强概率收缩对与概率赋范空间中非线性算子方程组的解
应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
算子（operator）和算法（Algorithm）
算⼦（operator）和算法（Algorithm）算⼦(operator)和算法(Algorithm)1、算⼦算⼦是⼀个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。
⼴义上的算⼦可以推⼴到任何空间，如内积空间等。
中⽂名：算⼦外⽂名：operator别名：算符定义：⼀个函数空间到函数空间上的映射应⽤领域：数理科学1.1、算⼦解释⼴义的讲，对任何函数进⾏某⼀项操作都可以认为是⼀个算⼦，甚⾄包括求幂次，开⽅都可以认为是⼀个算⼦，只是有的算⼦我们⽤了⼀个符号来代替他所要进⾏的运算罢了，所以⼤家看到算⼦就不要纠结，他和的没区别，它甚⾄和加减乘除的基本运算符号都没有区别，只是他可以对单对象操作罢了(有的符号⽐如⼤于、⼩于号要对多对象操作)。
⼜⽐如取概率P{X<x}，概率是集合{X<x}(他是属于实数集的⼦集)对[0,1]区间的⼀个映射，我们知道实数域和[0,1]区间是可以⼀⼀映射的(这个后⾯再说)，所以取概率符号P，我们认为也是⼀个算⼦，和微分，积分算⼦算⼦没区别。
总⽽⾔之，算⼦就是映射，就是关系，就是变换。
1.2、常见算⼦常见的算⼦有微分算⼦，梯度算⼦，散度算⼦，拉普拉斯算⼦，哈密顿算⼦等。
狭义的算⼦实际上是指从⼀个函数空间到另⼀个函数空间（或它⾃⾝）的映射。
⼴义的算⼦的定义只要把上⾯的空间推⼴到⼀般空间，可以是向量空间。
赋范向量空间，内积空间，或更进⼀步，Banach空间，Hilbert 空间都可以。
算⼦还可分为有界的与⽆界的，线性的与⾮线性的等等类别。
1.3、特征值对于⼀个输⼊和输出函数类型相同的算⼦T，满⾜的k称为T的特征值，相应的称作T关于k的特征函数。
1.4、可交换对两个输⼊和输出函数类型相同的算⼦和，如果，则称和为可交换的，可交换意味着和拥有同样的特征函数（但对应的特征值不同）。
1.5、认知⼼理学在⼼智技能形成的第⼀阶段，即认知阶段，要了解问题的结构，即起始状态，要到达的⽬标状态，从起始状态到⽬标状态所需要的步骤。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
优化理论
有限维空间的优化理论与算法
引言
刘红英 数学与系统科学学院
1.1 数学描述与例子
• 目 标：系统性能的一种“量的度量”(利润、时间、 势能)－－任何数量或某些量的组合－－数
• 变 量：目标所依赖的系统的“某些可控的特征” • 约束条件：经常变量以某种方式受限制(分子中电子密度
的量、贷款利率的量，不能是负的)
故必要条件即对所有 p，有
等价地
(一阶条件)，G*半正定(二阶条件)
稳定点/驻点(stationary point)：使得 g(x*)=0 的 x*
局部极小点的充分条件
定理. x*是严格局部极小点的充分条件是 ，G*正定.
例.考虑Rosenbrock函数
在x*=(1, 1)处 严格局部极小点－全局极小点 充分非必要：
优化问题的一般模型－－数学规划问题
一个小例子
• 可行域/可行集 • 最优解/解 • 图解法
1
优化建模(modeling)： 识别出给定问题的目标、变量和约束的过程。
• 建立恰当模型：第一步、最重要的一步(太简单－不能给 实际问题提供有用的信息；太复杂－不易求解)
• 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质量(无通用优化 算法，有求解特定类型优化问题的算法)
积极(约束指标)集 x2
x*
x1 Lagrange函数：
一阶条件：KKT条件
正则性假设1：
定理(一阶条件). 若 x* 是局部极小点且在 x* 处正则性假设1成立，则存在
Lagrange乘子 使得
满足
◎ Karush-Kuhn-Tucker条件, KKT条件/KKT点
局部极小的条件－充分条件(续)
定理.可微凸函数的稳定点是全局极小点
Z-P-S空间中非线性算子方程解的存在性定理
Ｓ ｍ ｅ ｎ ｗ ｉ ｅ ｏ ｎｔｔ ｅ ｒ ｍ ｓ ｉ ＿ － ｐａ ｅ ｏ ｅ ｆｘ ｄ ｐ ｉ ｈ ｏ ｅ ｎ Ｚ－ Ｓ ｓ ｃ Ｐ＿
ＴＡＮＧ Ｃｈａ ， ｏ ＣＨ ＥＮＧ — ｉ 。 ＣＨ ＥＮ Ｌｉｙ ｎｇ ， Ｃｈｕ ｆ ｎ ｎ—ａ ｇ。
文 章 编 号 ：０ ６０ ６ （０ ２０ －１００ １ ０—４ ４ ２ １） ２０ １—４
ＺＰ Ｓ空 间 中非 线 性 算 子 方程 解 的存 在 性 定 理 ——
唐 超 程 丽英 陈春 芳。 ， ，
（． １ 江西 电力 职 业 技 术 学院 公 共 教 育 系 ， 西 南 昌 ３ ０ ３ ；． 西科 技 师 范 大学理 工 江 江 ３０ ８
（ ． ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｕ ｌ ｕ ａｉｎ Ｊａ ｇ ｉＶｏ ａｉｎ ｌ＆ Ｔｅ ｈ ｉａ ｏｌｇ ｆＥｌｃｒｃｔ Ｎａ ｃ ａ ｇ ３ ０ ３ Ｃｈｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＰ ｂｉ Ｅｄ ｃ ｔ ，ｉｎ ｘ ｃｔｏ ａ ｃ ｏ ｃ ｎｃ ｌＣ ｌ ｅｏ ｅｔｉｉ ｅ ｙ， ｎ ｈ ｎ ３ ０ ２， ｉａ ２ Ｐ ｌｔｃ ｎｃＩ ｓｉ ｔ 。ｉｎ ｘ ｃｅ ｃ ＆ Ｔｅｈ ｏｏ ｙＮｏｍ ａ Ｕｎｖ ｒ ｉ ， ｎ ｈ ｎ ３ ０ ８ Ｃｈ ｎ ； ． ｏ ｙｅｈ ｉ ｎ ｔｔ ｅ Ｊａ ｇ ｉ ｉｎ ｅ ｕ Ｓ ｃ ｎ ｌｇ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｃ ａ ｇ ３ ０ ３ ， ｉａ ｙ
３ 南 昌大 学 数 学 系 ， 西 南 昌 ３ ０ ３ ） ． 江 ３ ０ １
摘
要： 自提 出 Ｚ Ｐ Ｓ空 间这 一 概 念 以来 ， 要 探 讨 了 不 动 点 和算 子 方 程 解 两 方 面 的 理 论 ， 立 了许 多 新 的定 理 。 －— 主 建
关于概率赋范线性空间上的线性算子的一致收敛
关于概率赋范线性空间上的线性算子的一致收敛
在概率赋范线性空间上，线性算子收敛一致性甚至被认为是统计力学上的一个
重要理论基石。
线性算子收敛一致性定义为：使用概率赋范空间上的可积分函数序列来描述的线性算子的若干特征值随着函数数量不断增加，而这些特征值是有限的，表示它们会随着这些函数数量的不断增加而不变。
在现在这一阶段，研究者们正专注于实证研究，以验证由特定线性算子引起的概率赋范空间上的可积分函数序列的若干特征值的收敛性。
实证研究结果表明，对于多数具有线性结构的概率赋范空间上的可积分函数序
列而言，其特征值确实会随着函数数量的不断增加而不变，从而表明线性算子收敛一致性成立。
另一方面，为了使概率赋范线性空间上的线性算子收敛一致性成立，除了实证
研究，还需要开展多方面的理论分析研究，即深入分析和检验线性算子在此类空间上的内在收敛性。
这方面的研究牵涉到计算数学、概率论、线性空间理论等不同领域的知识，因此其复杂性较高，需要许多领域内的联合研究。
综上所述，概率赋范线性空间上的线性算子收敛一致性的理论研究至今尚未完
全站稳脚跟，而实证研究也仍处于初期阶段，后续的理论分析和实证验证工作肯定会极大的推动该课题的发展，为统计力学提供更多的支持。
F＊空间中φn-型拟范收缩与非线性算子方程的解
Ｖ ， Ｘ Ｙ Ｅ （） １
Ｈａｓｏｆ拓 扑线性 空 间［（ ｕｄ ｒ ６ 简称 Ｆ 空 间 ）本 文在 ］ ．
Ｆ 空间的框架下引入拟范收缩 的概念 ， 并研究 Ｆ
空 间 中具有 这类 拟范 收缩 的非 线性算 子方程 解 的存 在 与唯一性 ． 利用 此 结论 得 到此 类 空 间 的相 应 不动 点定 理 ，改进 Ｂ ｎｃ 间的相应 结果． ａ ａｈ空 以下均设 Ｎ是 非 零 自然 数集 ，Ｒ ＋是 非 负实 数 集 ，Ｋ是实 （ 数 集． 复）
一 一
引理 １ ］ 设 （ ｒ是 Ｆ 空间， ［ ７ Ｘ， ） 则在 ｘ上存在
－
Ｎ拟范数 Ｍ一｛Ｊ ：∈Ｎ 满足 ： ｌ・ ）
并且 由该 拟范 数 列 Ｍ 导 出 的 Ｘ 上 的拓扑 ｒ Ｍ与 Ｘ
上的原拓扑 ｒ 相一致 ， 中 一（ １ｍ）九ｍＥ 其 Ｕ（ ，／ ：， Ｎ） 是关 于 Ｔ Ｍ上 ０的一组 邻域基 ，这里
Ｕ（ ， ｍ 一 ｛ Ｘ：Ｉ ＜ １ｍ） （） ｎ １ ） ｚ∈ ／ Ｉ ｌ ｌ ｚ ／ ２ 反之， Ｍ一｛Ｉ ： 设 Ｉ・ ∈Ｎ 是线性空 间 Ｘ上 的 ） 列拟范数 ， 满足 （ －）（ －） 则在 Ｘ上存在唯 Ｑ １一Ｑ ４ ，
ｓ ｃ ｕ ｓ ｎ ｒ ｃ ｎ ｒ ｃｏ ｓ ａ ｅｗｅｅｓｕ ｉｄ ｕ ｈ ｑ ａ ｉ ｏ ｍ ｏ ｔａ ｔ ｒｉ Ｆ ｐ ｃ ｒ ｔ ｄｅ ．Ｂｙｕ ｉｇ ｔ ｅ ，ｓ ｍ ｅｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉｇ ｆ ｅ ｏｎ ｈ — － ｎ ｓｎ ｈ ｍ ｏ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄｎ ｉ ｄｐ ｉｔｔ ｅ ｘ
概率收缩与概率赋范空间中非线性方程的解
概率收缩与概率赋范空间中非线性
方程的解
概率收缩：概率收缩是一种基于概率论的最优化方法，它可以用来解决非线性最优化问题。
概率收缩算法通过收缩空间中的参数，使得最优化问题转化为更容易求解的子问题，从而解决最优化问题。
当把非线性方程带入到概率收缩空间中时，可以将原始非线性方程收缩成更小的子问题，然后使用相应的方法来求解收缩的子问题，最后得到非线性方程的解。
概率赋范空间：概率赋范空间是一种衡量多个变量之间关系的技术，可以用于分析复杂系统中变量之间的相关性。
它可以用来解决非线性方程，可以将原始非线性方程转换为概率赋范空间中的线性方程，然后使用线性代数方法求解线性方程，最后得到非线性方程的解。
赋范线性空间中强增生算子方程的迭代解
ｆ 一 ｆ
一
２ Ｈ ，（ ＋ （ Ｊ 一 ＿ 一
≤ｌ ｌ
・
ｌ 一２ ｌ ＋ ｌ ａ ｌ １一
ｌ ＋ ｌ 一
引理 １２ ．
设 ｛ ｏ
， ｂ ｝ ． ｛ ｝ 是 三个 非负 实 数列 ， 足 条件 ， 在 正整数 ｎ ， ｛ 和 ； 满 存 。
当 ｎ≥ｎ时， ６ ≤（ ＋ｂ ｏ ｎ 其中 ∑ ｂ ＜ ， ｃ ， … 存在 ０ 有ｌ １ ＋Ｃ， ） ∑ ＜ 则 ｉ ｍ
，
Ｙ∈ Ｄ（ ） 存 在 （ —Ｙ Ａ ， ）∈ ． —Ｙ ， 足 ， （ ）满
（ ｘ—Ａ ，（ —Ｙ ）≥ ｋＩ —ＹＩ Ａ ｙ ） Ｉ
其 中 的 ｋ称 为 ４ 的 强 增 生 常 数 ．
（ ．） １ １
２０ ０ ２年 Ｃ ｉｕ ｅＣＥ与 Ｚ ｇｙ 在 一 般 赋 范 线 性 空 间 研 究 了 强 增 生 零 点 的 最 速 下 降 法 的 ｈｄ ｍ ｅｅｅＨ 逼 近 问题 ． 近 ， 小 玲 ， 理 蔚 证 明 了 如 下 结 果 ： 最 李 刘
赋 范 线 性 空 间 中强 增 生 算 子 方 程 的迭 代 解
张树 义
（ 渤海 大学 数 学 系 ，锦 州 １ １０ ） ２ ０ ０
Hale Waihona Puke 摘 要 ： 在 去 掉 ｛ ， ） ｝ 界 的 条 件 下 ， 实 赋 范 线 性 空 间 中研 究 了 强 增 生 映 象 零 点 的最 速 下 降法 （ ～ 有 在 的 迭 代 逼 近 问 题 ， 而 改 进 和 发展 了 近期 的 相 关 结 果 ． 从
第 ｌ卷 第 １ ２ 期 ２０ １ ０年 ３月
应 用 泛 函分 析 学 报
ＡＣ ＴＡ ＡＮＡＬ Ｉ ＵＮＣ ０ＮＡＬ Ｓ ＡＰＰ Ｉ ＡＴ ＹＳ Ｓ Ｆ Ｔ１ Ｉ Ｌ Ｃ Ａ
【2024版】人工智能及其应用蔡自兴)课后答案
可编辑修改精选全文完整版人工智能及其应用(蔡自兴)课后答案第二章知识表示方法2-1 状态空间法、问题归约法、谓词逻辑法和语义网络法的要点是什么？它们有何本质上的联系及异同点?答：状态空间法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。
一般用状态空间法来表示下述方法：从某个初始状态开始，每次加一个操作符，递增的建立起操作符的试验序列，直到达到目标状态为止。
问题规约法：已知问题的描述，通过一系列变换把此问题最终变成一个子问题集合：这些子问题的解可以直接得到，从而解决了初始问题。
问题规约的实质：从目标出发逆向推理，建立子问题以及子问题的子问题，直至最后把出示问题规约为一个平凡的本原问题集合。
谓词逻辑法：采用谓词合式公式和一阶谓词算法。
要解决的问题变为一个有待证明的问题，然后采用消解定理和消解反演莱证明一个新语句是从已知的正确语句导出的，从而证明这个新语句也是正确的。
语义网络法：是一种结构化表示方法，它节点和弧线或链组成。
节点用于表示物体、概念和状态，弧线用于表示节点间的关系。
语义网络的解答是一个经过推理和匹配而得到的具有明确结果的新的语义网络。
语义网络可用于表示多元关系，扩展后可以表示更复杂的问题2-2 设有3个传教士和3个野人来到河边，打算乘一只船从右岸渡到左岸去。
该船的负载能力为两人。
在任何时候，如果野人人数超过传教士人数，那么野人就会把传教士吃掉。
他们怎样才能用这条船安全地把所有人都渡过河去?用Si(nC, nY) 表示第i次渡河后，河对岸的状态，nC表示传教士的数目，nY表示野人的数目，于总人数的确定的，河对岸的状态确定了，河这边的状态也即确定了。
考虑到题目的限制条件，要同时保证，河两岸的传教士数目不少于野人数目，故在整个渡河的过程中，允许出现的状态为以下3种情况： 1. nC=0 2. nC=33. nC=nY>=0 (当nC不等于0或3)用di(dC, dY)表示渡河过程中，对岸状态的变化，dC表示，第i次渡河后，对岸传教士数目的变化，dY表示，第i次渡河后，对岸野人数目的变化。
M-PN空间中几个非线性算子问题
（ Ｎ 一４） 任 意 的 ， ∈Ｅ，。ｔ Ｐ 对 Ｙ ｔ，２∈Ｒ 若 ，
（１ （２ ｔ）＝１ ｔ）＝１ 则 有 ＋（１ ２ ， ｔ ＋ｔ）＝１ ； （ Ｎ一 ） 任 意 的 ， Ｐ ５对 Ｙ∈Ｅ， 一 切 的 ｔ，２∈ 及 。ｔ Ｒ 则 有 ＋（。 ２ ≥△（ （。 （２ ） ， ｔ ＋ｔ） ｔ） ｔ） 。
对一 切 的 ａ ｂ ｃ ｄＥ［ １ ： ， ， ， ０， ］
（ △一１ Ａ（ ，）＝ ， ０ ０ ０； ） ａ １ ａ Ａ（ ， ）＝ （ △一２ Ａ（ ｂ ） ａ，）＝Ａ（ ， ） ｂ口 ；
（ Ｎ一２ （）＝ （） Ｖｔ Ｐ ， ∈Ｒ， 当且 仅 当 ＝ ； ０
（ Ｎ一３ 对 任 一实 数 仅≠０ （）＝ （ 仅Ｉ ； Ｐ ） ｔ ∥Ｉ ）
（ ． ｅａｔ ｎ ｏ ａｈｍ ｔ ｓＮ ｎ ｈｎ ｎｖｒ ｔ， ａｃａ ｇ ３０ ，ｈｎ ； １ Ｄ ｐｒ ｍｅｔ ｆ ｔｅ ａｉ ， ａ ｃａｇＵ ｉ ｓ ｙ Ｎ ｎｈｎ ０ ３ Ｃ ｉａ Ｍ ｃ ｅｉ ３ １
２． ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｃｅ ｅ， ｎ ｈａ ｇ Ｉｓｔ ｅｏ ｅｈ ｏ ｇ ， ａｃ ａｇ３ ０９ ， ｈｎ ） Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆｓ ｉｎｃ Ｎａ ｃ ｎ ｎｔｕ ｆ ｃｎｌｙ Ｎ ｎ ｈｎ ３ ０ ９ Ｃ ｉａ ｉｔ Ｔ ｏ
．
Ａ ｓ ａｔＴ ｅｓｌｔ ｎｏ ｏ ｂ ｔ ｃ： ｈ ｏｕｉ ｆ ｎ—ｌ ｅ ｒ ｐ ｒｔ ｑ ａ ｏ ｘ ／ （ ≥１ ｉ ｔｅ Ｍ ｎ ｅ ｒｂｂｌ ｔ ｏｍ ｄ ｒ ｏ ｎ ｉ ａ ｅａｏ ｅｕ ｔ ｎ Ｔ ． ｎ ｏ ｒ ｉ ｔ ｘ ）ｎ ｈ ｅ ｇｒｐｏ ａ ｉｓ ｃｎｒ ｅ ｉｉ ｓａｅ ｓｏ ｌ， —Ｐ ｐ ｃ ）ｉ ｓ ｉ ｙｕｉｇＴ ｐ ｌ ｉ ｌ ｅ ｒｅｍ ｔｏ ｎ ｏ ｅｔｅｒｍｓａｄ ｄ ｄ ｃｉ ｓ ｐｃ （ｈａｙ ａＭ Ｎ ｓａ ｅ ｓ ｔ ｅ ｂ ｓ ｏｏｏ ｃ ｇｅ ｅ ｄ ａ ｄｓｍ ｈ ｏｅ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ ｕ ｄ ｎ ｇａｄ ｈ ｏ
赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
赋范线性空间
n i =1
bi
2
⎞1/ 2 ⎟⎠
，
Tx 2 = (z1, z2 ,
, zm )T
=
2
∑ ∑ ∑ m zi2 =
m⎛ n
⎞2
⎜ aij x j ⎟
i=1
⎝ i=1 j=1
⎠
∑ ∑ ∑∑ ∑ ≤
m⎛ n ⎜
⎞2 aij x j ⎟ ≤
⎛m ⎜
n
ai2j
⎞ ⎟
⎝ i=1 j=1
⎠
⎝ i=1 j=1 ⎠
n
例2 C[a,b] 、L[a,b] （在[a,b]上可积分函数全体），在通常 意义下的“加法”“数乘”运算下是线性空间。
例3 Pn (x)——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法”“数乘”运算下是线性空间。
例4 Qn (x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间。
3）范数的等价性
定义
设线性空间 E 中定义了两种范数
x和 1
x 2
如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强；
若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2比 x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
②
x
∞
= max 1≤i≤n
xi
，则(R n ,
x
)是赋范线性空间。
∞
n
∑ ③
x= 1
xi ，则(Rn, x 1 )是赋范线性空间。
i =1
例2 C[a,b] 是线性空间，若
定义
①
泛函分析简介
泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
编辑本段赋范线性空间概况 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
intro1数学课程简介
课程号：20100440 课程名：泛函分析课程英文名：Functional Analysis学时：68 学分：4先修课程：实变函数、高等代数基本面向：数学学院教材：《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书：1.《实变函数与泛函分析》（下册）夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》（下册）曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin，Functional Analysis，McGraw_HillBook Company，1973课程简介：线性赋范空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。
Banach 空间上有界线性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定理，谱理论，紧算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert 空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示定理）。
课程号：20100640 课程名：概率统计课程英文名Probability and Statistics学时：68 学分：4先修课程：数学分析、线性代数基本面向：数学学院各专业教材：《概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社1997参考书：1．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。
2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）梁之舜等高等教育出版社1988课程简介：事件与概率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。
课程号：20100850 课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学基本面向：数学数院各专业教材：《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer（计划2004年出版参考书：1。
《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。
数学学院硕士研究生课程内容简介
数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。
内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。
主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。
参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。
2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。
5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。
非线性有限元 第2章非线性代数方程组的解法
（简称修正的 Newton 法） 。此时，仅第一步迭代需要完全求解一个线 性方程组，并将三角分解后的 K T 存贮起来，以后的每一步迭代都采 用公式
0 1 i δ i ( K T ) ψ 0
0
(2-9)
i
图 2－5
这样，只需按式(2-9)右端的 ψ 进行回代即可。 修正 Newton 法的每一步迭代所用的计算时间较少，但迭代的收敛速度降低。为了提高 收敛速度，可引入过量修正因子 w 。在按（2-9）式求出 δ 之后，采用下式计算新解
F ψ i ) ( )i δ δ i i δ δ
(2-7)
对于单变量的非线性问题，其迭代过程见图 2-3 和 2-4，可以看出 K T ( ) 是 F ~ 曲线上
F ( )) 的切线斜率
9
Newton 法的收敛性是好的，但对某些非线性问题，如理想塑性和塑性软化问题，在迭 代过程中 K T 可能是奇异或病态的，于是 K T 的求逆就会出现困难。为此，可引入一个阻尼
i 1
) 后，再由它求出 δ i δ i ( K-15)
(K i ) 1 AB T
式可得
(2-16)
其中 A 和 B 均为 N×1 阶向量。将（2-16）式代入（2-14）后，再将（2-14）式代入（2-15）
11
AB T ψ i δ i ( K i ) 1 ψ i
其中 1 , 2 , , n 是未知量，ψ1 , ψ 2 , , ψ n 是 1 , 2 , , n 的非线性函数，现引用矢量记号
δ [ 1 2 n ]T ψ [ψ1 ψ 2 ψ n ]T
上述方程组可表示为
ψ ( δ) 0
实变函数与泛函分析-教学大纲
实变函数与泛函分析-教学大纲第一篇：实变函数与泛函分析-教学大纲实变函数与泛函分析教学大纲Functions of Real Variables and Functional Analysis一、基本信息适用专业：信息技术专业课程编号：教学时数：72学时学分：4 课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版曹广福.高等教育出版社参考书[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue 积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。
三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。
期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。
四、课程教学内容及课时分配第一章集合与点集要求1、掌握集合的势，可数集2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理主要内容集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理重点集合的势，可数集课时安排（4学时）1、集合的势，可数集2学时2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理2学时第二章 Lebesgue测度要求1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造3、熟练掌握可测函数的收敛性主要内容：Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性重点外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性课时安排（12学时）1、外测度、可测集以及它们的性质4学时2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造4学时3、可测函数的收敛性4学时第三章Lebesgue积分要求：1、熟练掌握可测函数的积分及性质2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理主要内容：可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann 可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理重点可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理课时安排：（16学时）1、可测函数的积分及性质6学时2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件6学时3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理4学时第四章L空间要求：1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性2、熟悉L空间的内积，标准正交基3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：pLp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换重点Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性课时安排（10学时）1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性4学时2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法4学时3、卷积与Fourier变换2学时 pp第五章 Hilbert空间理论要求：1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱主要内容：距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。
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１ Ｎ．Ｎ 分别 是 （ ， △ ）和 （ ， ， ） 的 Ｂ（ ， ， ）零 元 邻 域 基所 导 出 的拓 扑 ． 射 ． ，， Ｆ， ｙ △ 上 ０ ￡Ａ 一 映
收 稿 日期 ：２ ０ — １０ ０ ８０ —２
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （０ ６０ ７ ０ ６ ０ ７ ；江 西 省 自然 科 学 基 金 （ ４ １４ ， ０ ７ Ｚ ２ ５ ） 江 西 省 １４ １ ０ ，１ ７ １ ０ ） ０ １０ ３ ２ ０ Ｇ Ｓ ０ １ ； 教 育 厅 科 研 项 目（ｏ ６ ８ ） ２ｏ ［ ］
第 ｌ 期
王 圣 ， ： 概 率 收缩 对 与 概 率 赋 范 空 间 中非 线 性 算 子 方 程 组 的 解 等 强
７
Ｐ： Ｄ ｃ Ｘ— Ｙ称 为是 Ｎ 闭 的 ， 果对 任 意序列 ｛ ｝ 当 如 ｃ Ｄ，
且 Ｐ ＝ Ｙ． ｘ
，
Ｙ 有 ∈ Ｄ ，
定 义 １４ 令 ， ．… ｙ是非 空集 合 ， Ｄ ｃ 一 ２ 其 中 ２ 示 ｙ的所 有非 空子 集 ） 集值 Ｐ： （ 表 是 映射 ． 值映 射 ｐ： 一 】称 为 Ｐ的选 择 映射 ， 单 Ｄｃ ， 如果 对 任意 ∈ Ｄ， Ｐ ）∈ Ｐ（ ． 有 （ ）
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ． ； １ ７ ９ ２ １３ ０ ７ ．１
１ 引
言
表示 一切 非负实 数 的集 合 ． 映象 ＿ Ｒ一 称 为分 布 函数 ， 厂 ： 如
设 尺表示一 切实数 的集合 ，
果它是 非减 的 ， 左连 续 的 ， 且满 足下列 条件 ：
ｎ ￡ ｆ（ ）＿０ 譬 （ ｆ ， ）： １
对给定 的 Ｙ ∈ Ｙ 如果 存在 。 ，
有 解 …
∈ Ｄ使 得 ， 。 Ｐ（ ） 那 么就 说方 程 ｙ Ｙ ∈ ， 。∈ Ｐ（ 在 Ｄ 中 ）
２ 主 要 结 论
定 义 ２ １ 令 （ ， △ ）和 （ ， ， ） 别 是 Ｍ ｎｅ Ｐ ． Ｆ， Ｙ △ 分 ｅｇｒ Ｎ空 间 ， — （ ， ） ｉ： １ ２ ｒ： １ ， ， ，． Ｐ， Ｄ ｃ 一 ２ Ｑ： 是集 值 映射 ， ｑ Ｄ ｃ Ｘ— ｙ 别 是 Ｐ， ｐ， ： 分 Ｑ的选 择映 射 ．ｒ ， ： 称 为 Ｐ， （ ｒ ） Ｑ在 Ｙ 。∈ Ｙ的强概 率 收缩对 ， 果存 在 函数 ：０ ＋∞） ［ ， 如 ［， 一 ０ ＋∞） 合条 件 （ 和 。∈ （ ， ）使 符 中） ０１ ， 得对 任意 ｔ≥ ０ ∈ Ｄ， ， Ｙ∈ Ｙ和 给定 的 Ｙ 。∈ Ｙ有 下列 条 件成立 ：
（ Ｎ４ Ｐ 一）对 任意 ， Ｙ∈ Ｅ，．ｔ ｔ，２∈ Ｒ 有 ＋ ｔ ＋ ｔ）≥ Ａ （ （， ， （ ） ， （． ： ｔ） ｔ） ．
空 间 （ ， △ ） 为 非 Ａｃｉ ｅｅｎ Ｍ ｎｅ Ｎ 空 间 （ 称 Ｎ．Ａ．Ｍ Ｐ 空 间 ） 如 果 它 是 Ｆ， 称 ｒ ｍ ｄａ ｅｇｒＰ ｈ 简 —Ｎ ， Ｍ ｎｅ Ｎ空 间 ， 对 所 有 的 ， ， ∈ Ｅ 和 ｔ，：≥ ０有 ｅｇｒ Ｐ 且 Ｙ ，ｔ （ Ｎ５ 一（ ａ ｛。 ｔ｝ Ｐ 一） ：ｍ ｘ ｔ，： ）≥ △ （ 一（ 。 ， 一（ ） ． ｔ） ｔ ）
强 概 率 收缩 对 与概 率 赋 范 空 间 中
非 线性 算 子 方 程 组 的解
王 圣 ， 朱传喜
（ 昌大 学 数 学 系 ，南 昌 南 ３０３ ） ３０ １
摘 要 ： 在 Ｍ ｎｅ Ｐ ｅｇｒ Ｎ空 间 引 入 强概 率 收 缩 对 的概 念 ， 研 究 了具 有 强 概 率 收 缩 对 的 非 线性 算子 方程 组 并 解 的存 在 性 和 唯 一性 ． 些 结 果 改进 和推 广 了非 ＡｃｉｅｅｎＭｅｇｒ Ｎ空 间 中 相 应 的 结果 ． 这 ｒ ｍ ｄａ ｎｅ Ｐ ｈ 关 键 词 ： 强 概 率 收 缩 对 ； Ｎ空 间 ； 值 映 射 ； 线 性 算 子 ＭＰ 集 非
第 ｌ卷 第 １ ２ 期 ２０１０年 ３月
应 用 泛 函分 析 学 报
ＡＣＴ ＡＮＡＬ Ａ ＹＳ Ｓ Ｆ Ｉ ＵＮＣ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰ １ ＴＩ Ｉ ＰＬ ＣＡＴＡ
Ｖｏ １．１２
Ｍａ ｃ ｒ ｈ，
Ｎｏ ．１
２ ０ ０１
文 章 编 号 ：１０ ．３ ７（０ ０）叭一０ ６０ ０ ９１ ２ ２ １ ０ ０ —５
本 文 皆假定 ｔ 范数 △ 是连 续 的 ， ∑表 示一 切分布 函数 的集合 ． 一 用
空 间 （ Ｆ， ） 为 Ｍ ｎｅ 概 率 线 性 赋 范 空 间 。 Ｍ ｎｅ Ｎ 空 间 （ 称 Ｍ Ｐ 空 间 ） 如 果 Ｅ， Ａ 称 ｅｇｒ 即 ｅｇｒ Ｐ 简 —Ｎ ，
Ｅ是一个实线性空间， 映象／Ｅ ∑ （ ：一 记分布函数Ｌ 为 ， （） 在￡ 厂 （ 又 ￡表示 ） ∈Ｒ的值） ，
这 里 厂∈ Ｆ， 足 下 面 的 条 件 ： 满
（ Ｎ一 ） （ ） ＝ ０ Ｖ ∈ Ｅ； Ｐ １ ０ ，
（Ｎ ２ （ ）＝ Ｈ（ ） Ｖｔ∈ Ｒ， 且 仅 当 ＝ ０ Ｐ 一） ｔ ｔ， 当 ；
／
（ ＿ 对 意 数ａ ｏ ） ｆ Ｔ Ｐ ３ 任 实 ≠ ， （ ＝ｘ － Ｎ） Ｌ （ Ｊ
由条 件 （ Ｎ５ 易知 ， 一 一
定 义 １ １ 函数 ：０ ＋∞） ［ ， 。 称为 符合条 件 （ ） 如果它 是严 格递增 的 ， （ ） ．㈩ ［， 一 ０ ＋。） ， ０
＝
０ 且 对 任 意 ｔ＞ ０ ｌ （ ）＝＋ ∞ ． ， 有 ｉ ａ ｒ ｔ
定义 １２ ． 数 △ 称 为 ｈ一 的 ， ．…ｔ 范 型 如果 ｛ △ （ ）： ， ｔ＝ １ 是等度 连续 的 ， 中 ｔ｝： 在 处 其
△ ｔ （ ）： Ａ （ ， ） Ａ （ ）： Ａ （ ｔ ， ） ｔ∈ ［ ， ］ ｔｔ ， ｔ Ａ一 （ ） ｔ ， ０ １ ，ｍ ＝２ ３ … ，， 定义 １ ３ 令 （ Ｆ， ） （ ， △） ．… ｘ， Ａ 和 ｙ Ｆ， 是两 个 Ｍ ｎｅ Ｐ ｅｇｒ Ｎ空 间 ， 且 △ 满 足 ：ｓ ｐＡ （ ， ） 并 ｕ ｔｔ