考研数学知识点总结(不看后悔)

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极限数列的极限特殊——函数的极限一般

极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势

由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值

连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率

微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分

定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确

什么样的函数有定积分

求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法

微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理可从几何意义去加深理解

泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势

连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换

微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在

仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零

所以函数在某点的极值情况即函数在该点附近的函数增量的符号由二阶微分的符号判断。对一元函数来说二阶微分的符号就是二阶导数的符号对二元函数来说二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路首先看通项是否趋于零若不趋于零则发散。若通项趋于零看是否正项级数。若是正项级数首先看能否利用比较判别法注意等比级数和调和级数是常用考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板

来作比较的级数若通项是连乘形式考虑用比值判别法若通项是乘方形式考虑用根值判别法。若不是正项级数取绝对值考虑其是否绝对收敛绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛考察一般项看是否交错级数用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数只能通过最根本的方法判断即看其前n项和是否有极限具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件比值和根值法只是充分条件不是必要条件。

函数项级数情况复杂一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数关键在于求出收敛半径而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性端点情况复杂需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是余项误差要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。微分方程不同种类的方程有不同的常见解法但理解上并无难处。

定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分从物理意义上来理解是某个空间区域直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域的质量其中被积元可看作区域的微小单元被积函数则是该微小单元的密度这些积分最终都是转化成定积分来计算

第二类曲线积分的物理意义是变力做功或速度环量第二类曲面积分的物理意义是流量

在研究上述七类积分的过程中发现其实被积函数都是空间位置点的函数于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数

场函数有标量场和向量场一个向量场相当于三个标量场

场函数在一点的变化情况由方向导数给出而方向导数最大的方向称为梯度方向。梯度是一个向量任何方向的方向导数都是梯度在这个方向上的投影所以梯度的模是方向导数的最大值

梯度方向是函数变化最快的方向等位面方向是函数无变化的方向这两者垂直

梯度实际上一个场函数不均匀性的量度梯度运算把一个标量场变成向量场

一条空间曲线在某点的切向量便是该点处的曲线微元向量有三个分量它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系考研英语作文万能模板

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一张空间曲面在某点的法向量便是该点处的曲面微元向量有三个分量它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系

物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定其值为速度场的散度

散度运算把向量场变成标量场散度为零的场称为无源场

高斯定理的物理意义对散度在空间区域进行体积分结果应该是这个空间区域的体积变化率同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的故两者应该相等。即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来无源场的体积变化为零这是容易理解的相当于既无损失又无补充

物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定其值为速度场的旋度

旋度运算把向量场变成向量场旋度为零的场称为无旋场