普朗克公式的推导

普朗克在解释热辐射时提出了一个能量量子化的假设辐射中心是带电的谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量 hv ε=谐振子的能量是不连续的，是一个量子能量的整数倍 /n kt n e εε-∞根据经典理论，能量为的几率p

()/////0/2

323/E 1

E 111

8,81

n kt

n kt

n kt n kt

n kt

n ny ny n n kt n kt p ae p n a n e p a n e n e p e d x ne e x dy E e v dv dv c

v dv dv c e εεεεεεεεεεεε

ππερ-----∞∞--=--==∑•=∑∑=∑∑•=∑∑=∑=--=-=•-∑∑:n=0

设则谐振子平均能量为

而且故=利用级数展开公式和可得空腔内单位体积内频率在v v+的振动数目为所以能量密度为v 将()33/811

n kt hv hv dv dv c e εεπρ-==•-代入可得

v 这就是普朗克黑体辐射公式

参考资料：

《量子力学导读》 浙江大学出版社

《热力学与统计物理》 科学出版社