、岭迹法岭迹法的直观考虑是，如果最小二乘估计看来有不合理之外，如估计值以及正负号不符合经济意义，希望能通过采用适当的岭估计)(ˆk β来加以一定程度的改善，岭参数k 值的选择就是尤为重要。
选择k 值的一般原则是：（1）各回归系数的岭估计基本稳定；（2）用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理。
（3）回归系数没有不合乎经济意义的绝对值；（4）残差平方和增大不太多。
岭迹法与传统的基于残差方法相比，在概念上来说是完全不同的，岭迹法对于分析各变量之间的作用和关系是有帮助的。
2、方差扩大因子法应用方差扩大因子法选择k 的经验做法是：选择k 使所有方差扩大因子10≤jj c ，当10≤jj c 时，所对应的k 值的岭估计)(ˆk β就会相对稳定。
3、由残差平方和来确定k 值岭估计)(ˆk β在减小均方误差的同时增大了残差平方和，我们希望岭回归的残差平方和)(k SSE 的增加幅度控制在一定的限度以内，从而可以给定一个大于1的c 值，要求cSSE k SSE <)(,寻找使该式成立的最大的k 值。
六、用岭回归选择变量岭回归选择变量的原则：1、在岭回归的计算中，假定设计矩阵X 已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。
可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量。
2、当k 值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不是很小，但是不稳定，随着k 的增加迅速趋于零，像这样岭回归系数不稳定，震动趋于零的自变量可以予以剔除。
3.去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。
如果有若干个岭回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉哪几个，这并无一般原则可循，这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。
七、实例分析——用岭回归选择变量例1：空气污染问题，研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素的关系。
考虑了15个解释变量，收集了60组样本数据。
x1— 平均年降雨量；x2—1月份平均气温；x3—7月份平均气温 x4— 年龄65岁以上的人口占总人口的百分比；x5—每家人口数 x6— 年龄在22岁以上的人受教育年限的中位数x7—住房符合标准的家庭比例数；x8—每平方公里人口数 x9—非白种人占总人口的比例；x10—白领阶层人口比例x11— 收入在3000美元以下的家庭比例；x12—碳氢化合物的相对污染势 x13—氮氧化合物的相对污染势；x14—二氧化硫的相对污染势 x15—年平均相对湿度；y —每十万人中的死亡人数这个问题收集了60组样本数据。
根据样本数据，计算X X '的15个特征根为： 4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227 0.9605，0.6124, 0.4729，0.3708，0.2163 0.1665，0.1275，0.1142，0.0460，0.0049后面两个特征根很快接近零，由条件数可知：151λλλλ==j m j k =30.396，说明设计矩阵X 含较严重的多重共线性。
进行岭迹分析，把15个回归系数的岭迹绘成下图，从图中看到，当k=0.2时，岭迹大体上达到稳定。
按照岭迹法，应取k=0.2。
若用方差扩大因子法，当k 在0.02~0.08时，方差扩大因子小于10，故应在此范围选取k ，由此可以看到不同的方法选取的k 值是不同的。
在用岭回归进行变量选择时，因为从岭迹看到自变量x4,x7,x10,x11和x15有较稳定且绝对值较小的岭回归系数，根据变量选择的第一条原则，这些自变量可以去掉。
又因为，自变量x12和x13的岭回归系数很不稳定，且随着k 的增加很快趋于零，根据上面的第二条原则这些自变量也应该去掉。
还可根据第三条原则去掉变量x3,x5。
这个问题最后剩的变量是x1,x2,x6,x8,x9,x14即可用这些自变量去建立一个回归方程。
例2.本例共有10个自变量，X 已经中心化和标准化了，X X '的特征根为： 3.692，1.542，1.293，1.046，0.972， 0.659，0.357，0.220，0.152，0.068最后一个特征根10λ=0.068,较接近于零==101λλk 7.368,条件数k=7.368<10从条件数的角度看，似乎设计矩阵X 没有多重共线性。
但下面的研究表明，作岭回归还是必要的。
关于条件数，这里附带说明它的一个缺陷，就是当X X '所有特征根都较小时，虽然条件数不大，但多重共线性却存在。