Matlab学习系列23. 模糊聚类分析原理及实现

23. 模糊聚类分析原理及实现

聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。

传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。

随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。

本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。

（一）预备知识

一、模糊等价矩阵

定义1 设R=(r ij )n ×n 为模糊矩阵，I 为n 阶单位矩阵，若R 满足 i) 自反性：I ≤R （等价于r ii =1）； ii) 对称性：R T =R;

则称R 为模糊相似矩阵，若再满足

iii) 传递性：R 2

≤R （等价于1

()n

ik kj ij k r r r =∨∧≤）

则称R 为模糊等价矩阵。

定理1 设R 为n 阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k

（k

定义2 设A =(a ij )n ×m 为模糊矩阵，对任意的λ∈[0,1], 作矩阵

()

()

ij n m

A a λλ⨯=

其中，

()1, 0, ij ij

ij a a

a λλλ≥⎧=⎨<⎩

称为模糊矩阵A 的λ-截矩阵。显然，A λ为布尔矩阵，且其等价性与与A 一致。

意义：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由A λ得到不同的分类。

若λ1＜λ2, 则A λ1≥A λ2, 从而由A λ2确定的分类是由A λ1确定的分类的加细。当λ从1递减变化到0时，A λ的分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。

例1 设U={u 1, u 2, u 3, u 4, u 5}, 对给定的U 上的模糊等价关系

让λ从1到0变化，观察分类过程。 (1) 当λ=1时，

110000 01000 00100 00010 00001

R

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

分类结果为5类：（每行代表一类，1代表对应元素在该类）

{u1}, {u2}, {u3}, {u4}, {u5}

(2) 当λ=0.8时，

0.810100 01000 10100 00010 00001

R

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

分类结果为4类：{u1, u3}, {u2}, {u4}, {u5}

(3) 当λ=0.6时，

0.610100 01000 10100 00011 00011

R

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

分类结果为3类：{u1, u3}, {u2}, {u4, u5}

(4) 当λ=0.5时，

0.510111 01000 10111 10111 10111

R

⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

分类结果为2类：{u1, u3, u4, u5}, {u2}

(4) 当λ=0.4（R 中的最小值）时，

0.4

111111111111111111111

1111R ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

分类结果为1类：{u 1, u 2, u 3, u 4, u 5}

整个动态分类过程如下：

（二）基于择近原则的模糊聚类

择近原则就是利用贴近度来实现分类操作，贴近度用来衡量两个模糊集A 和B 的接近程度，用N (A ,B )表示。贴近度越大，表明二者越接近。

设论域有限或者在一定区间，即U={u 1, u 2, …, u n }或U=[a,b], 常用的贴近度有以下三种： (1) 海明贴近度

11(,)1|()()|n

i i i N A B A u B u n ==--∑

1(,)1|()()|d b

i i a N A B A u B u u b a

=---⎰ (2) 欧氏贴近度

1

2

2

1

(,)1[()()]

n

i i

i

N A B A u B u

=

⎫

=--⎪

⎭

∑

)122

(,)1[()()]d

b

i i

a

N A B A u B u u

=--

⎰

(3) 格贴近度

(,)()()

c c

N A B A B A B

=∧

其中，()

1

()()

n

i i

i

A B A u B u

=

=∨∧.

Matlab实现：格贴近度的实现函数fuz_closing.m

function y=fuz_closing(A,B,type)

%要求A与B列数相同的行向量

[m,n]=size(A);

switch type

case 1 %海明贴近度

y=1-sum(abs(A-B))/n;

case 2 %欧氏贴近度

y=1-(sum(A-B).^2)^(1/2)/sqrt(n);

case 3 %格贴近度

y1=max(min(ones(m,n)-A,ones(m,n)-B));

%ones(m,n)-A等于A^c

y2=max(min(A,B));

y=min(y1,y2);

end

例2设某产品的质量等级分为5级，其中一级有5种评判因素u1, u2, u3, u4, u5. 每一等级的模糊集为

B1={0.5 0.5 0.6 0.4 0.3}