激光原理 十、光学谐振腔的衍射理论

3.1 光学谐振腔的衍射理论 3.2 对称共焦腔内外的的光场分布 3.3 高斯光束的传播特性 3.4 稳定球面腔的光束传播特性 3.5 激光器的输出功率 3.6 激光器的线宽极限（不作要求） 3.7 激光光束质量的品质因子（不作要求）
3.1 光学谐振腔的衍射理论
3.1.1 菲涅耳——基尔霍夫衍射公式 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
4
r
(3-1)
利用（3-1）式由镜面M’上的光场分布计算出M镜上的场分 布函数，即任意一个观察点的光场强度。
假设uq(x',y')为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布 ， uq+1(x,y)表示光波经过q+1次传播后，到达另一镜面所形成的 光场分布，则uq+1和uq之间应满足如下的迭代关系：
4
r
(3-1)
rq————原原点点PP‘'与处观的察法点线Pnr之与间P'的P 距的离夹角
k——光波矢，k
2
，为光波波长
ds'——原点P'处的面元
功能：求出光波场在空间任意位置处的振幅和相位分布。
3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程
一、开腔模的一般物理概念 1、理想开腔模型
谐振腔只靠两端反射镜来实现光束在腔内的往返传播。
三、自再现物理过程的形象化描述和定性解释——孔阑传输
理想开腔
孔阑传输线
自再现模的形成
横向场振幅分布和相位分布都均匀的平面波入射，经过多次 孔阑的衍射影响后，二者都变得不再均匀，成为相对场振幅和相 对相位分布都不受衍射影响的稳态场分布。
四、自再现模积分方程
u(P) ik u '(P ') eikr (1＋cosq )ds '
方 法
一个镜面上的光场
求解衍射 积分方程
另一个镜面上的光场
3.1.1 菲涅尔-基尔霍夫衍射公式
一.惠更斯 - 菲涅尔原理的基本内容
概括为：
1) 波传到的任意点都是子波的波源 2)波面上各点均是相干子波源，各子波在空间进行相干叠加
作用：
惠－菲原理提供了用干涉解释衍射的基础，菲涅耳发展了惠 更斯原理 ，从而深入认识了衍射现象。
2、决定腔模形成的损耗： 主要是腔镜边缘的衍射损耗（决定衍射效应的孔径由镜的 边缘决定），其它的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例 衰减，各点的相位发生同样大小的滞后！
二、自再现模概念
1、模: 光腔中可能存在的电磁场空间分布状态
模的电磁场理论（横截面内的场的分布，横模）
模的基本特征
模的简谐频率 (纵模） 模在腔内往返一次经受的相对功率损耗
1. 自再现模的概念 2. 自再现模积分方程 3. 积分方程解的物理意义 3.1.3 激光谐振腔的谐振频率和激光纵模 1. 谐振条件、驻波和激光纵模 2. 纵模频率间隔
在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不随时间变 化的稳态场分布）? 如何求场分布?
稳态场分布的形成可看成光在两镜面间往返传播的结果!
激光器作为光源与普通光源的主要区别之一是有谐振腔，谐 振腔倍增了激光增益介质的受激放大作用长度，从而形成光的高 亮度，提高了光源发光的方向性。实际上激光的第三个重要特点 ——高度的相干性也是由谐振腔决定的。由于激光器谐振腔中分 立的振荡模式的存在，大大提高了输出激光的单色性，改变了输 出激光的光束结构及其传输特性。
本章将研究激光输出的高斯光束传播特性（腔外的光束强度 与相位的大小和分布），激光器的输出功率以及激光器输出的线 宽极限。
r1
r2
L
I3
K
I2 I1
r1 r2 exp( G a内)2L 1
K r1 r2 exp( G a内)2L 1
输出光强稳定
条件：G
a内－
1 2L
ln
r1
r2
本章内容
基尔霍夫得到了惠－菲原理的数学形式
菲涅尔-基尔霍夫衍射公式是研究光衍射现象的基础，也 是开腔模式问题的理论基础。
二、惠更斯－菲涅耳原理的数学形式
设波阵面上任一源点P'的光场复振幅为u'(P')，则空间任一
观察点P 的光场复振幅u(P)由下列积分式计算：
u(P) ik u'(P)eikr (1 cosq )ds'
每一个模的激光束的发散角
2、稳态场的形成——模的“自再现”
1960年Fox A G和Tingye Li采用计算机进行迭代法数值计算 证明，当反射次数足够多时（大约三百多次反射），光束的横 向场分布便趋于稳定，不再受衍射的影响。场分布在腔内往返 传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而 不改变光的强度分布。这种稳态场经一次往返后，唯一的变化 是，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生 同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时(对称开腔)，这种稳 态场分布应在腔内经单程渡越（传播）后即实现“再现”。这 个稳定的横向场分布，就是激光谐振腔的自再现模。
，两者之间应有关系：
uq1 uq
(3-3)
是与坐标(x,y)及(x‘,y’)无关的复常数。
上式代入（3-2）
uq1 ( x,
y)
ik
4
M
'
uq
(
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x'
,
y'
)
eikr
r
(1 cosq )ds'
可得： uq (x, y)
ik
4
e ikr
uq (x', y')
M'
r
(1 cosq )ds'
(3-4)
u(P) ik u '(P ') eikr (1＋cosq )ds '
4
r
uq1(x, y)
ik
4
M
'
uq
(
x',
y'
)
eikr
r
(1 cosq )ds'
(3-1) (3-2)
➢考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示
振幅衰减和相位移动的常数因子以外，uq+1应能够将uq再现出来
去掉q，得自再现模积分方程
u(x, y) ik u(x ', y ') eikr (1 cosq )ds '
4 M '
r
(3-5)
因为 L, R a 所以作两点近似处理：
L——腔长 R——反射镜曲率半径 a——反射镜的线度
① ∵q 很小 ∴cosq =1 ， 1+ cosq = 2
Nanjing University of Information Science & Technology
物理学专业方向选修课
激光原理与技术
Laser Principle & Technology
3.1 光学谐振腔的衍射理论
物理与光电工程学院 顾芳
引言
前两章对激光产生的工作原理进行了研究，对于光的受激辐 射放大过程和条件进行了详细的讨论。