普朗克公式的推导

普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式

普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式是描述黑体辐射能谱的一个基本公式，它可以推导出维恩公式和瑞利金斯公式。

普朗克公式为：
$$B_\lambda(\lambda,
T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda
k_BT}-1}$$
其中，$B_\lambda(\lambda, T)$表示单位面积、单位波长的辐射能量密度，$\lambda$为波长，$T$为温度。

$h$为普朗克常数，
$c$为光速，$k_B$为玻尔兹曼常数。

当求导$B_\lambda(\lambda, T)$关于$\lambda$，并令导数为零时，可以得到$\lambda_{\rm{max}}T= 2.898\times 10^{-3}\
\rm{m\cdot K}$，即维恩位移定律，它告诉我们，对于不同温度的黑体，辐射能量密度的峰值波长$\lambda_{\rm{max}}$和温度成反比。

当波长$\lambda$趋近于零时，可以将普朗克公式化简为瑞利金斯公式：
$$B_\lambda(\lambda,
T)\rightarrow\frac{2hc^2}{\lambda^4}$$
这表明在紫外光区，辐射能量密度与波长的四次方成反比。

这就是瑞利金斯定律。

普朗克黑体辐射公式推导(精.选)

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

普朗克黑体辐射公式推导

欢迎阅读普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

普朗克从其公式中推导出的

普朗克从其公式中推导出的
波普朗克（Planck）定律是物理学的基本原理之一，它最初由德国物理学家Max Planck提出，并推导出一个物理定律，即物体在受到热力的作用时，会以一种称为频谱的分布方式散发红外辐射，并可由以下著名公式来描述：
E=hv，其中h是普朗克常数（约6.626×10^-27 erg-s），而v则为受热物体散发出红外辐射的频率。

普朗克定律是物理学中宸曦诺拉怡重要的物理定律，它有可能改变我们关于物理世界的理解。

该定律最早是由Max Planck提出，由热力作用而散发出红外辐射的物体会以一种频谱的分布方式发射出来，并可由普朗克定律的此一公式来反映，即E=hv。

波普朗克定律的提出，实质上已经改变了许多科学研究的方向，在热力学、光学和原子物理的研究方面都发挥了重要的作用，从而奠定先进的物理学和化学的发展基础。

该定律还被应用到其他学科领域中，如传输站通信、信道发射和红外成像技术等，为传信技术的发展提供了强有力的理论基础。

普朗克定律是一个实用型定理，学习这一物理定律十分有必要，学生们应该熟悉普朗克定律的内容，以及利用以上公式描述物体受热后散发的红外辐射的分布规律等。

这样可以更加深入地理解普朗克定律所体现出来的宽广的物理规律，加深对物理学理论的了解。

普朗克质量公式推导过程

普朗克质量公式推导过程好的，以下是为您生成的关于“普朗克质量公式推导过程”的文章：咱先来说说普朗克质量这回事儿。

这玩意儿在物理学里可有着重要的地位。

要说普朗克质量公式的推导，那得从普朗克常量说起。

普朗克常量h ，这可是个神奇的常数。

想象一下，你在一个安静的实验室里，周围摆满了精密的仪器。

灯光柔和，一切都显得那么严谨而神秘。

你面前的电脑屏幕上显示着各种复杂的公式和数据。

就在这时，你开始思考着如何从这些看似杂乱无章的物理量中，找出那个能揭示宇宙奥秘的关键。

咱回到普朗克质量的推导。

根据狭义相对论，能量和质量是等价的，这就是著名的质能方程 E = mc²。

而能量又和频率有关，普朗克提出了能量子的概念，即能量 E 等于普朗克常量 h 乘以频率ν ，也就是 E =hν 。

把这两个式子结合起来，就能得到m = hν / c² 。

但这还不是普朗克质量的最终形式。

再进一步，考虑到量子力学中的不确定性原理，就是说位置和动量不能同时被精确确定。

假设一个粒子的位置不确定性为Δx ，动量不确定性为Δp ，它们的乘积有一个下限，即Δx Δp ≥ ħ / 2 ，其中ħ 是约化普朗克常量，ħ = h / 2π 。

当我们假设位置的不确定性最小为普朗克长度 Lp 时，根据广义相对论的黑洞理论，能得到Lp = √(Gh / c³) 。

而对于动量的不确定性，当它达到最大值时，就可以得到普朗克质量。

假设动量不确定性Δp 约等于 mc ，那么结合上面的式子，经过一番复杂的推导和计算（这中间的数学过程可真是让人头疼，但咱得一步步来），最终就能得到普朗克质量的公式：Mp = √(hc / G) 。

这里的 G 是引力常量。

在这个推导过程中，每一步都像是在黑暗中摸索着前进，每一个公式都是一盏小小的明灯，指引着我们走向真理的方向。

当你终于搞清楚这整个推导过程的时候，那种成就感，就像是在黑暗中走了很久，突然看到了曙光，心里别提多敞亮了。

普朗克公式的推导过程

普朗克公式的推导过程
嘿，朋友！今天咱就来好好聊聊普朗克公式的推导过程。

先来说说黑体辐射，这就好比是一个神秘的黑盒子，不断向外辐射能量。

那怎么描述这种辐射呢？这就用到了普朗克公式 E=hf ，这里的 E 代表能量，h 是普朗克常数，f 是频率。

咱举个例子啊，就好像不同的音乐频率，高音就像高频率，能量大，低音就像低频率，能量小。

普朗克就像是发现了音乐背后的神秘规律一样了不起！
然后呢，普朗克通过一系列超级厉害的思考和计算，发现能量不是连续的，而是一份一份的，就像巧克力豆，一颗一颗的，不能再细分了。

这可真是让人大吃一惊啊！难道不是吗？
通过这一系列奇妙的推导和发现，普朗克公式就诞生啦！它就如同照亮黑暗的明灯，让我们对这个神奇的物理世界有了更深刻的理解。

哇塞，是不是超级酷？哈哈！。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。

它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。

普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。

普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。

其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。

最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。

普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。

它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。

普朗克公式的推导Derivation of Planck’s law首先，考虑一个边长为L的正方体盒子，里面充满了电磁辐射，能够发出形成受盒子大小限制的驻波。

我们假设这些波不发生干涉，所以可以被划分为在三个笛卡尔坐标系方向上。

波长如下：是非零自然数，i代表笛卡尔坐标系的三个维度）根据量子力学，一个给定态的能量可以用如下表示：h代表普朗克常量，N代表这种这种态的个数，或是光子数，或是给定能量数。

重要的是，不像电子，无限数量的一种态或是光子，其给定的能量是存在的。

其符合玻色爱因斯坦统计。

其次考虑光子气的统计力学：为了推导光子气的能量密度，我们首先需要知道在给定温度下，一种光子气的能量状态可能和哪些物理量有关。

我们求助于统计力学，其揭示的公式如下：这里代表的是热力学能量的倒数，即, Z（）是一个因子，被称为分割函数。

其公式如下：=其中=，即单个光子的能量根据统计力学，一种给定态的平均能量（其和平均光子数有关）可表示为=光子气的能量密度：现在，我们有了给定态的平均能量的表达式，我们可以积分所有态的表达式，来寻找光子气的总能量，其可表示为：=是指状态密度的函数，它给出了在单位能量间隔中，允许存在的态的个数。

可表示为所以单位体积的能量为：被积函数是光谱能量密度，该式还可以用波长和频率表达=黑体辐出度：现在假设，黑体的一侧被挖了一个小孔，所有从这个小孔辐射出的辐射波都以光速前进。

而且这些辐射出的波以2的半球立体弧度均匀分配，并且有一半能量是朝外发射的所以光谱辐出度可以被定义为单位波长的单位立体角的单位区域的辐射出的能量。

普朗克黑体辐射公式的详细推导

普朗克黑体辐射公式的详细推导普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。

当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。

考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。

根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即：N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。

考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。

根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε其中，m是振动体的质量。

将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到：g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv其中，c是光速。

由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：N(ε)dε = N(v)dv将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得：N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：u(v) = N(v)hv代入上式并进行整理，得到：u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。

通过对普朗克黑体辐射公式的推导，我们可以看出，普朗克假设了黑体辐射的能量是以能量量子为单位的离散量，这个假设是量子力学发展的重要先导。

普朗克公式的推导

结果：公式中包含了能量与频率、波长的关系，与实验结果
相符
影响：为后续研究黑体辐射奠定了基础
普朗克提出能量量子化假设
能量子具有离散性，不能连续变化
普朗克提出能量量子化假设
能量子的能量与频率成正比
能量子的存在解释了黑体辐射实验的现象
时间：1900年人物：普朗克背景：为了解释黑体辐射实验结果假设内容：能量是由离散的能量子组成，而不是连续变化的
添加标题添加标题添加标题添加标题
量子力学：普朗克公式是量子力学的基础，为研究微观粒子提供了重要的理论支持。
黑体辐射：普朗克公式用于描述黑体辐射的能量分布，是理解热辐射和能量传输的重要工具。
光电效应：普朗克公式解释了光电效应中光子能量与光电子动能之间的关系，为光电器件的设计和应用提供了理论依据。
普朗克公式的推导汇报人：来自X目录普朗克公式的背景
普朗克提出能量量子化假设
普朗克公式的推导过程
普朗克公式的意义与影响
普朗克公式的应用
普朗克公式的背景
背景：19世纪末，物理学家发现经典物理学无法解释黑体辐射的实验
结果
推导过程：普朗克提出能量量子化假设，解决了黑体辐
射问题
意义：普朗克公式成为量子力学的基石之一，对物理学的发展产生了
普朗克公式的推导过程是量子力学发展的重要里程碑，为后续的量子理论奠定了基础
普朗克假设：能量只能以离散的形式发射或吸收，且其值为E=nhf，其中n为正整数。
推导过程：根据量子化条件和经典力学中的能量连续性，普朗克通过数学推导得到能量子公式E=nhf，其中h为普朗克常数。
意义：常数h的引入，使得能量不再是连续变化的，而是量子化的，从而奠定了量子力学的基础。

黑体辐射的普朗克公式推导

黑体辐射的普朗克公式推导普朗克公式描述了黑体辐射的能量分布。

为了推导普朗克公式，我们可以按照以下步骤进行。

首先，我们考虑一个处于热平衡状态的黑体辐射腔室。

由于电磁波是由光子组成的，我们可以将其视为一种粒子，具有能量E和频率ν的量子。

根据量子理论，光子的能量与其频率之间存在关系：E = hν，其中h是普朗克常数。

接下来，我们考虑在辐射腔室中的光子数目与能量之间的关系。

根据统计物理学中的玻尔兹曼分布定律，光子数目n与能量E之间满足以下关系：n(E) = (1 / (exp(E / (kT)) - 1)在这里，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。

该公式描述了光子在不同能量级上的分布情况。

为了得到黑体辐射的能量分布，我们需要计算每个能量级上光子的平均能量。

因此，我们可以使用平均能量公式：<E> = Σ(n * E) / Σn其中，Σ表示对所有能量级求和。

我们将这个表达式应用到光子数目公式中，得到：<E> = Σ((E / (exp(E / (kT)) - 1)) / Σ(1 / (exp(E / (kT)) - 1))接下来，我们将求和转化为积分，以便对能量连续变化的情况进行处理。

通过引入积分变量x = E / (kT)，我们可以将上述表达式重写为：<E> = ∫((x^3 / (exp(x) - 1)) / ∫(x^2 / (exp(x) - 1))这就是普朗克公式的推导过程。

最后，我们可以根据上述公式计算不同温度下黑体辐射的能量分布。

需要注意的是，上述推导过程涉及了一些复杂的数学运算和近似方法，包括积分转换、级数展开等。

因此，要完整地推导出普朗克公式需要更详细的数学推导。

普朗克辐射公式的几种理论推导Ⅱ

Bm n
和
n Bm
都是常数 1 这两种过程称为 “激发辐射作用下的状态变化 1”
现在我们要推算那个有效能量密度 ρ, 它必须使辐射同分子之间的能量交换按照统计律 ( 3) , ( 4) 和 ( 5) 那样来进行 , 而又不破坏等式 ( 1) 的分子状态分布 1 为此 , 必要和充分的条件是 :在每一个单位时间内 , ( 4) 类基元过程的平均发生次数应当等于 ( 3) 和 ( 5) 两类的次数之和 1 根据 ( 1) , ( 3) , ( 4) , ( 5) , 这个条件给出了对应于组合指数 ( m , n ) 的基元过程的等式 : -ε / kT m -ε / kT n n ( Bm ρ+ A m ) ( 6) P ne B nρ = Pm e 式中 Pn 和 Pm 是状态 Z n 和 Z m 的统计权重 1 此外 , 如果我们充许能量密度 ρ必须随
Z m , 在这个过程中分子吸收能量 ε n - ε m , 根据几率定律 ,
d W = Bm dt nρ
- ε n 被释放出来 , 根据几率定律 ,
n ρ d W = Bm dt
( 4)
在辐射作用下 , 分子从状态 Z m 跃迁到 Z n 同样也是可能的 , 在这过程中 , 辐射能量ε m
( 5)
du ∫
0
W
= 3 nk T
( 4)
通过动力学理论可得空腔内壁单位面积上光原子每秒钟碰撞数为 1/ 6 nc , 每个光原子的动量为 w / c1 于是单位面积上的压力 , 即压强为
2 ( 1 / 6 ) nc ( w / c) = ( 1/ 3 ) n w = nk T
( 5) ( 6)
根据热力学公式 , 可得 d S = ( 1/ T ) ( d u + p d V ) — 3 —

普朗克黑体辐射公式的详细推导

普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。

普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。

普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。

设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。

普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。

假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。

则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。

在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。

根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。

对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。

普朗克公式的推导

普朗克公式的推导
普朗克在解释能量热辐射时提出能量量子化的假设：辐射源是一系列带电的谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量，振子能量不连续，是一个量子能量hv ε=的整数倍。

根据经典理论，振子能量为n ε的几率n kT
e ε-∝p ，
设n kT
p ae ε-=，则谐振子平均能量为
n kT
p n a n e
εεεε-=∑∙=∑，且1p ∑=，
故n n kT
kT n kT
a n e
ne
p
e
εεεεεε-
--
∑∑=
∑∑=，
利用级数展开式11n x x =∑-和0ny
ny n d ne e dy ∞
∞--==-∑∑n=0
，可得1
kT e ε
ε
ε=
-；
空腔单位体积内频率在dv
νν +的振子数目为
2
38v dv c
π（Rayleigh-Jeans 公式中证明的），又有hv ε=，可得：
()3
3811
h kT
hv dv dv c
e
νπρν=∙
-
这就是普朗克黑体辐射公式。

参考资料：
《量子力学导读》浙江大学出版社《热力学与统计物理》科学出版社。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

黑体辐射与普朗克公式

理学院物理系
§2.1黑体辐射与普朗克公式

dE
dV d
单色：单一波长（频率）
二.普朗克公式推导 1.普朗克光量子假说：黑体由带电谐振子组成，且这些谐振子能量取值
只能为谐振子最小能量 = h 的整数倍。 2.普朗克公式：
在温度T的热平衡状态下，黑体辐射分配到每个模式的平均能量为：
2019年11月21日星期四
理学院物理系
§2.1黑体辐射与普朗克公式
E

h
eh / kT
1
K=1.3810ˉ²³—玻尔兹曼常数
由（1—6）式，在ν ～ν +dν 内光波模式数为：
M

8π 2d
c3
V
故，单位体积，单位频率间隔内模式数为：
2019年11月21日星期四
理学院物理系
§2.1黑体辐射与普朗克公式
第2章激光工作物质及基本原理
§2.1黑体辐射与普朗克公式
一.黑体辐射 1.热辐射：任何物体在任何温度下都在不断向外发射各种波长电磁波现象。
2.黑体：完全吸收各种波长电磁波而无反射和透射的物体。
3.单色能量密度：单位体积内，频率在ν 处的单位频率间隔内的电磁辐射能量。
2019年11月21日星期四
mυ

M
V d

8π 2
c3
—单色Байду номын сангаас式密度
黑体辐射单色能量密度为：
ρυ
mυ

E

8π h
c3
3
1 eh/kT 1
……①
—黑体辐射普朗克公式，K =1.38×10-23玻尔兹曼常数， h=6.63×10-34 普朗克常量。

普朗克定律

普朗克定律什么是普朗克定律？普朗克定律是热辐射理论中的一项重要定律，由德国物理学家马克斯·普朗克于1900年提出。

它描述了热辐射的能量与频率之间的关系，为量子力学的发展打下了基础。

根据普朗克定律，能量（E）与辐射频率（ν）之间存在着一个基本比例关系，即E = hν，其中 h 是普朗克常数（Plank constant）。

这个公式表明能量的量子化特性，也即能量是以离散的形式存在的，而不是连续的。

普朗克常数的意义普朗克常数 h 是一个固定的物理常数，它的数值约为6.62607015 × 10^-34 Joule·seconds。

普朗克常数被称为量子力学的基础，它揭示了微观世界的本质。

普朗克常数的重要性体现在多个方面。

首先，它是量子力学中最基本的常数之一，用于描述能量的离散性质。

其次，普朗克常数还与波长、频率、角频率等物理量之间的转换关系密切相关，为我们研究光、电子、原子等微观粒子提供了重要的工具。

此外，在能量与频率的换算中，普朗克常数的数值起到了十分关键的作用。

热辐射的本质在讨论普朗克定律之前，我们先了解一下热辐射的本质。

热辐射是指由物体表面发出的热能以电磁波的形式传播出去。

热辐射是所有物体都会产生的现象，其频率范围从无线电波到可见光再到X射线都有涉及。

热辐射的强度和频率分布一直是科学家们研究的重点。

经过实验观测和数据分析，科学家们发现了一个现象，即所谓的紫外灾难。

在经典物理学的框架下，根据经典电磁理论，预测热辐射的能量应该无限大。

然而，根据实际测量结果，辐射能量是有限的。

为了解释这个现象，普朗克提出了他的定律，即普朗克定律。

普朗克定律的推导普朗克定律的推导是通过对黑体辐射进行数学分析得出的。

黑体是指一个吸收所有入射辐射并百分之百转化为辐射能量的理想物体。

根据经典物理学的分析，被黑体吸收并转化的辐射能量是连续的。

然而，普朗克认为能量的辐射存在一种离散化的规律。

为了解释黑体辐射的实验数据，普朗克假设辐射能量是由一系列离散的能量量子组成的。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式推导步骤1：假设黑体内的辐射能量由一系列处于不同能级上的振子所组成。

考虑到振子的能量是量子化的，那么每个振子只能具有离散的能量，即E = nhv，其中E为能量，n为量子数，v为辐射频率，h为普朗克常数。

步骤2：设想黑体内的振子可以具有不同的能量量子数n，表示各个振子能量的分布情况。

我们假设振子的能量量子数n符合玻尔兹曼分布，即n能级的占有数为exp(-E_n / kT)，其中E_n为n能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。

步骤3：进一步假设振子的能量量子数n的平均值为，每个振子的能量为E = nhv，则黑体的总能量可以表示为U = ∑(nE) = ∑(nhvexp(-E_n / kT))。

在这里，∑代表对所有能级进行求和。

步骤4：将能量量子数n的平均值表示为，并代入总能量公式。

整理得:U = ∑((nvexp(-E_n / kT))hv步骤5：通过积分，将对所有可能的能级n进行求和替换为对能量E的积分。

利用代换关系dn = dE / hv，将求和替换为积分。

同样，将E_n也替换为E。

U = ∫(Eexp(-E / kT)) / (hv) * dE步骤6：对积分进行推导求解，得到：U = (kT)^4 / (h^3c^2) * ∫(E^3 / (exp(E / kT) - 1)) * dE这就是普朗克黑体辐射公式的具体形式，其中c为光速。

该公式描述了黑体辐射频谱与温度之间的依赖关系，表征了能量密度与频率的分布规律。

简单总结一下，普朗克黑体辐射公式的推导基于能量量子化和能级分布的假设。

通过对振子能量的分布以及总能量的计算，得到了描述黑体辐射的具体公式。

这个公式的重要性在于引入了能量的量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了基础。