高中数学必修五学案 [整书][全套]
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§1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理(一)
学习目标 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法(重、难点);
2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题(重点).
知识点1 正弦定理 1.正弦定理的表示
2.正弦定理的常见变形
(1)a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径). (2)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c
2R (R 为△ABC 外接圆的半径).
(3)
三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即
a ∶
b ∶
c =sin A ∶sin B ∶sin C . (4)
a +
b +
c sin A +sin B +sin C
=a sin A =b sin B =c
sin C .
(5)a sin B =b sin A ,a sin C =c sin A ,b sin C =c sin B. 【预习评价】
1.正弦定理对任意三角形都适用吗?
提示 都适用,且比值为2R . 2.正弦定理的主要功能是什么? 提示 实现三角形中边角关系的转化. 知识点2 解三角形
一般地,把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【预习评价】
1.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则sin B =( ) A.33
B.63
C.22
D.32
解析 由于a sin A =b sin B ,故1532=10sin B ,解得:sin B =3
3.
答案 A
2.在△ABC 中,若B =30°,b =2,则a
sin A =________. 解析 a sin A =b sin B =212=4.
答案 4
题型一 对正弦定理的理解
【例1】 在△ABC 中,若角A ,B ,C 对应的三边分别是a ,b ,c ,则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C B.a =b ⇔sin 2A =sin 2B C.a
sin A =b +c sin B +
sin C
D.正弦值较大的角所对的边也较大
解析 在△ABC 中,由正弦定理得a sin A =b sin B =c
sin C =k (k >0),则a =k sin A ,b =k sin B ,c =k sin C ,故a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ,故A 正确. 当A =30°,B =60°时,sin 2A =sin 2B ,此时a ≠b , 故B 错误.
根据比例式的性质易得C 正确. 大边对大角,故D 正确. 答案 B
规律方法 根据正弦定理的适用范围和变形公式进行判断. 【训练1】 下列有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于直角三角形;
③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦值的比是定值; ④在△ABC 中,A ∶B ∶C =a ∶b ∶c . 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 因为正弦定理适用于任意三角形,故①②不正确;由正弦定理,有a sin A =b sin B =
c sin C =2R ,因为三角形确定,所以其外接圆半径R 为定值,故③正确;④显然不正确. 答案 A
题型二 已知两角与任意一边解三角形
【例2】 在△ABC 中,已知c =10,A =45°,C =30°,解这个三角形. 解 ∵A =45°,C =30°,∴B =180°-(A +C )=105°. 由a sin A =c sin C 得a =c sin A sin C =10×sin 45°
sin 30°=10 2.
由b sin B =c sin C 得b =c sin B sin C =10×sin 105°
sin 30°=20sin 75°,
∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=2+6
4, ∴b =20×2+6
4=52+5 6.
规律方法 解决已知两角及一边类型的解题方法:
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【训练2】 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos A =3
5,cos B =5
13,b =3,则c =________.
解析 在△ABC 中,∵cos A =35>0,∴sin A =4
5.
∵cos B =513>0,∴sin B =12
13.
∴sin C =sin[π-(A +B )]=sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =45×513+35×12
13=5665.
由正弦定理b sin B =c sin C ,得c =b sin C sin B =14
5.
答案 145
【例3】 在△ABC 中,已知a =2,c =6,C =π
3,求A ,B ,b . 解 ∵a sin A =c
sin C , ∴2sin A =
632
,