平行线等分线段定理

一、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 二、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
例1．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连结AE 交CD 于F ，
FG ∥AD 交DE 于G . 求证：FC =FG .
证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴
CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE
. ∴CF AB ＝FG
AD .∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG .
例2．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交 AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA=3∶1，BC=10，则AE 的 长为_________.
解：∵AE ∥BC,∴△BGF ∽△AGE.∴BF ∶AE=BG ∶GA=3∶1. ∵D 为AC 中点，1AE AD
CF DC
∴
== ∴AE=CF.∴BC ∶AE=2∶1.∵BC=10,∴AE=5.
三、相似三角形的判定及性质
判定定理
判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似；
判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似；
判定定理3 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似.
性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；
性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项.。