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2021年高考数学备考艺考生百日冲刺1.4函数的基本性质(原卷版)

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2021年高考数学考前三轮复习第2讲：函数的基本性质(含详解)

2021年高考数学考前三轮复习第2讲：函数的基本性质(含详解)

第 1 页 共 4 页 2021年高考数学考前三轮复习函数的基本性质题型预测函数的性质主要包括：函数的单调性、奇偶性和周期性。

函数是中学数学的重要内容，函数的性质也是高考考查的重中之重。

高考对本部分内容的要求较高，不仅要求熟练掌握这些性质，还要求能够运用定义去证明和判断，以及能够灵活运用这些性质解题。

范例选讲例1 对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 的取值范围。

讲解 不等式342-+>+p x px x 很容易让我们联想到二次函数：()()p x p x x f -+-+=342基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系()()p x p x x f -+-+=342（40≤≤p ），考虑使得()0>x f 恒成立的x 的取值范围。

对于每一个给定的p ，由于()0=x f 的二根分别为p -3,1，记()p p u -=3,1m ax )(，)3,1min()(p p v -=，则()0>x f 的解集为：()p M =()()()()+∞⋃∞-,,p u p v所以，当p 在区间[]4,0上变化时，使得()0>x f 恒成立的x 的取值范围就是所有()p M 的交集。

因为40≤≤p ，所以，)(p u 的最大值为3，()p v 的最小值为1-。

所以，本题的答案应该为：()()+∞⋃-∞-,31,。

上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把x 当作变量，而把其余的字母作为参数。

而事实上，在上面的不等式中，x 与p 的地位是平等的。

如果我们换一个角度看问题，即把p 作为自变量，而把x 作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：。

2021年高考数学一轮复习必刷题函数的基本性质

2021年高考数学一轮复习必刷题函数的基本性质

函数的基本性质基础训练1．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2yx B ．1y x -=C ．2yxD ．13y x =【解析】由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．2．（2020·宁夏兴庆银川一中高二期末）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ， ∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D. 3．（2020·浙江高一课时练习）若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1D ．(]0,14．（2020·河南高三其他）已知函数2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩若0.013335,log 2,log 0.92a b c ===，则有（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f a f b f c >>【解析】因为2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩，当0x >时，()x xf x e e -=-单调递增，且()00f =，当0x ≤时，()2f x x =-，在(],0-∞上单调递增，且()00f =，所以函数()f x 在R 上单调递增，又由0.01351,0log 1,0a b c =><=<<，所以a b c >>，所以()()()f a f b f c >>.故选：D5．（2019·福建高三其他（理））若函数()(1)(0x xf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】∵函数()(1)x xf x k a a-=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2，经检验k =2满足题意，又函数为减函数，所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减，故选A .6．（2020·黑龙江让胡路铁人中学高二期中）若函数()221f x x ax a =-+-在[]0,2上最小值为-1，则a =（ ） A ．1或2B ．1C ．1或65D ．-2【解析】函数2()21f x x ax a =-+-图象的对称轴为x a =，图象开口向上，（1）当0a 时，函数()f x 在[]0,2上单调递增．则()(0)1min f x f a ==-，由11a -=-，得2a =，不符合0a ；（2）当02a <<时．则222()()211min f x f a a a a a a ==-+-=--+，由211a a --+=-，得2a =-或1a =，02a <<，1a 符合；（3）当2a 时，函数2()21f x x ax a =-+-在[]0,2上单调递减，()()244155min f x f a a a ∴==-+-=-，由551a -=-，得65a =，2a ，∴65a =不符合， 综上可得1a =．故选：B ．7．（2020·石嘴山市第三中学高二期中）设函数()2251x x f x x -+=-在区间[]2,9上的最大值和最小值分别为M ､m ,则m M +=( ). A ．272B ．13C ．252D ．12【解析】解：()()()22142541111f x x x x x x x x -+-+===-+---；因为[]2,9x ∈，所以[]11,8x -∈， 令1x t -=，则[]1,8t ∈；因为()[]4,1,8t t ty f x ==+∈， 根据对勾函数性质可知当2t =时，函数有最小值为4；当8t =时，函数有最大值为172. 所以252m M +=.故选：C. 8．（2019·江苏南通高一月考）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,x a ∈-，且()f x 最大值为()f a ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞- B ．(][),12,-∞-⋃+∞ C ．[)2,+∞D ．[)4,-+∞【解析】当10a -<<时，对称轴4ax =，易得在[]1,x a ∈-时，()f x 单减，()f x 最大值为()1f -，不满足条件；当0a <时，()(1)f a f ≥-，即(1)44a aa -≥--，2a ≥故选：C9．（2020·江西高安中学高二期中）已知幂函数()af x x =的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．32【解析】由题设1313aa =⇒=-，故()()11212g x x x x -=-=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当12x =时取最小值12202g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，应选答案B ． 10．（2020·江西高三其他（理））已知函数()2,041,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的不等式()f x a x <解集中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,2ee ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2,52e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(],4eD ．(],5e 【解析】先求函数xy e =和241y x =+图象过原点的切线的斜率：对函数xy e =，e xy '=，设过原点的切线的切点为11(,)P x y ，则111x x e e x =，解得11x =，∴OP k e =，对函数241(0)y x x =+≤，8y x '=，设过原点的切线的切点为22(,)Q x y ，则2222418x x x +=，解得212x =-（212x =舍去），∴4OQ k =-，0a ≤时，0a x ≤，显然不合题意．因此0a > 作出函数()y f x =和y a x =的图象，如图， 只有在a e >时，不等式()f x a x <才可能有解，此时1x =显然是其中一个解，又2(2)f e =，点2(2,)e 与原点连线斜率为22e k =，而242e <，因此当22e e a <≤时，不等式()f x a x <只有一个整数解．故选：A ．11．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()2()ln ,x xf x e e x -=++则使得(2)(3)f x f x >+成立的x的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．()()1,33,-+∞C ．()3,3-D ．()(),13,-∞-+∞【解析】∵函数f （x ）＝ln （e x+e ﹣x）+x 2，∴()'x xx xe ef x e e---=++2x ， 当x ＝0时，f ′（x ）＝0，f （x ）取最小值，当x ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ＜0时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∵f （x ）＝ln （e x +e ﹣x ）+x 2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，∴f （2x ）＞f （x +3）等价于|2x |＞|x +3|， 整理，得x 2﹣2x ﹣3＞0，解得x ＞3或x ＜﹣1，∴使得f （2x ）＞f （x +3）成立的x 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故选：D ．12．（2017·浙江高三）若函数(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()x f x g x e -=，其中 2.718e ≈，则有（ ） A ．(2)(1)(0)g g f -<-< B ．(2)(0)(1)g f g -<<- C ．(0)(1)(2)f g g <-<-D ．(1)(0)(2)g f g -<<-【解析】因为()()xf xg x e -=①，所以()()xf xg x e ----=，因为函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()xf xg x e -+=②，联立①、②，解得：()()12x x f x e e -=+，()()12x x g x e e -=-，所以()()001012f e e =+=，()()1112g e e --=-，()()22122g e e --=-，因为 2.718e ≈，所以()()211g g ->->，即()()()012f g g <-<-，故选C ． 13．（2020·四川省泸县第四中学高三月考）已知函数()()21x f x a a R e =-∈+是奇函数，则函数()f x 的值域为（ ） A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()3,3-D ．()4,4-【解析】因为函数()()21xf x a a R e =-∈+是奇函数， 所以()222()111x x x xe f x a a f x a e e e --=-=-=-=-++++即22a =，解得1a =，所以()211x f x e =-+， 由11x e +>可知2021x e <<+，所以21111xe -<-<+，故()f x 的值域为()1,1-. 14．（2018·安徽裕安六安二中高一月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()22f x x x =-,则当()y f x =在R 上的解析式为( )A ．()()2f x x x =+B ．()()2f x x x =+C ．()()2f x x x =-D ．()()2f x x x =-【解析】设0x <，则0x ->，()()()()2222f x x x x x f x -=--⨯-=+=-，则()()220f x x x x =--<，即()()222,022,0x x x f x x x x x x ⎧--<==-⎨-≥⎩.本题选择C 选项.15．（2020·南岗黑龙江实验中学高三其他）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点， 即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.16．（2020·辽宁沈阳高一期末）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()()()21g x x f x =--在区间[]3,6-上的所有零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由于函数()y f x =为R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，函数()y f x =是周期为4的周期函数，且该函数的图象关于直线1x =对称，令()0g x =，可得()12f x x =-，则函数()yg x =在区间[]3,6-上的零点之和为函数()y f x =与函数12y x =-在区间[)(]3,22,6-上图象交点横坐标之和，如下图所示：由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点()2,0对称，因此，函数()y g x =在区间[]3,6-上的所有零点之和为428⨯=.故选：D.17．（2020·四川青羊石室中学高三一模）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+,若(1)2f =，则()()()()1232020f f f f ++++=( )A ．2020-B ．2C ．0D ．2020【解析】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且()00f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即()(2)()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得()3(1)(1)2f f f =-=-=-，()()()2(0)0,400f f f f ====， 则()()()()12340f f f f +++=， 所以()()()()()()()()1232020505[1234]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=．故选C ．18．（2020·遵义市南白中学高三其他（理））已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若ƒ(-a )+ƒ(a )≤2ƒ(1)，则实数a 的取值范围是 A ．[-1，0)B ．[0，1]C ．[-1,1]D ．[-2,2]【解析】若0x <，则0x ->，2()2()f x x x f x -=-=，若0x >，则0x -<，2()2()f x x x f x -=+=，故函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增.∴不等式()()2(1)f a f a f -+≤等价于2()2(1)f a f ≤，即()(1)f a f ≤∴1a ≤∴11a -≤≤故选C. 19．（2020·山西迎泽太原五中高三月考）定义在R 上的奇函数()f x 满足：函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，则下列选项正确的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的最小正周期为2C ．当[2,3]x ∈时，2()(2)f x x =-D ．()f x 在[2,1]--上是减函数【解析】函数(1)f x +的图象关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于1x =对称，故A 错误；(1)(1)f x f x ∴+=-，进而得(2)()f x f x +=-.又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，(2)()f x f x ∴+=-，进而得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以周期为4，故B 错误；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,3]x ∈时，则2[0,1]x -∈，()2(2)2()f x x f x -=--=-，所以()2()2f x x =-，故C 正确；当[0,1]x ∈时，2()f x x =-，所以当[2,1]x ∈--时，则2[0,1]x +∈，()2(2)2()f x x f x +=-+=-，所以()2()2f x x =+在[2,1]--上是增函数，故D 错误.故选：C20．（2020·安徽高一月考（理））已知函数(31)y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-【解析】：函数(31)y f x =-为奇函数，故(31)y f x =-的图象关于原点对称， 而函数()y f x =的图象可由(31)y f x =-向左平移13个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，故函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称，()y f x =与()y g x =图像关于y x =-对称， 故函数()y g x =图象关于(0,1)对称，所以()()2g x g x +-=， 而121212110,,()()()()2x x x x f x f x f x f x +==-+=+-=.21．（2020·全国高三其他）定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()4f x f x =-，当[]0,2x ∈时，()2f x x x =+，则不等式()2f x >的解集为（ ）A ．()21,23k k ++，k Z ∈B ．()21,21k k -+，k Z ∈C ．()41,43k k ++，k Z ∈D ．()41,41k k -+，k Z ∈【解析】∵()()()()444f x f x f x f x +=--=-=，所以()f x 的周期为4，且图象关于2x =对称，所以[]0,2x ∈时，()2f x >的解集为(]1,2， 又因为图象关于2x =对称，得[]0,4x ∈时，解()2f x >的解集为()1,3， 所以x ∈R 时，()2f x >的解集为()41,43k k ++，k Z ∈.故选：C.22．（2020·沙坪坝重庆一中高三月考（理））设函数()1xxe f x e=-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 的单调递增区间为(,0)(0,)-∞+∞B ．()f x 图象的对称中心为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()f x 图象的对称中心为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()f x 的值域为(1,0)- 【解析】由题意，函数()1xxe f x e=-，可得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 又由22(1)(1))()0(1(1)x x x xx x x e f x e e e e e e '==----->'， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,0),(0,)-∞+∞，所以A 不正确；由1()111111x x x x xe ef x e e e -+===-+---， 因为0x e >，则0x e -<，则11x e -<，可得1(,1)(0,1)1xe∈-∞-⋃--+∞+， 即函数()f x 的值域为(,1)(0,)-∞-+∞，所以D 不正确；又由()1xx e f x e =-，可得1()11x x xe f x e e ----==--，则()()1f x f x +-=-， 所以函数()f x 关于10,2⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确，C 不正确.故选：B. 23．（2020·全国高三其他（理））已知函数()()f x x R ∈满足()2(2)f x f x =--，若函数11x y x +=-与()y f x =的图象交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ，则()1mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．4mD ．2m【解析】因为()2(2)f x f x =--，所以()(2)2f x f x +-=， 可得()y f x =的图象关于()1,1对称，又因为12111x y x x +==+--， 所以11x y x +=-的图象可由函数2y x =的图象，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 所以11x y x +=-的图象也关于()1,1对称，函数11x y x +=-与()y f x =的图象交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y 关于()1,1对称，所以12132...2m m m x x x x x x --+=+=+==，12132...2m m m y y y y y y --+=+=+==，设12...m M x x x =+++，则11...m m M x x x -=+++，两式相加可得()()()12112...2m m m M x x x x x x m -=++++++=， 所以M m =，设12...m N y y y =+++，同理可得N m =，所以()12miii x y M N m =+=+=∑，故选D.24．（2020·鞍山市第八中学高一期中）关于函数图象的有下列说法：①若函数()y f x =满足()()13f x f x +=+，则()f x 的一个周期为2T =； ②若函数()y f x =满足()()13f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线2x =对称； ③函数()1y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线2x =对称； ④若函数11y x =+与函数()f x 的图象关于原点对称，则()11f x x =-， 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】在()()13f x f x +=+中，以1x -代换x ，得()(2)f x f x =+，所以①正确； 设1122(,),(,)P x y Q x y 是()y f x =上的两点，且12+1,3x x x x ==-，有1222x x +=，由12()()f x f x =，得12y y =，即,P Q 关于直线2x =对称，所以②正确；函数()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移1个单位得到，而()3y f x =-的图象由()y f x =的图象关于y 轴对称得()y f x =-，再向右平移3个单位得到，即((3))(3)y f x f x =--=-，于是函数()1y f x =+与函数()3y f x =-的图象关于直线1312x -+==对称，所以③错误； 设(,)P x y 是函数()f x 图象上的任意一点，点P 关于原点对称点,()P x y '--必在11y x =+的图象上，有11y x -=-+，即11y x =-，于是1()1f x x =-，所以④正确.故选：C25．（2020·广西兴宁南宁三中高一期中）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由于函数11y x=-与函数()2sin 24y x x π=-≤≤均关于点()1,0成中心对称，结合图形以点()1,0为中心两函数共有8个交点，则有18212x x +=⨯=，同理有2736452,2,2x x x x x x +=+=+=，所以所有交点的横坐标之和为8.故正确答案为D.26．（2020·陕西西安高三三模）定义域和值域均为[﹣a ，a ]（常数a ＞0）的函数y ＝f （x ）和y ＝g （x ）的图象如图所示，方程g [f （x ）]＝0解得个数不可能的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为[,]x a a ∈-时，()0g x =有唯一解，不妨设唯一解为k ，由()g x 图象可知(0,)k a ∈，则由g [f （x ）]＝0可得()f x k =，因为(0,)k a ∈，由()f x 图象可知，()f x k =可能有1根，2根，3个根，不可能又4个根，故选：D27．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三其他）函数()222sin xx y x e x=-在[]22-,的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】令()()222sin xx f x y x e x==-，因为sin 0x ≠，所以0x ≠，排除C ，因为()()()()()()()222222sin sin x x x x f x x e x e f x x x---=--=--=--， 所以函数()222sin xx y x e x=-是奇函数，排除B ，因为()21sin1e f --=，21e ，2sin1sin 452，所以()2212f -<=，排除D ，故选：A. 28．（2020·河南高三其他（理））函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>， 所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项.故选：A. 29．（2020·安徽相山淮北一中高三月考）函数31()tan f x x x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】首先函数定义域是{,2x x k k Z ππ≠+∈且}0x ≠，关于原点对称，31()tan ()f x x f x x -=--=-，()f x 为奇函数，排除C ， 当(0,)2x π∈时，()0f x >，排除D ，当2x π>且接近2π时，tan 0x <，排除B ．故选：A ． 30．（2020·河北桃城衡水中学高三三模（理））如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()|sin cos |f x x x =+B ．22()sin cos f x x x =+C ．()|sin ||cos |f x x x =+D ．()sin ||cos ||f x x x =+【解析】由图像可知，函数图像关于y 轴对称，所以()f x 应为偶函数，所以排除A ； 由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C ； 对于当(0,1)x ∈时，()sin cos 2sin()4f x x x x π=+=+，而当 (0,)4x π∈时， ()(,)442x πππ+∈，而正弦的函数图像可知D 不正确，故选：B31．（2020·黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足102(){2 2x e x f x e x x-<≤=>，则下列叙述正确的为（ ）①存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根 ②当1211x x -<<<时，恒有()()12f x f x >③若当(]0,x a ∈时，()f x 的最小值为1，则[]1,2a e ∈ ④若关于x 的方程5()4f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则54m =- A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①②③④【解析】对于①，函数的图象如图所示，由于函数是奇函数，所以只要考查(0,)+∞的零点个数， 由于(0)0f =，所以只要考虑(0,)+∞的零点有3个即可.由题得(2,)A e，所以直线OA的斜率为2e，此时直线OA与函数的图象有5个交点，当02ek<<时，直线OA与函数在第一象限有3个零点，关于x的方程()f x kx=有7个不相等的实数根，所以①正确；对于②，当1211x x-<<<时，函数()f x不是单调函数，所以()()12f x f x>不成立，所以②不正确；对于③，令21,ex=所以2x e=，当(]0,x a∈时，()f x的最小值为1，则[]1,2a e∈，所以③正确；对于④，由于函数()f x是奇函数，关于x的方程5()4f x=和()f x m=的所有实数根之和为零，当0x>时，5()4f x=有三个实根，12302x x x<<<<，则123123325882,,,2455e e ex x x x x xx+==∴=∴++=+，所以()f x m=的所有实数根之和为825e--.令8255(2),8554425e e em fe e=--==≠-----所以D错误.故选：B.32．（2020·浙江宁波高二期末）若函数()y f x=，()y g x=的定义域均为R，且都不恒为零，则（）A．若()()y f g x=为偶函数，则()y g x=为偶函数B．若()()y f g x=为周期函数，则()y g x=为周期函数C．若()y f x=，()y g x=均为单调递减函数，则()()y f x g x=⋅为单调递减函数D ．若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()y f g x =为奇函数 【解析】对选项A ，设()cos f x x =，()2g x x =，则()()()2cos2y f g x f x x ===为偶函数，而()2g x x =不是偶函数，故A 错误. 对选项B ，设()cos f x x =，()2g x x =，则()()()2cos2y f g x f x x ===为周期函数，而()2g x x =不是周期函数，故B 错误. 对选项C ，设()f x x =-，()2g x x =-，则()()22y f x g x x =⋅=-，在(),0-∞为增函数，()0,∞+为减函数，故C 错误.对选项D ，因为()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()()()()()f g x f g x f g x -=-=-，即()()y f g x =为奇函数，故D 正确.故选：D33．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④B ．①②④C ．③④D ．①②③【解析】由题意可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确；因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是()f x 的周期，故②错误； 由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即16132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，③错误；又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]2,8-上对应的函数，如图易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确.故选：A.34．（2020·越城浙江邵外高二期中）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（ ） A ．2()1y f x =+B ．(21)y f x =+C ．()y f x =-D ．|()|y f x =【解析】()f x 的定义域为R ，值域为[1,2]-，即1()2f x -≤≤；∴A ．2()1[1,5]y f x =+∈-，即2()1y f x =+的值域为[1,5]-，∴该选项错误； B ．(21)[1,2]y f x =+∈-，即(21)y f x =+的值域为[1,2]-，∴该选项正确； C ．()[2,1]y f x =-∈-，即()y f x =-的值域为[2,1]-，∴该选项错误； D ．()[0,2]y f x =∈，即|()|y f x =的值域为[0,2]，∴该选项错误．故选B ．35．（2020·越秀广东实验中学高一期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是(....)下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论: ①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1; ②函数f (x )偶函数; ③函数f (x )的值域是{0,1};④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立; ⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形. A ．2B ．3C ．4D ．5【详解】①当x Q ∈时，()1f x =，则()()()11ff x f ==；当Rx C Q ∈时，()0f x =，则()()()01f f x f ==，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.②当x Q ∈时，x Q -∈，()()1f x f x -==；当R x C Q ∈时，R x C Q -∈，()()0f x f x -==，所以函数f (x )偶函数;故正确.③当x Q ∈时，()1f x =；当R x C Q ∈时，()0f x =，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确.④当x Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈T x Q ，则f (x +T )=1=f (x )；当.R x C Q ∈时，因为T ≠0且T 为有理数，所以+∈R T x C Q ，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.⑤取1230,x x x ===.，(),0,0,1,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.为边长的等边三角形，故正确..故选：D能力提升1．（2019·浙江高一期中）已知函数()2019)20191x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>的解集为(...)A ．1(,)4-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,)4+∞.D ．1(,)2+∞【解析】因为()2019)20191x x f x x -=+-+，所以()2019)20191--=+-+x x f x x ，因此22()()ln(1)22+-=+-+=f x f x x x ， 因此关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+>，可化为(21)2(2)(2)f x f x f x ->-=-；又20192019-=-xxy 单调递增，)=y x 单调递增，所以()2019)20191x x f x x -=+-+在R 上递增；所以有212x x ->-，解得：14x >.故选C 2．（2020·四川资阳高三其他（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，当1x ≤时，函数()f x 单调递增，则（ 吗 ）A ．()()222342log 4log 33(log f f f >>B ．()()222243log log 3log 43(f f f >>C ．()()222324log 4log o (3l g 3f f f >>D ．()()222432log 3log 43(log f f f >> 【解析】因为函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 关于点()1,0对称，又当1x ≤时，()f x 单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以()2fx 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()2f x 单调递增.因为334log 41log 3-=，44434log 31log =log 43-=，24442147log 1log 1log 336-=-=，且34444487log log log log 3366>=>，所以22234242log 4log 3lo ()(3)()g f f f >>.故选：A 3．（2020·安徽相山淮北一中高三其他）已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则函数()12f x =-在区间[3,5]-内的零点个数为（....） A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，即满足()()2f x f x -=-又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=--∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称.画出函数()f x 的图象如图所示：结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点.故选：A. 4．（2020·陕西高三其他）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对12,(0,)x x ∀∈+∞（12x x ≠）都有()()()222112120x f x x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦.记(1)a f =，(2)4f b =，(3)9f c -=，则（....） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c b a <<【解析】当210x x <<时，120x x ->，由题意可得()()2221120x f x x f x -<，即()()122212f x f x x x <； 当120x x <<时，120x x -<，可得()()2221120x f x x f x ->，即()()122212f x f x x x >. 令函数2()()f x g x x =，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，且函数()g x 是偶函数. 又2(1)(1)1f a g ==，2(2)(2)2f bg ==，2(3)(3)(3)(3)f c g g -==-=-， 且函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以a b c >>.故选：D.5．（2020·福建高三二模（理））已知函数()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：①()f x 的一个周期是2π；....②()f x 是非奇非偶函数； ③()f x 在(0,)π单调递减；....④()f x． 其中所有正确结论的编号是（....） A ．①②④B ．②④C ．①③D ．①②【解析】因为(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]cos[sin ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以()f x 的一个周期是2π，①正确；又(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin1cos0sin1112f =+=+=+>+>又sin cos cos sin sin cos sin 0cos(1)cos144422f πππ⎡⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+-=+-=⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，sin cos cos sin sin cos sin 0cos01444f πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，44f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 是非奇非偶函数，所以②正确； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，0cos 1x <<，所以[sin ][cos ]0x x ==，所以()sin[cos ]cos[sin ]sin0cos01f x x x =+=+=，所以③错误；综上所以正确的结论的序号是①②④，故选：A ． 6．（2020·山东泰安高三其他）已知函数4(),[,)af x x b x b x =++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（....） A ．13a >B ．13a <C ．14a > D ．14a <【解析】①当0a ≤时，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，所以min 4()()220a f x f b b b b b==+=>∴=因此0a ≤满足题意；②当0a >时，()f x在)+∞上单调递增，在上单调递减因此⑴当b ≤时，()f x 在[,)+∞b上单调递增，所以2min 4()()2220180,af x f b b b b a a b b==+=-+=∴∆=-≥=≥. 222121182()042432bb aa b ab b b bb +-≤∴≤∴-≤>∴≥∴=11811016a +-≥≥⇒<≤或11618161a a a⎧>⎪⇒⎨⎪-≥-⎩1016a <≤或11169a <<109a ∴<≤⑵当b >时，()f x在)+∞上单调递增，在[,b 上单调递减 ，所以min 11()202094f x f b b a ===<<>-∴<<；综上，a 的取值范围为14a <，故选：D 7．（2020·吉林宁江松原市实验高级中学高三其他（理））定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（....） A ．72B ．92C ．134D ．154【解析】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--， 同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤.作函数()y f x =的图象，如图所示. 在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =.由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤.故选：D .8．（2020·鸡西市第一中学校高一期末）已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，若数()f x 在区间[2,2]-上有5个零点，则实数b 的取值范围是（....）A ．11b -<≤B ．1544b ≤≤ C ．11b -<≤或54b =D ．114b <≤或54b = 【解析】由题意知，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即0是函数()f x 的零点， 因为()f x 是定义在R 上且以4为周期的周期函数，所以(2)(2)f f -=，且(2)(2)f f -=-，则(2)(2)0f f -==，即2±也是函数()f x 的零点，因为函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，且当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，所以当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，即214(1)=011122b b ∆=--⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩或2214(1)000102210b b b ∆=-->⎧⎪-+-≤⎨⎪-+->⎩，解得114b <≤或54b =.故选：D.9．（2020·全国高三其他）已知函数21()cos 2f x x x =-，记()(0.3221log ,2,2log 35a f b f c f -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则（....）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<【解析】因为()f x 的定义域为,()()f x f x -=R ，所以()f x 是偶函数． 因为()sin ,()cos 10f x x x f x x '''=--=--，所以()f x '是减函数．因为(0)0f '=，所以当0x 时，()0f x '，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减．因为0.322221log log 52,021,12log log 325--=><<<=<， 所以()()(0.30.3221log (2),22(1),(2)2log (1)5f f f f f f f f --⎛⎫-<-=><< ⎪⎝⎭，所以(()0.3221log 2log 25f f f -⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，即a c b <<．故选：C 10．（2020·全国高三其他）已知函数()()()22241x x f x x x ee x --=--++在区间[]1,5-的值域为[],m M ，则m M +=（...） A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】()()24xxy x e ex -=--+.在[]3,3-上为奇函数，图象关于原点对称，()()()()()222222412423x x x x f x x x e e x x e e x ----⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以()f x 图象关于()2,3对称，则6m M +=，故选C . 12．（2020·重庆渝北礼嘉中学高三期中）已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（....）A ．20B ．18C ．16D ．14【解析】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x =根据函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =-.,是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象， 考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C13．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时2()log (1)f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-其中正确的是（....）． A ．甲，乙，丁 B ．乙，丙 C ．甲，乙，丙 D ．甲，丁【答案】D 【解析】取x ＝1，得f （1﹣4）＝﹣f （1）()112log +=-=-1，所以f （3）＝﹣f （﹣3）＝1，故甲的结论正确；定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ﹣4）＝﹣f （x ），则f （x ﹣4）＝f （﹣x ），∴f （x ﹣2）＝f （﹣x ﹣2），∴函数f （x ）关于直线x ＝﹣2对称，故丙不正确；奇函数f （x ），x ∈[0，2]时，f （x ）＝log 2（x +1），∴x ∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，∵函数f （x ）关于直线x ＝﹣2对称，∴函数f （x ）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故乙不正确；若m ∈（0，1），则关于x 的方程f （x ）﹣m ＝0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2＝﹣12，另两根的和为2×2＝4，所以所有根之和为﹣8．故丁正确故选：D ． 14．（2020·上海高三专题练习）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【解析】令()()f x g x =,可得21ax b x =+．设21(),F x y ax b x==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，.y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||x x >，即120x x ->>，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-，同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +<故选：B ． .....15．（2020·舒兰市实验中学校高二期中）函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（....）． A ．(2,)+∞ B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】当12k ≤时，20x k -≥，因此(2)0f x k k --<，可化为2(2)0x k k --<，即存在[1,)x ∈+∞，使22()440g x x kx k k =-+-<成立，由于22()44g x x kx k k =-+-的对称轴为21x k =≤，所以22()44g x x kx k k =-+-，当[1,)x ∈+∞单调递增，因此只要(1)0g <，即21440k k k -+-<，解得114k <<，又因12k ≤，所以1142k <≤，当12k >时，()(2)g x f x k k =--，(2)0g k k =-<，满足题意， 综上，14k >． 故选：D ．真题训练1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =. 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃故选：D ． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D ． 3．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A ． 4．【2020年高考浙江】函数y =x cos.x +sin.x 在区间[–π，π]上的图象可能是【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A ． 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象．故选D ． 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．。

艺体生专题五 函数与函数方程百日突围

艺体生专题五 函数与函数方程百日突围

专题五 函数与函数方程函数的零点【背一背基础知识】1．定义对于函数y ＝f(x)(x ∈D)，把使________成立的实数x 叫做函数y ＝f(x)(x ∈D)的零点． 2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y ＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y ＝f(x)在区间________内有零点，即存在c ∈(a ，b)，使得________，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．【答案】1．f(x)＝0.2.x 轴 零点.3．f(a)·f(b)<0 (a ，b) f(c)＝0.【讲一讲基本技能】 1.必备技能：1.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.2. 判断函数零点所在区间的方法2.典型例题：例1【2018届广东省汕头市高三上学期期末】设()()()ln 2ln 2f x x x =+--，则()f x 是（ ）A. 奇函数，且在()2,0-上是增函数B. 奇函数，且在()2,0-上是减函数C. 有零点，且在()2,0-上是减函数D. 没有零点，且是奇函数【答案】A例2【2018届浙江省嘉兴市高三上学期期末】若()2f x x bx c =++在()1,1m m -+内有两个不同的零点，则()1f m -和()1f m +（ ）A. 都大于1B. 都小于1C. 至少有一个大于1D. 至少有一个小于1 【答案】D【解析】()1f m -+ ()1f m +=()22f m +，因为()2f x x bx c =++在()1,1m m -+内有两个不同的零点，所以()0f m <∴ ()1f m -+ ()1f m +<2,即()1f m -和()1f m + 至少有一个小于1，选D 【练一练趁热打铁】1.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区高三1月】函数()4xf x e x=-的零点所在区间为（ ）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,e 【答案】C【解析】函数()4x f x e x=-在x ＞0时是连续函数，f （1）=e-4＜0，f （2）=e 2-2＞0，由函数零点的存在性定理，函数()4x f x e x=-的零点所在的区间为（1，2）．故选C ．2.【2018届百校联盟TOP20一月联考】命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C函数零点个数的判断【背一背基础知识】二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点.【讲一讲基本技能】1.必备技能：判断函数y ＝f(x)零点个数的常用方法(1)直接法．令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).2.典型例题：例1.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x≤0，2x －6＋lnx ，x>0的零点个数是________．【答案】2. 【解析】(1)当x≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋1x >0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.例2.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x －3，则f(x)的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝e x＋x －3＝0. 则e x＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.【练一练趁热打铁】1.函数f(x)=2x|log 0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】B故选B.2.函数f(x)＝cosx －log 8x 的零点个数为________．【答案】3.【解析】由f(x)＝0得cosx ＝log 8x ，设y ＝cosx ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cosx ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.函数方程的应用【背一背基础知识】1.①如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数()f x 在区间[],a b 上是一个单调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数()f x 在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的(,)c a b ∈，使0)(=c f . ②如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数()f x 在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数()f x 在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>.2．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数)(x f 是定义域上的单调函数，则)(x f 至多有一个零点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．【讲一讲基本技能】1.必备技能：1．解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组. 2．应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．3．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.4．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数()y f x =，()y g x =，即把方程写成()()f x g x =的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．2.典型例题例1【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B例2若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】02b <<【解析】由函数()|22|xf x b =--有两个零点，可得|22|xb -=有两个不等的根，从而可得函数|22|xy =-函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b <<，故答案为：02b <<.【练一练趁热打铁】1.【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知1a >-，函数()()22,{log 1,x x a f x x x a≤=+>，若存在t 使得()()g x f x t =-有三个零点，则a 的取值范围是( )A. ()1,0-B. ()0,1C. ()1,+∞D. ()0,+∞【答案】C【解析】作出2y x =和()2log 1y x =+的图象，它们在第一象限交点为()1,1，考虑到()f x 的定义， ()()g x f x t =-有三个零点，说明()f x 的图象与直线y t =有三个交点，因此1a >，故选C ．2.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C 【解析】由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.（一） 选择题（12*5=60分）1.【2018届皖江名校高三12月份大联考】“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解得（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】作出函数x y e k =-的图象，可知方程1x e k -=有2个实数解时可得1k >.所以方程1x e k -=有2个实数解，一定有1k ≥，反之不成立，如11x e -=只有一个实数解.所以“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解的必要不充分条件. 故选B.2. 函数()2x f x e x =+-（e 为自然对数的底数）的零点个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 【答案】B【解析】令()0f x =，即20x e x +-=，即2x e x =-，在同一直角坐标系中画出函数x y e =与函数2y x =-的图象如下图所示，由图象可知，函数x y e =与函数2y x =-的图象有一个公共点，故函数()2xf x e x =+-（e 为自然对数的底数）的零点个数是1，故选B.221Oxyy=2-xy=e x3.【2018届云南民族大学附属中学高三上学期期末】已知函数f(x)的定义域为R ，且()()21,0{1,0x x f x f x x --≤=->，若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()0,1D. (),-∞+∞ 【答案】A【解析】作图，由图知1a < ， a 的取值范围为(),1-∞，选A.4.【2018届安徽省亳州市高三第一学期期末】已知函数()224,{ 31,x x x af x x a--≤=->，若()()0f f x =存在四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A. )+∞B. )+∞C.))2⋃+∞D. [)3,⋃+∞【答案】D【解析】令()f x t =，则()0f t =，由题意， ()0f t =有两个不同的解， ()f x t =有两个不相等的实根，由图可知， ()0f t =得2t =或2t =-，所以()2f x =和()2f x =-各有两个解。

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析

高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。

在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。

在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。

一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。

判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。

定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。

导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。

2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。

若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。

判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。

3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。

常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。

4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。

高考数学备考艺体生百日突围系列 专题03函数与函数的基本性质(基础篇)解析版 Word版含解析

高考数学备考艺体生百日突围系列 专题03函数与函数的基本性质(基础篇)解析版 Word版含解析

《2016艺体生文化课-百日突围系列》 专题三 函数及函数的基本性质函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示. 求定义域的基本原则有以下几条： 1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：0x 及()n x n N -*∈中底数0x ≠；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于1；5.三角函数：正弦函数sin y x =的定义域为R ，余弦函数cos y x =的定义域为R ，正切函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 典型例题 例1函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D. ),2[]21,0(+∞ 分析：本题属于简单函数的定义域求解问题，求解时注意对二次根式中的被开方数列约束条件，并注意分式中对分母的限制条件，以及对数的真数大于零，列出相应不等式求解即可. 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C .例2已知函数)23(x f -的定义域为]2,1[-，则函数)(x f 的定义域为 ． 分析：本题属于复合函数的定义域问题，在求解该问题时，这属于等量代换，注意还原的与被还原的取值范围的一致性. 【答案】]5,1[-【解析】用换元思想，令t x =-23，)(t f 的定义域即为)(x f 的定义域， 因为])2,1[(23-∈-=x x t ，所以51≤≤-t ， 故)(x f 的定义域为]5,1[-．【练一练趁热打铁】1. 函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性. 2. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)【答案】B【解析】 因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠，故[0,1)x ∈.故选B ．分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如(){}{}f f f f a ⎡⎤⎣⎦的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． （5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 典型例题例1．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 【答案】A考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解. 例2．已知函数⎩⎨⎧≥<+=0,0,1)(x e x x x f x ，则=-)3)0((f f （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-分析：本题属于复合型分段函数的求值问题，求值时注意由内到外依次进行，但需要根据自变量的值选择合适的解析式代值求解. 【答案】D【解析】0(0)1,(0)3132f e f ==-=-=-，所以((0)3)(2)211f f f -=-=-+=-.选D.例3．已知函数22log (1)1,1(),1x x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩，若()3f a =，则a = . 分析：本题是分段函数的求值问题，考查由函数值求自变量的值，对于此类问题的求解，只需对自变量属于那段定义域进行分类讨论，在相应的条件下将所得答案是否在对应的定义域内进行取舍，若在，则保留；否则相应的答案就要舍去. 【答案】-3【解析】令2log (1)13a -+=，得3a =-，令23a-=，得3a =（舍去），所以3a =-.例4．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（ ）A.()()3,13,-+∞B.()()3,12,-+∞C.()()1,13,-+∞D.()(),31,3-∞-分析：本题考查分段函数不等式的求解，对于此类问题的处理，只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可. 【答案】A【练一练趁热打铁】1. 设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩满足8()9f n =-，则=+)4(n f （ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】B【解析】当6>n 时，98)1(log )(3-=+-=n n f ，解得62131398<=-<-=n ，不合题意，舍去；当6≤n 时，9813)(6-=-=-n n f ，解得4=n ，所以=+)4(n f 29log )18(log )8()44(33-=-=+-==+f f .2. 已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于（ ）A ．12 B ．43C ．2D ．4 【答案】C【解析】因为2)1(=f ，所以a f f f 24)2())1((+==，由a a 424=+，解得4=a ，故选C.3.设()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x = .【答案】1.4.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式()2f x x ≥的解集为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C.[]2,1-D.[]1,2- 【答案】A函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.2.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.3.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( ) （A ）a b c ＜＜ （B ） a c b ＜＜ （C ）b a c ＜＜ （D ）b c a ＜＜ 【答案】C【考点定位】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.例2已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A.30a -≤<B.32a -≤≤-C.2a ≤-D.0a <分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数()f x 在定义域上的增函数问题，则需要考虑()f x 在区间(),1-∞和区间[)1,+∞上都是增函数，还需要考虑()f x 在1x =处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围. 【答案】B【练一练趁热打铁】1. 已知函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ） A.()(),12,-∞-+∞ B.()(),21,-∞-+∞ C.()1,2-D.()2,1- 【答案】D【解析】作出函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的图象如下图所示，在(),-∞+∞上单调递增，由()()22f xf x ->，可得22x x ->，整理得220x x +-<，解得21x -<<，故选D.2.32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ．【答案】2log 5【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大.【考点定位】比较大小.【名师点晴】本题主要考查的是比较大小，属于容易题．解题时一定要注意重要字眼“最大数”，否则很容易出现错误．函数值的比较大小，通过与1-，0，1的比较大小，利用基本初等函数的单调性即可比较大小．函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -=()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）； 2.基本初等函数的奇偶性：3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论； 4.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =.典型例题例1已知函数f(x)＝2200x x x ax bx x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩＋，，＋，是奇函数，求a ＋b 的值．分析：本题是函数的奇偶性的判断，对于本题的求解，可以利用定义法来进行判断，按照定义法判断函数奇偶性三步来进行证明. 【答案】0【解析】当0x >时，0x -<，由题意得()f (x)f x －＝－，所以22x x ax bx －＝－－.从而a 1b 1＝－，＝，所以a b 0＋＝．例2给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④xxy e e -=-，其中是奇函数的是（ ） A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④分析：本题是考查函数的奇偶性的判断问题，对于简单函数的奇偶性判断，可以利用基本初等函数的奇偶性或定义法来进行判断. 【答案】B.例3 设()f x 为定义在R 上的函数.当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则()1f -=（ ）A.3-B.1-C.1D.3分析：本题是考查分段函数的奇偶性与求值问题，题中已知函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式，但解析式中含有未知的参数，所以可以利用奇函数的结论()00f =来求出b 的值，从而确定函数()f x 区间[)0,+∞上的解析式，先求出()1f 的值，然后结合函数()f x 的奇偶性求出()1f -的值. 【答案】A【解析】函数()f x 为定义在R 上的函数，()00f ∴=，即()0022010f b b =+⨯+=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()221x f x x =+-，因此()1122113f =+⨯-=，所以()()113f f -=-=-，故选A.例4.已知函数()32013f x ax bx =++，若()20144025f =，则()2014f -=（ ） A.1 B.4025- C.2013- D.2014分析：本题是利用函数奇偶性求值问题，首先需要注意到()2014f -与()2014f 中两个自变量之间相反数之间的关系，联想到利用函数的奇偶性来求解，在解题时注意到代数式3ax bx +的奇偶性，通过将2014与2014-之间相反数之间的关系，代值利用加法进行消去，从而求出()2014f -的值. 【答案】A 【解析】()32013f x ax bx =++，()32014201420142013f a b ∴=⨯+⨯+，且()2014f -=()()33201420142013201420142013a b a b ⨯-+⨯-+=-⨯-⨯+，因此()()20142014f f +-=()()33201420142013201420142013201320134026a b a b ⨯+⨯++-⨯-⨯+=+=，所以()2014f -()40262014402640251f =-=-=，故选A.【练一练趁热打铁】1. 下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y =【答案】C2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A.1y x =+ B.y x x = C.1y x=D.2y x =-分析：本题属于基本初等函数的单调性进行判断，判断时可以利用基本初等函数的图象或在基本初等函数的基本单调性来进行判断，在判断时可以利用结论：函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同. 【答案】B【解析】1y x =+为非奇非偶函数，排除A 选项；1y x=在()0,+∞是减函数，排除C 选项；2y x =-在()0,+∞是减函数，排除D 选项；y x x =在R 上是奇函数，且22,0,0x x y x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，画出函数y x x =的图象可知函数y x x =在(),-∞+∞上为增函数，故选B. 3 已知函数()2mf x x －＝是定义在区间2[3]m m m －－，－上的奇函数，则f (m )＝________．【答案】1－【解析】由已知必有23m m m －＝＋，即2230m m －－＝，∴3m ＝，或1m ＝－； 当3m ＝时，函数即()1f x x－＝，而[6,6]x ∈－，∴()f x 在0x ＝处无意义，故舍去；当1m ＝－时，函数即()3f x x ＝，此时[2,2]x ∈－，∴()3(1)(1)1f m f ＝－＝－＝－． 4.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ）A.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B.()()13f f f ππ⎛⎫>->-⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期. 3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 2.典型例题例1已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013分析：本题是借助函数的周期性与奇偶性求值问题，对于此种问题的处理，首先是利用特值确定f 20=（﹣），从而利用奇偶性得f 20=（），利用函数的周期性即可求解. 【答案】A【解析】由f x 4f x f 2+=+（）（）（），取x 2=﹣，得：f 24f 2f 2+=+（﹣）（﹣）（），即f 20=（﹣），所以f 20=（），则f x 4f x f 2f x +=+=（）（）（）（），所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以f 2013f 45031f 1f 1=⨯+===（）（）（）﹣（﹣）-(-2)=2． 例2已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x +=()f x -，则()6f -的值为_______. 分析：本题是利用函数的周期性与奇偶性求对抽象函数求值，对于此种问题的处理，首先应该从条件()()2f x f x +=-得出函数()f x 的周期，然后利用周期性将所求的函数值对应的自变量的绝对值化小，并结合已知条件求解. 【答案】0【解析】由于函数()f x 时定义在R 上的奇函数，所以()00f =，且()()2f x f x +=-，故函数()f x 的周期为4，因此()()()()6624200f f f f -=-+⨯==-=.【练一练趁热打铁】1. 奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8【答案】D2.已知函数()f x 满足()()21f x f x ⋅+=且()12f =，则()99f = . 【答案】12. 【解析】由()()()()1212f x f x f x f x ⋅+=⇒+=，故函数()f x 的最小正周期为4，()99f =()()25411f f ⨯-=-，在等式()()12f x f x +=中令1x =-得，()()()1112112f f f ==⇒-=-.（一） 选择题（12*5=60分）1. 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ）(A) [3,1]- (B) (3,1)- (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D. 【考点定位】函数的定义域与二次不等式.【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解.本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零.2. 下列函数()f x 中，满足对任意1x 、()20,x ∈+∞，当12x x <时都有()()12f x f x >的是（ ） A.()1f x x=B.()()21f x x =-C.()xf x e = D.()()ln 1f x x =+ 【答案】A3. 下列函数中，在(0,)+∞上是单调递增的偶函数的是（）A ．cos y x =B ．3y x =C ．x xy e e -=+ D ．212log y x =【答案】 C ．【解析】cos y x =在(0,)+∞上不是单调递增的，3y x =是奇函数，212log y x =在(0,)+∞上是单调递减的，x xy e e -=+在(0,)+∞上是单调递增的偶函数，故选C.4. 已知)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且2)1()1(=+-g f ，4)1()1(=-+g f ，则)1(g = A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B.【解析】因为)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且4)1()1(=-+g f ，所以4)1()1(=+--g f ，又因为2)1()1(=+-g f ，所以3)1(=g ，故应选B.5. 奇函数)(x f 的定义域为R ，若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1，则)8(f +)9(f =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 【答案】D.6. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A .y ＝sin (2x ＋2π) B .y ＝cos (2x ＋2π) C .y ＝sin 2x ＋cos 2x D .y ＝sinx ＋cosx 【答案】B【解析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y sin (2x ＋4π)是非奇非偶函数故正确答案为B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.7. 已知函数2()21,()1xf xg x x =-=-，构造函数()F x 的定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x g x =-，则()F x ( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值 【答案】B【解析】作出函数图象可得，()F x 的图象为图中x 轴上方A 点左侧（含A 点），B 点右侧（含B 点）部分，x 轴下方的红色虚线部分，由图可知，()F x 无最大值，最小值为1-,选B. 8.已知函数()y f x =是在闭区间[]0,2上单调递增的偶函数，设()2a f =-，()0b f =，()1c f =-，则（ ）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 【答案】A9. 设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C【解析】因为21(2)24f --==，所以111((2))()11422f f f -==-=-=，故答案选C【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求(2)f -的值，继而去求((2))f f -的值；2.若求函数[()]f f a 的值，需要先求()f a 的值，再去求[()]f f a 的值；若是解方程[()]f f x a =的根，则需先令()f x t =，即()f t a =，再解方程()f t a =求出t 的值，最后在解方程()f x t =；3.本题属于基础题，注意运算的准确性.10. 已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(,2)(1,)-∞-⋃+∞C. (1,2)-D. (2,1)- 【答案】D【解析】由题意易知分段函数()f x 为单调递增函数，若2(2)()f x f x ->，则22x x ->，解得21x -<<．11. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+【答案】A【考点定位】1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点.12. 已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.（二） 填空题（4*5=20分）13. 若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x =0处有意义，常用f (x )=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算. 14. 已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .【答案】1【解析】∵(2)(2)f x f x +=-，∴(4)()f x f x +=-．∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x =-，∴(4)()f x f x +=，∴3(2014)(45032)(2)(2)log 31f f f f =⨯+==-==．15. 已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围 是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力. 16. 已知函数32tansin )(x xx x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ．【答案】2(0,)3。

2021届全国高考数学复习 函数的基本性质

2021届全国高考数学复习 函数的基本性质

【解析】∵f(x)是定义域为R的偶函数，且 ，，，，，，，，
，
(－∞，＋∞)上单调递增，
【答案】C
第2节 函数的基本性质
【解析】函数f(x)的定义域为R.因为 所以f(x)是奇函数．因为函数
数，所以f(x)在R上是增函数．
【答案】A
在R上是增函数，
在R上也是增函
第2节 函数的基本性质
3．[北京2019·13]设函数
第2节 函数的基本性质
(3)关于函数单调性的几个常用结论 ①f(x)与m·f(x)在m>0时具有相同的单调性，在m<0时具有相反的单调性． ②若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)亦为增(减)函数．
第2节 函数的基本性质
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性 设u＝g(x)，则y＝f(u)，若u＝g(x)和y＝f(u)单调性相同，则y＝f(g(x))
第2节 函数的基本性质
4．[天津2016·13]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调
递增．若实数a满足
，则a的取值范围是________．
【解析】∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
【答案】
第2节 函数的基本性质
考点2 函数的奇偶性及其应用
2021届全国高考数学复习 函数的基本性质
函数的基本性质
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第2节 函数的基本性质
真题自测 考向速览
考点1 函数的单调性及其应用
1．[课标全国Ⅲ2019·11]设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞) 单调递减，则( )
第2节 函数的基本性质

考点05 函数的基本性质-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过

考点05 函数的基本性质-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过

考点05 函数的基本性质函数的单调性与最值、奇偶性以及函数图象是历年高考考查的重点，具体要求为：(1)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. (2)会运用函数图象理解和研究函数的性质.一、函数的单调性 1．函数单调性的定义自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．注意：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． (3)“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. (4)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论(1)若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； (2)若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； (3)函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； (4)函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； (6)一些重要函数的单调性： ①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②by ax x =+(0a >，0b >)的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．4．函数的最值注意：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．2．函数奇偶性的几个重要结论(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：(3)若奇函数的定义域包括0，则()00f =． (4)若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．(5)定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．(6)若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．(7)掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x x x a a a f x a a a ----==++(0a >且1a ≠)为奇函数．③函数()1log 1axf x x-=+(0a >且1a ≠)为奇函数．④函数()(log a f x x =(0a >且1a ≠)为奇函数．三、函数的周期性 1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期(若不特别说明，T 一般都是指最小正周期). 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a - ；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a . 四、函数的图象 1．函数图象的画法 (1)描点法作图①研究函数特征()⎧⎪⎨⎪⎩确定定义域化简解析式讨论性质奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值 ②列表(注意特殊点：与坐标轴的交点、极值点、端点)； ③描点(画出直角坐标系，准确画出表中的点)； ④连线(用平滑的曲线连接所描的点)．(2)变换法作图①平移变换②对称变换a．y＝f(x) y＝−f(x)；b．y＝f(x) y＝f(−x)；c．y＝f(x) y＝−f(−x)；d．y＝a x(a>0且a≠1) y＝log a x(a>0且a≠1).③翻折变换④伸缩变换y＝f(x)y＝f(ax)．y＝f(x)y＝af(x)．2．函数图象的识别有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．(2)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择． (3)由解析式确定函数图象．此类问题往往从以下几方面判断：①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．(4)同一坐标系下辨析不同函数图象．解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图象是正确的，然后再验证另一个函数图象是否符合要求，逐项作出验证排查．(5)利用函数性质探究函数图象，往往结合偶函数图象关于y 轴对称，奇函数图象关于原点对称这一结论进行判断. 3．函数图象的应用函数图象应用的常见题型及求解策略(1)利用函数图象确定函数解析式，要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系．(2)利用函数图象研究两函数图象交点的个数时，常将两函数图象在同一坐标系内作出，利用数形结合求解参数的取值范围． (3)利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． (4)利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标.考向一 判断函数的单调性1．判断函数单调性的方法：(1)定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．(2)利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．(3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．(5)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．典例1 下列函数定义域为()0,+∞且在定义域内单调递增的是 A ．e xy = B ．1πlog y x =-C ．y =D ．12log y x =【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，e xy =，为指数函数，其定义域为R ，不符合题意；对于B ，1ππlog log y x x =-=，为对数函数，定义域为()0,+∞且在定义域内单调递增，符合题意；对于C ，y =[)0,+∞，不符合题意；对于D ，12log y x =，为对数函数，定义域为()0,+∞且在定义域内单调递减，不符合题意，故选B ．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．典例2 已知函数()f x =()739f =. (1)判断函数()y f x =在R 上的单调性，并用定义法证明； (2)若()121f f x ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，求x 的取值范围.【答案】(1)见解析；【解析】(1)由已知得3321719m -=+，38m =，∴2m =. ∴()2121x x f x -=+21221x x +-=+2121x =-+. 任取12,x x ∈R ，且12x x <， 则()()212122112121x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭12222121x x =-++()()()21122222121x x x x -=++， ∵()()12210,210x x +>+>， ∴()()1221210x x ++>，又∵21x x >，∴2122x x >，∴21220x x->，∴()()()211222202121x x x x ->++，即()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()y f x =在R 上为单调增函数. (2)∵()121f f x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，且由(1)知函数()y f x =在R 上为单调增函数，312x <≤， ∴x不写集合形式不扣分). 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，(1)由()739f =，代入解析式即可得2m =，进而得()2121xf x =-+，从而可利用单调性定义证明即可；(2)由(1)知函数()y f x =在R 上为单调增函数，所以得121x ≥-，求解不等式即可.用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.1．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：(1)由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.(2)利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．(3)利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(4)利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．典例3 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞(12x x ≠)，有()()21210f x f x x x -<-，则A ．()()()324f f f <<B ．()()()123f f f <<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()310f f f << 【答案】D【解析】因为对任意的1x ，[)20,x ∈+∞(12x x ≠)，有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，因为013<<，所以()()()310f f f <<，故选D ．典例4 已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． (1)求()1f 的值；(2)解不等式()(32)f x f x -+≥--.【解析】(1)令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.(2)解法一：由题意知()f x 为(0,)+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <.∵()()()f xy f x f y =+，,0,()x y ∈+∞且1()12f =，∴()(32)f x f x -+≥--可化为321()()()2f x f x f -≥--+，即11()()()()0223f x f x f f -+-++≥＝()()()331()()1()12222x x x xf f f f f f --⇔-+≥⇔-⋅≥，则31022x x x <⎧--⋅≤⎪⎨⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-． 解法二：由()()()1()21221f f f f =⇒+=-， ∴()()()4222f f f =+=-，∴()()()34f x f x f -≥-+，即()3]4[()f x x f -≥-，则030(3)4x x x x -->⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()(32)f x f x -+≥--的解集为0{|}1x x ≤<-．2．若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1-C ．()0,1D ．(]0,1考向三 函数最值的求解1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[]a b ，上是减函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f b ，最大值为()f a .2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()g x 在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()2min 113111g x g ==-⨯+=-，所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.典例6 已知函数()223f x x x =--，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值．【解析】易知函数()223f x x x =--的图象的对称轴为直线x ＝1，(1)当1≥t ＋2，即1t ≤-时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.(2)当22t t ++≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4. (3)当t ≤1<22t t ++，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(4)当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩ ，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.【名师点睛】求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3．函数2()42x x f x +=-(12)x -≤≤的最小值为______．考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路： (1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例7 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C ．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C【解析】设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．典例8 下列判断正确的是A ．函数22)(2--=x xx x f 是奇函数B．函数()f x x =+CD ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】对于A ，22)(2--=x xx x f 的定义域为2x ≠，不关于原点对称，不是奇函数.对于B，()f x x =()f x x -=-+.对于C ，函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称.当0x >时，2211()()1(1)()22f x x x f x -=---=-+=-；当0x <时，2211()()11()22f x x x f x -=-+=+=-.综上可知，函数()f x 是奇函数.对于D ，1)(=x f 的图象为平行于x 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C ，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明()f x -与()f x 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D 项中的函数是()0f x =，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.4．若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f (g (2))＝( )A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2考向五 函数奇偶性的应用1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： (1)已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可. (3)已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()()f x f x -=，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解.(4)已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论：(1)若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； (2)若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；(3)若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称．典例9 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】()()5,05,-+∞【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =. 又当0x <时，0x ->，∴2()4f x x x -=+.又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()240f x x x x --<=，∴()220,04,04,0x x x f x x x x x ->--<⎧⎪==⎨⎪⎩. 当0x >时，由()f x x >得24x x x ->，解得5x >； 当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞．5．已知函数()33xxf x e ex -=-++，若()5f a =，则()f a -=( )A ．2B ．1C ．2-D ．5-考向六 函数周期性的判断及应用(1)判断函数的周期，只需证明()()()0f x T f x T =+≠，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.(3)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例10 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数． 其中正确的序号是 ． 【答案】①②③【解析】由()()20f x f x ++=得()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+()f x =，所以4是()f x 的一个周期，8也是()f x 的一个周期，①正确；由()()4f x f x -=得()f x 的图象关于直线2x =对称，②正确；由()()4f x f x +=得()()4f x f x -=-，所以()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，③正确． 所以正确的序号是①②③．6．定义在R 上的奇函数()f x 满足33()()88f x f x +=-，并且当308x ≤≤时，()161xf x =-，则(100)f = A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：(1)函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例11 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，则 A ．(25)(11)(80)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<- D ．(25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D【解析】因为()f x 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则(25)(1),(80)(0),(11)(3)f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x -=-，得(11)(3)(1)(1)f f f f ==--=.因为()f x 在区间[02]，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在区间[22]-，上是增函数， 所以(1)(0)(1)f f f -<<，即(25)(80)(11)f f f -<<.7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递增，若()23f =，则满足()13f x +<的x 的取值范围是( )A ．()(),20,2-∞- B ．()2,2- C ．()(),30,1-∞-⋃D ．()3,1-考向八 函数图象的识别高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考中的一个热点，题型多以选择题为主，难度适中，常会与函数的有关性质(如奇偶性、单调性)等相结合.(1)识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 轴、y 轴的交点，最高、最低点等)．(2)识图的方法：①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决； ②定量计算法：通过定量的计算来分析解决； ③排除法：利用本身性质或特殊点进行排除验证．典例12 函数2()1sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得()21e 1sin sin 1e 1e x x xf x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， 则()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11ex x xx x xf x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++， 则()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ； 当1x =时，()1e1sin101ef -=⋅<+，排除A ， 本题正确选项为C.【名师点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．解答本题时，根据条件先判断函数的奇偶性和对称性，利用()1f 的值的符号进行排除即可．8．函数()ln 11x f x x +=+的部分图象大致是( )A ．B ．C ．D ．1．下列函数既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是( ) A ．12y x = B ．2yxC ．3y x =D ．4y x =2．已知函数()()22f x x k x =+-是[)1,+∞上的增函数，则k 的取值范围为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],1-∞D ．[)1,+∞3．已知函数()()ln ln 4f x x x =+-，则( ) A ．()f x 在()0,4单调递增 B ．()f x 在()0,4单调递减C ．()y f x =的图象关于直线2x =对称D ．()y f x =的图象关于点()2,0对称4．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) A ．1- B ．1 C ．2D ．45．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()212f x f x ->-的解集为( )A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,+∞D ．()0,16．已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为( ) A ．m p n >> B ．p n m >> C ．p m n >>D ．n p m >>7．已知定义在R 上的函数()3sin 21f x x x =-+，则在[]5,5-上()f x 的最大值与最小值之和等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．函数()32ln x x f x x-=的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=( )A ．6B ．3C ．0D ．3-10．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-； ②函数(1)y f x =+的图象关于y 轴对称； ③对于任意的12,[0,1]x x ∈，都有()()()()12120f x f x x x -->则32f ⎛⎫⎪⎝⎭、(2)f 、(3)f 从小到大的关系是( ) A ．3(2)(3)2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭B ．3(3)(2)2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭C ．3(3)(2)2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭D ．3(3)(2)2f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭11．已知当,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，cos cos tan tan αβαβ-<-，则以下判断正确的是( )A ．αβ<B ．αβ>C ．22αβ>D ．22αβ<12．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=______.13．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.14．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意x ，(,0)(0,)y ∈-∞⋃+∞，()()()f x y f x f y ⋅=+； ②当1x >时，()0f x >，且(2)1f = ． (1)试判断函数()f x 的奇偶性．(2)判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性． (3)求函数()f x 在区间[4,0)(0,4]-上的最大值．(4)求不等式(32)()4f x f x -+的解集．1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减3．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．2sin cos ++x xx x6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f (log 314)＞f (322-)＞f(232-) B ．f (log 314)＞f (232-)＞f(322-)C ．f (322-)＞f (232-)＞f (log 314)D ．f (232-)＞f (322-)＞f (log 314)8．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为9．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为10．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =12．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．5013．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．14．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a =________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．15．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是 ▲ ．1．【答案】D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.【点睛】形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,() y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”. 2．【答案】D【解析】对于()22f x x ax =-+，开口向下，对称轴为x =a .若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：a ≤1； 对于()1a g x x =+，其相当于将ay x =的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a >0时，则函数ay x =在第一象限单调递减，而()1a g x x =+在(-1,+∞)单调递减，故a 的取值范围是(]0,1. 3．【答案】-4 【解析】 【分析】换元,令2x t =,则1[,4]2t ∈,24y t t =-,再利用二次函数的单调性可求最小值.2()(2)42x x f x =-⋅,令2x t =,因为12x -≤≤,所以1[,4]2t ∈, 则224(2)4y t t t =-=--,y 在1[,2]2t ∈上递减，在[2,4]t ∈上递增，所以当t =2时函数取得最小值-4． 故答案为-4． 【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值,属中档题. 4．【答案】D 【解析】分析：利用奇偶性，先求出()2g ，再求出()()2f g 的值即可. 详解：设x ＞0，则﹣x ＜0， 故f (﹣x )=2x ﹣2=﹣f (x )， 故x ＞0时，f (x )=2﹣2x ， 由g (2)=f (2)=2﹣4=﹣2， 故f (g (2))=f (﹣2)=﹣f (2)=2， 故选D ．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 5．【答案】B【解析】设()()33xxg x f x e ex -=-=-+，则()()()33x x x x g x e e x e e x g x ---=--=--+=-，所以()g x 是奇函数．因为()()32g a f a =-=，所以()()32g a f a -=--=-，则()1f a -=． 6．【答案】B 【解析】。

专题01 函数的基本性质(第四季)-2021年领军高考数学(理)压轴题必刷题(原卷版)参照模板

专题01 函数的基本性质(第四季)-2021年领军高考数学(理)压轴题必刷题(原卷版)参照模板

（4）存在无数多个实数 k，使得函数 g（x）=f（x）-kx 在（-1，1）上有三个零点
则其中正确结论的序号为____ __．
10．对于三次函数
，现给出定义：设 是函数
的导数， 是
的导数，若方程 =0 有实数解 ，则称点( ， )为函数
的“拐点”．经
过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中的心路历程，真的很颓废 一事无成 。20.9.229.22.202021:0321:03:50Sep-2021:03 2、最困难的事情控制自己人。二〇二〇年九月二十二日 2020 年 9 月 22 日星期二 3、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废 一事无成。 21:039.22.202021:039.22.202021:0321:03:509.22.202021:039.22.2020 4、与肝胆人共事，花开两面地。9.22.20209.22.202021:0321:0321:03:5021:03:50 5、好看的皮囊遍地都是，有趣的灵魂万里挑一。September 20Tuesday, September 22, 20209/22/2020 6、w/ai 我的老婆自卑都表示心灵的最软弱无力。9 时 3 分 9 时 3 分 22-Sep-209.22.2020 7、自知之明是最难得的知识。20.9.2220.9.2220.9.22。2020 年 9 月 22 日星期二二〇二〇年九月二十二日 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。21:0321:03:509.22.2020Tuesday, September 22, 2020 1、成功時必然的 我是天妒英才。20.9.229.22.202021:0321:03:50Sep-2021:03 8、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废 一事无成。21:0321:03:509.22.2020Tuesday, September 22, 2020

高考数学艺体生精选好题突围系列(基础篇)专题05函数的基本性质

高考数学艺体生精选好题突围系列(基础篇)专题05函数的基本性质

专题05 函数的基本性质函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：没有单调性【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.2.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.3.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A.1y x =+ B.y x x= C.1y x=D.2y x =-分析：本题属于基本初等函数的单调性进行判断，判断时可以利用基本初等函数的图象或在基本初等函数的基本单调性来进行判断，在判断时可以利用结论：函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同.【答案】B例2已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A.30a -≤<B.32a -≤≤-C.2a ≤-D.0a < 分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数()f x 在定义域上的增函数问题，则需要考虑()f x 在区间(),1-∞和区间[)1,+∞上都是增函数，还需要考虑()f x 在1x =处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围. 【答案】B【练一练趁热打铁】1. 下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C2. 已知函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.()(),12,-∞-+∞B.()(),21,-∞-+∞C.()1,2-D.()2,1-【答案】D【解析】作出函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的图象如下图所示，函数的奇偶性 【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -= ()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）； 2.基本初等函数的奇偶性：3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；4.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数. 【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =. 典型例题例1已知函数f(x)＝2200x x x ax bx x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩＋，，＋，是奇函数，求a ＋b 的值．分析：本题是函数的奇偶性的判断，对于本题的求解，可以利用定义法来进行判断，按照定义法判断函数奇偶性三步来进行证明.【答案】0例2给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④分析：本题是考查函数的奇偶性的判断问题，对于简单函数的奇偶性判断，可以利用基本初等函数的奇偶性或定义法来进行判断. 【答案】B.例3 设()f x 为定义在R 上的函数.当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则()1f -=（ ） A.3- B.1- C.1 D.3 分析：本题是考查分段函数的奇偶性与求值问题，题中已知函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式，但解析式中含有未知的参数，所以可以利用奇函数的结论()00f =来求出b 的值，从而确定函数()f x 区间[)0,+∞上的解析式，先求出()1f 的值，然后结合函数()f x 的奇偶性求出()1f -的值.解析：函数()f x 为定义在R 上的函数，()00f ∴=，即()0022010f b b =+⨯+=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()221xf x x =+-，因此()1122113f =+⨯-=，所以()()113f f -=-=-，故选A. 例4.已知函数()32013f x ax bx =++，若()20144025f =，则()2014f -=（ ）A.1B.4025-C.2013-D.2014 分析：本题是利用函数奇偶性求值问题，首先需要注意到()2014f -与()2014f 中两个自变量之间相反数之间的关系，联想到利用函数的奇偶性来求解，在解题时注意到代数式3ax bx +的奇偶性，通过将2014与2014-之间相反数之间的关系，代值利用加法进行消去，从而求出()2014f -的值.【练一练趁热打铁】1. 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，则函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立，∴'(())0xf x >，∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数，又∵)(x f y =在R 上为奇函数，∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞上为偶函数，且过(3,0)和(3,0)-和(0,0)，∴函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为3个.【1-2】 2. 已知函数()2mf x x －＝是定义在区间2[3]m m m －－，－上的奇函数，则f (m )＝________．【答案】1－3.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭ B.()()13f f f ππ⎛⎫>->- ⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． 【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 2.典型例题例1已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013分析：本题是借助函数的周期性与奇偶性求值问题，对于此种问题的处理，首先是利用特值确定f 20=（﹣），从而利用奇偶性得f 20=（），利用函数的周期性即可求解.【答案】A例2已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x +=()f x -，则()6f -的值为_______.分析：本题是利用函数的周期性与奇偶性求对抽象函数求值，对于此种问题的处理，首先应该从条件()()2f x f x +=-得出函数()f x 的周期，然后利用周期性将所求的函数值对应的自变量的绝对值化小，并结合已知条件求解.【练一练趁热打铁】1. 奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8【答案】D2.已知函数()f x 满足()()21f x f x ⋅+=且()12f =，则()99f = . 【答案】12.（一） 选择题（12*5=60分）1. 函数()log 1(01)a f x x a =+<<的图像大致为（ ）【答案】A【解析】因为()()()()+∞∞-∈=-,00,, x x f x f 所以函数()log 1(01)a f x x a =+<<为偶函数，当0>x 时，()()101log <<+=a x x f a 图像单调递减，且向上平移，据此可知答案选A.2. 下列函数()f x 中，满足对任意1x 、()20,x ∈+∞，当12x x <时都有()()12f x f x >的是（ ） A.()1f x x= B.()()21f x x =- C.()xf x e = D.()()ln 1f x x =+ 【答案】A3. 下列函数中，在(0,)+∞上是单调递增的偶函数的是（ ） A ．cos y x = B ．3y x = C ．x x y e e -=+ D ．212log y x =【答案】 C ．【解析】cos y x =在(0,)+∞上不是单调递增的，3y x =是奇函数，212log y x =在(0,)+∞上是单调递减的，x x y e e -=+在(0,)+∞上是单调递增的偶函数，故选C.4. 已知)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且2)1()1(=+-g f ，4)1()1(=-+g f ，则)1(g = A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B.【解析】因为)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且4)1()1(=-+g f ，所以4)1()1(=+--g f ，又因为2)1()1(=+-g f ，所以3)1(=g ，故应选B.5. 奇函数)(x f 的定义域为R ，若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1，则)8(f +)9(f =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 【答案】D.6. ()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b f （ ） A. 0B. 3C. -1D. -2【答案】A.7. 已知函数2()21,()1x f x g x x =-=-，构造函数()F x 的定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x g x =-，则()F x ( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值 【答案】B【解析】作出函数图象可得，()F x 的图象为图中x 轴上方A 点左侧（含A 点），B 点右侧（含B 点）部分，x 轴下方的红色虚线部分，由图可知，()F x 无最大值，最小值为1-,选B.8.已知函数()y f x =是在闭区间[]0,2上单调递增的偶函数，设()2a f =-，()0b f =，()1c f =-，则（ ）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 【答案】A9. 函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（ ）A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4【答案】C10. 已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(,2)(1,)-∞-⋃+∞C. (1,2)-D. (2,1)- 【答案】D【解析】由题意易知分段函数()f x 为单调递增函数，若2(2)()f x f x ->，则22x x ->，解得21x -<<．11. 已知函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4，则m =（ ）A.3B.13C.2D.12【答案】B【解析】()()2361f x mx m x '=+-，则0与4是方程()0f x '=的两根，则由韦达定理得()214m m-=-， 由于0m >，解得13m =，故选B. 12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B（二） 填空题（4*5=20分）13. 已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 . 【答案】114.若函数()221x x af x -=+是奇函数，那么实数a = .【答案】1.【解析】由于函数()221x x a f x -=+是奇函数，且在0x =处有意义，因此()00f =，即()002021af -==+ 102a-=，解得1a =. 15. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足1(1)5f =，且对任意的x 都有1(3)()f x f x +=-，则(2014)f = ．【答案】-516. 已知函数32tansin )(x xx x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ． 【答案】2(0,)3【解析】本题函数表面上看比较复杂，但这类问题实质上我们可以不关心函数的具体表达式，只要理解函数的性质即可．研究函数32tansin )(x xx x f ++=，)1,1(-∈x 后发现()f x 是奇函数，也是增函数，因此不等式0)12()1(<-+-a f a f 化为(1)(21)(1)(12)f a f a f a f a -<--⇔-<-11121a a ⇔-<-<-<，所以有203a <<．。

艺体生专题四 函数的性质、函数的图象百日突围

艺体生专题四 函数的性质、函数的图象百日突围

专题四 函数的性质、函数的图象函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示. 求定义域的基本原则有以下几条： 1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：0x 及()n x n N -*∈中底数0x ≠；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于1；5.三角函数：正弦函数sin y x =的定义域为R ，余弦函数cos y x =的定义域为R ，正切函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．典型例题例1【2018届全国名校大联考高三第四次联考】函数()f x = ）A. (]0,1000B. []3,1000C. 10,1000⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,31000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【练一练趁热打铁】1. 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D.),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C .2. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)【答案】B【解析】 因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠，故[0,1)x ∈.故选B ．分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如(){}{}f f f f a ⎡⎤⎣⎦的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． （5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．典型例题例1【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知函数()1212,0{ ,0x x f x x x -≤=>，则()()1f f -=__________．【解析】由题()()()111122ff f f -⎛⎫-=-==⎪⎝⎭. 例2【2018届河南省南阳市第一中学高三第七次考】已知函数()()2142,1{1log ,1a x a x f x x x -+-<=+≥，若()fx 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ） A. (]1,2 B. (],2-∞ C. (]0,2 D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】因为当1x ≥时2101log 1{121421a x a a a ->+≥∴⇒<≤-+-≥ ，选A.【练一练趁热打铁】1.已知函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，且()3-=a f ，则()6f a -= .【答案】32-2.【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】函数()()()()132{ log 12x e x f x x x -<=--≥，则不等式()1f x >的解集为( ) A. ()1,2 B. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】分类讨论： 当2x <时，不等式为： 11,10,1x ex x ->∴->>，此时12x <<；当2x ≥时，不等式为： ()314log 11,01,133x x x -->∴<-<<<，此时不等式无解； 综上可得，不等式的解集为： 12x <<， 表示为区间形式即： ()1,2. 本题选择A 选项.函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．例2【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞【答案】D【练一练趁热打铁】1.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B 【解析】2.32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>，所以2log 5最大.函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -=()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）；2.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；3.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝(奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.5.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f (0)=0”“偶函数一定有f (|x|)=f (x )”在解题中的应用.典型例题例1【2018届北京市东城区高三上学期期末】下列函数中为偶函数的是 A. ()22y x =- B. ln y x = C. cos y x x =⋅ D. xy e -=【答案】D例2【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月】奇函数()f x 在()-∞+∞，单调递增，若()11f =，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是A. []2,2-B. []1,1-C. []0,4D. []1,3【答案】D【解析】根据奇函数的性质有()()111f f -=-=-，故原不等式等价与121x -≤-≤，解得13x ≤≤.【练一练趁热打铁】1.下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C【解析】对于A 选项，结合二次函数2y x =的图象可知，函数2y x =为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增；对于B 选项，函数3y x =-为奇函数，230y x '=-<在()0,+∞上恒成立，则函数3y x =-在区间()0,+∞上单调递减；对于C 选项，函数lg y x =-的定义域为()(),00,-∞+∞，且lg lg xx --=-，故函数lg y x =-为偶函数；对于D 选项，结合对数函数2xy =的图象可知，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增.故选C.2.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭B.()()13f f f ππ⎛⎫>->- ⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由于函数()y f x =为偶函数，故()()f x f x -=，因此()()11f f -=，()()f f ππ-=，由于函数()f x 在区间[]0,4上单调递减，且0143ππ<<<<，所以()()143f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即()1f ->()3f f ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故选C. 函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．关于函数周期性常用的结论（1）若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；（2）若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；（3）若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （5）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（7）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． 2.典型例题例1【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= . 【答案】6 【解析】例2. 【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1)0,(1)(12)(1)0f f f f f -=-=-=-+==，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.【练一练趁热打铁】1.【2016高考山东文数】已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2 【答案】D2.已知函数()f x 满足()()21f x f x ⋅+=且()12f =，则()99f = . 【答案】12. 【解析】由()()()()1212f x f x f x f x ⋅+=⇒+=，故函数()f x 的最小正周期为4，()99f =()()25411f f ⨯-=-，在等式()()12f x f x +=中令1x =-得，()()()1112112f f f ==⇒-=-.函数的图象【背一背基础知识】1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质继续、单调性、周期性；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．2．利用基本函数的图象作图①平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____(＋)或向____(－)平移____单位而得到．②对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于____对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于____对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以____为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于____的对称性，作出x<0时的图象．③伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为__________，________不变而得到．(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为__________，________不变而得到．【2答案】① (1)左右a个(2)上下b个② (1)y轴(2)x轴(3)原点(4)x轴(5)y轴③ (1)原来的A倍横坐标(2)原来的1a倍纵坐标【讲一讲基本技能】1.画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．2.函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．3.具有对称性的抽象函数：①函数()x f对于定义域中的任意x,都有()()xbfxaf-=+，则()x f是关于直线2bay+=对称的函数，②函数()x f对于定义域中的任意x,都有()()xbfxaf--=+，则()x f是关于点⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ba对称的函数.4.对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.5.函数图象的应用(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．（2）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解． (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 2.典型例题例1【2017课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】例2【2017课标3，文7】函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为（ ）ABD ．C D 【答案】D【练一练趁热打铁】1.【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】函数()ln 2y x =-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】A2. 如果函数f(x)＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】当a ＝0时，函数为一次函数f(x)＝2x －3，为递增函数； 当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，对称轴为直线x ＝－1a<0，函数在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴为直线x ＝－1a≥4，解得a≥－14，又a<0，故－14≤a<0.综上，－ 14≤a≤0，故选D.（一） 选择题（12*5=60分）1. 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ） (A) [3,1]- (B) (3,1)-(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D. 2．【2018届山东省寿光市高三上学期期末】下列函数中，图象是轴对称图形且在区间()0+∞，上单调递减的是（ ） A. 1y x=B. 2log y x =C. 2x y =D. 21y x =-+ 【答案】D3. 4213532,4,25a b c ===，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 【答案】A 【解析】2223534,4,5a b c ===，由于4xy =为增函数，所以a b >.应为23y x =为增函数，所以c a >，故b a c <<.4.【2018届福建省三明市A 片区高中联盟校高三上学期期末】已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时， ()4x f x =，则()4log 192f =（ ）A.43 B. 43- C. 34 D. 38- 【答案】B【解析】44444log 192log 643log 64log 33log 3=⨯=+=+ ∵()()4f x f x =+ ∴()()4f x f x -=∴()()44log 313log 3f f -=+∵440log 3log 41<<<，且()f x 为奇函数 ∴()()444log 1log 33444log 311log 3443f f --=--=-=-=-故选B5. 奇函数)(x f 的定义域为R ，若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1，则)8(f +)9(f =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 【答案】D.【解析】因为函数)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，又因为)2(+x f 为偶函数，所以)2()2(+=+-x f x f ，所以)4()4()26()26()8(f f f f f -=-=+-=+=，而0)0()22()22()4(==+-=+=f f f f ，0)8(=f ，同理可得，1)1()23()32()5()5()27()27()9(==+--=+-=-=-=+-=+=f f f f f f f f ，所以1)9()8(=+f f .故应选D.6.【2018届福建省福州市高三上学期期末】已知函数()22log ,0,{41,0.x x a x f x x -+>=-≤若()3f a =，则()2f a -=（ ）A. 1516-B. 3C. 6364-或3D. 1516-或3 【答案】A【解析】若()20,log 3a f a a a >=+=，得()()2152,204116a f a f -=-==-=-，若20,413,3a a a -≤-==，不合题意， ()15216f a ∴-=-，故选A. 7．【2018届河北省石家庄市高三上期末】已知奇函数()f x ，当0x >时单调递增，且()10f =，若()10f x ->，则x 的取值范围为（ ）A. {|012}x x x <或B. {|02}x x x 或C. {|03}x x x 或D. {|11}x x x -或 【答案】A【解析】()f x 为奇函数， 0x >时，单调递增， 0x ∴<时，也单调递增，由()10f =，得()10f -=， ()()1{11,211x x x f x f >∴⇒->>->，()()1{11,0111x x x f x f <⇒->-<<->-， x ∴的取值范围为01x <<或2x >，故选A.8．【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】函数ln x y x=的图象大致为A.B.C. D.【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以舍去A,C ；当1x >时0y > ，舍去B ，选D.9.已知函数()y f x =是在闭区间[]0,2上单调递增的偶函数，设()2a f =-，()0b f =，()1c f =-，则（ ）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 【答案】A【解析】由于函数()y f x =为偶函数，故()()22a f f =-=，()()11c f f =-=，且函数()f x 在闭区间[]0,2上单调递增，则()()()012f f f <<，即b c a <<，故选A.10.设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C【解析】因为21(2)24f --==，所以111((2))()11422f f f -===-=，故答案选C11. 已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(,2)(1,)-∞-⋃+∞C. (1,2)-D.(2,1)-【答案】D【解析】由题意易知分段函数()f x 为单调递增函数，若2(2)()f x f x ->，则22x x ->，解得21x -<<．12.【2018届陕西省西安市上学期高三上期末】设函数()()2222{ log (2)x x f x x x -≥=<，若()7f m =，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 1C. 3-D. 3 【答案】D【解析】①当m ≥2时，f （m ）=7为：m 2﹣2=7， 解得m=3或m=﹣3（舍去），则m=3； ②当m ＜2时，f （m ）=7为： 2log 7m =， 解得m=27＞2，舍去， 综上可得，实数m 的值是3， 故选：D ．二、填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省垦利第一中学等四校高三上学期期末】已知函数()22,1,{log ,1,x x f x x x <=≥则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【答案】12【解析】12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1122212log 22f ⎛⎫== ⎪⎝⎭14.已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .【答案】1【解析】∵(2)(2)f x f x +=-，∴(4)()f x f x +=-．∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x =-，∴(4)()f x f x +=，∴3(2014)(45032)(2)(2)log 31f f f f =⨯+==-==． 15．【2018届福建省泉州市高中毕业班1月】若二次函数()2f x ax x b =-+的最小值为0，则4a b +的取值范围为__________． 【答案】[)2,+∞16.【2018届四川省绵阳南山中学高三二诊】函数()f x 是R 上的奇函数， ()12f =，且对任意12x x >，有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()212f x -≤-≤的解集为__________． 【答案】[]0,2【解析】函数()f x 是R 上的奇函数， ()12f =，则()12f -=-对任意12x x >，有()()12120f x f x x x ->-，则函数是单调递增函数则不等式()212f x -≤-≤即111x -≤-≤， 02x ≤≤。

2021届高考统考数学二轮复习艺体生专用课件：函数的性质

2021届高考统考数学二轮复习艺体生专用课件：函数的性质

【例3】 (1)已知函数f (x)为(0，＋∞)上的增函数，若f (a2－a)> f (a＋3)，则实数a的取值范围为________．
a2－a>0， 解析：由已知可得 a＋3>0，
a2－ a>a＋ 3，
解得－ 3<a<－ 1或 a>3.所以实数 a的取值范围为 (－ 3，－ 1)∪ (3，＋∞ )． 答案： (－ 3，－ 1)∪(3， ＋∞)
当 0<x1<x2时， x1 x2 >0， x1x2＋ 1>0.
又因为x1－x2<0，所以f (x1)－f (x2)<0，
即f (x1)<f (x2)．
所以函数f (x)＝x－1x在(0，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数 f
(x)＝
x－
1 x
在(－ ∞， 0)上是增
函数，在(0， ＋∞)
上是增函数．
答案： C
方法突破：求函数 最值的四种常用方法 (1)单调 性法：先确定函数的单调性，再由单 调性求最值． (2)图象 法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最 低点，求出最 值． (3)基本 不等式法：先对解析式变形，使之具 备“一正二定三相等” 的条件后用基本不 等式求出最值． (4)导数 法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点 值，求出最值．
的
的
(2)单调 区间的定义
若函数 f (x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f (x)在这一区
间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数 y＝f (x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足
对于任意 x∈I,

专题15函数的图象《2021年高考数学备考艺体生百日冲刺系列(通用)》(解析版)

专题15函数的图象《2021年高考数学备考艺体生百日冲刺系列(通用)》(解析版)

专题1.5函数的图象从近几年高考命题来看，关于函数的概念、函数的性质和函数图像的考查，呈现综合化趋势，即不单纯考查某一知识点，而是多点考查.如函数的定义域与不等式解法结合；函数的单调性、奇偶性与方程或不等式综合考查；函数的图象与函数的性质综合考查等等.对函数图像的考查，主要有（1）函数图象的辨识；（2）函数图象的变换；（3）由函数的性质及解析式选图；（4）由函数的图象来研究函数的性质、比较大小、确定函数的最值、求参数（范围）等.图象的变换、数形结合解决不等式、方程等问题，常常与导数结合考查. 题型以选择题、填空题较多，难度在中、高档.往往以分段函数的形式呈现函数，涉及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，也有涉及抽象函数的情形.一、基本初等函数的图象：二、函数的图象1利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质继续、单调性、周期性；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．2．利用基本函数的图象作图(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象――→关于x轴对称y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于y轴对称y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象――→关于原点对称y＝－f(－x)的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象.(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x ). (4)翻转变换y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【典例1】（2018年全国卷Ⅲ理）设函数f (x )=|2x +1|+|x −1|． （1）画出y =f (x )的图象；（2）当x ∈[0 ， +∞)，f (x )≤ax +b ，求a +b 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】（1）f(x)={−3x,x <−12,x +2,−12≤x <1,3x,x ≥1.y =f(x)的图象如图所示．（2）由（1）知，y =f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax +b 在[0,+∞)成立，因此a +b 的最小值为5． 【典例2】（北京海淀十一学校上期中）对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+， ∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m = 【规律方法】 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 【典例3】分别画出下列函数的图象：()()()()111221(31|)|||x y lg x y f x lg x ＋＝－；＝－；＝－ 【答案】见解析【解析】 (1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图1所示(实线部分).(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图2所示. (3) 第一步作y ＝lgx 的图像．第二步将y ＝lgx 的图像沿y 轴对折后与原图像，同为y ＝lg|x|的图像． 第三步将y ＝lg|x|的图像向右平移一个单位，得y ＝lg|x －1|的图像第四步将y ＝lg|x －1|的图像在x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，得()1||f x lg x ＝－的图像，如图3．【规律方法】 1．平移变换当m >0时，y ＝f (x －m )的图象可以由y ＝f (x )的图象向右平移m 个单位得到；y ＝f (x ＋m )的图象可以由y ＝f (x )的图象向左平移m 个单位得到；y ＝f (x )＋m 的图象可以由y ＝f (x )的图象向上平移m 个单位得到；y ＝f (x )－m 的图象可以由y ＝f (x )的图象向下平移m 个单位得到． 2．对称(翻折)变换y ＝f (|x |)的图象可以将y ＝f (x )的图象位于y 轴右侧和y 轴上的部分不变，原y 轴左侧部分去掉，画出y 轴右侧部分关于y 轴对称的图形而得到．y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象位于y 轴上方的部分不变，而将位于y 轴下方的部分翻折到y 轴上方得到．y ＝－f (x )的图象可将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称而得到．y ＝f (－x )的图象可由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到．3.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 【典例4】（2018年浙江卷）函数y =sin2x 的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D【典例5】（2020·浙江省高考真题）函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【总结提升】 识图的三种常用方法1．抓住函数的性质，定性分析：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； (2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.高度概括，便于识记：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置； （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的周期性，判断图象的循环往复． （6）计算特殊函数值，区分细节.【典例6】（2015·全国高考真题（文））设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( ) A ．1- B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x ay +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ．【典例7】（2017·全国高考真题（文））已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ． 【总结提升】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 【典例8】（2020·北京高考真题）已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例9】（2018年新课标I 卷文）设函数f (x )={2−x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (−∞ ， −1]B. (0 ， +∞)C. (−1 ， 0)D. (−∞ ， 0) 【答案】D【解析】将函数f(x)的图像画出来，观察图像可知会有{2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(−∞ ， 0)，故选D.【典例10】（2018年天津卷文）已知a∈R，函数f(x)={x2+2x+a−2，x≤0，−x2+2x−2a，x>0．若对任意x∈［–3，+∞），f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［18，2］【解析】分类讨论：①当x>0时，f(x)≤|x|即：−x2+2x−2a≤x，整理可得：a≥−12x2+12x，由恒成立的条件可知：a≥(−12x2+12x)max(x>0)，结合二次函数的性质可知：当x=12时，(−12x2+12x)max=−18+14=18，则a≥18；②当−3≤x≤0时，f(x)≤|x|即：x2+2x+a−2≤−x，整理可得：a≤−x2−3x+2，由恒成立的条件可知：a≤(−x2−3x+2)min(−3≤x≤0)，结合二次函数的性质可知：当x=−3或x=0时，(−x2−3x+2)min=2，则a≤2；综合①②可得a的取值范围是[18,2].【总结提升】函数图象应用的常见题型与求解策略1. （山东省2018年普通高校招生（春季））奇函数y =f(x)的局部图像如图所示，则（ ）A. f(2)>0>f(4)B. f(2)<0<f(4)C. f(2)>f(4)>0D. f(2)<f(4)<0 【答案】A【解析】因为奇函数y =f(x)，所以f (−4)=−f (4),f (−2)=−f(2), 因为f(−4)>0>f(−2)，所以−f (4)>0>−f(2),即f(2)>0>f(4)， 选A.2.（2020·安徽高三月考（理））函数cos sin 2xxy的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意可知，函数cos sin ()2x xy f x ==的定义域为R ，关于原点对称.cos()cos sin()sin ()()22x x x xf x f x ----===-∴函数cos sin 2xxy =为奇函数. 图象关于原点成中心对称，排除C ，D 选项. 又x ∈R 时cos [1,1]x ∈-∴cos 20x >当(0,)x π∈时sin 0x >，故0y >，排除B 选项. 故选A3．（2018·浙江高考真题）函数y =2x sin2x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.4.（2014·浙江高考真题（理））在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a (x ≥0),g(x)=log a x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数y =x a (x ≥0)，与y =log a x (x >0)， 答案A 没有幂函数图像，答案B.y =x a (x ≥0)中a >1，y =log a x (x >0)中0<a <1，不符合， 答案C y =x a (x ≥0)中0<a <1，y =log a x (x >0)中a >1，不符合，答案D y =x a (x ≥0)中0<a <1，y =log a x (x >0)中0<a <1，符合，故选D. 5.（2018年理数全国卷II ）函数的图像大致为（ ）A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.6.（2018·安徽高三高考模拟（文））已知函数y=x a,y=x b,y=c x的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系为（）A．c<b<a B．a<b<cC．c<a<b D．a<c<b【答案】A【解析】由图像可知，a>1,b=12,0<c<12，得a>b>c，故答案为：A.7.（2019·北京高考模拟（理））已知函数f（x）=2x（x＜0）与g（x）=ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A ．(−∞,2)B ．(−∞,e)C ．(2,e)D ．(e,+∞)【答案】B 【解析】在同一直角坐标系中作出函数f （x ）=2x （x ＜0）与g （x ）=ln （x+a ）的图象，当y=lnx 向左平移a （a ＞0）个单位长度，恰好过（0，1）时，函数f （x ）与g （x ）就不存在关于y 轴对称的点，所以0＜a ＜e ，当y=lnx 向右平移|a |（a ＜0）个单位长度，函数f （x ）与g （x ）总存在关于y 轴对称的点， 当a=0时，显然满足题意，综上：a ＜e ， 故选：B ．8.（2019·陕西高考模拟（理））已知函数()()lg 1f x x =-，若1a b <<且()()f a f b =，则实数2a b +的取值范围是（ ）A ．)3⎡++∞⎣ B ．()3++∞ C ．[)6+∞，D ．()6+∞，【答案】A 【解析】函数f （x ）＝|lg （x ﹣1）|， ∵1＜a ＜b 且f （a ）＝f （b ），则b ＞2，1＜a ＜2，∴()()11011log a lg b -=-，即111b a =--，可得：ab ﹣a ﹣b ＝0． 那么：a 1bb =-．则2a +b ()()2222211133111b bb b b b b b -+=+=+-+=-++≥---，当且仅当b1=时取等号．满足b ＞2，故选：A ．9.（2019·四川高三高考模拟（理））已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x (x −4)，则方程f (x )=f (2−x )的所有解的和为（ ） A ．4+√3 B ．1C ．3D ．5【答案】C 【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x （x −4） ∴当x ＜0时，−x ＞0则f （−x ）=−x （−x −4）=−f （x ） 即f （x ）=−x （x +4），x ＜0 则f(x)={x(x −4),x ≥0−x(x +4),x <0作出f （x ）的图象如图：∵y =f （2−x ）的图象与y =f （x ）的图象关于x =1对称∴作出y =f （2−x ）的图象，由图象知y =f （2−x ）与y =f （x ）的图象有三个交点 即f （x ）=f （2−x ）有三个根，其中一个根为1，另外两个根a ，b 关于x =1对称 即a +b =2则所有解的和为a +b +1=2+1=3 故选：C ．10.（2020·上海高一课时练习）函数12y x =的图象可由1y =+的图象经过下列怎样的变换得到( )A ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 【答案】B 【解析】1y =+2个单位，得到1y =+再向下平移1个单位得到y =.故选：B.11．（2020·上海高一课时练习）已知()y f x =的图像如图①，则()y f x =-的图像是_________；() y f x =-的图像是_________；(||)y f x =的图像是_________；|()|y f x =的图像是________．【答案】④ ③ ⑤ ② 【解析】因为()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于y 轴对称，故()y f x =-的图像是④ 因为()y f x =-的图像与()y f x =的图像关于x 轴对称，故()y f x =-的图像是③ 当0x ≥时，(||)y f x =的图像与()y f x =的图像相同，然后(||)y f x =是偶函数， 故(||)y f x =的图像是⑤保留()y f x =图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，得到的图像就是|()|y f x =的图像 故|()|y f x =的图像是② 故答案为：④，③，⑤，②12.（2015年浙江文）已知函数，则 ， 的最小值是 ．【答案】【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->()2f f ⎡⎤-=⎣⎦()fx 162-.()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦。

2021高考数学考前20天冲刺 函数图像与性质(1)

2021高考数学考前20天冲刺 函数图像与性质(1)

2021高考数学考前20天冲刺函数图像与性质1．设f(x)为概念在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，那么f(－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选D.因为f(x)为概念在R 上的奇函数，因此f(0)＝0，可求得b ＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2＋b)＝－3.应选D.2．已知概念在R 上的奇函数f(x)知足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m ＞0)，在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，那么x1＋x2＋x3＋x4＝________． 解析：因为概念在R 上的奇函数，知足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，因此f(x)在区间[－2，0]上也是增函数，如下图，那么方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：－83．已知概念在R 上的函数y ＝f(x)知足以下三个条件：①关于任意的x ∈R ，都有f(x ＋1)＝1f （x ）；②函数y ＝f(x ＋1)的图象关于y 轴对称；③关于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f(2)，f(3)从小到大的关系是________． 解析：由①得f(x ＋2)＝f(x ＋1＋1)＝1f （x ＋1）＝f(x)，因此函数f(x)的周期为2.因为函数y ＝f(x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f(x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f(x)的图象，因此函数y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称；依照③可知函数f(x)在[0，1]上为减函数，又结合②知，函数f(x)在[1，2]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在区间[1，2]上，1＜32＜2，因此f(1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f(2)，即f(3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f(2)． 答案：f(3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f(2)。

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专题1.4函数的基本性质从近几年高考命题来看，关于函数的概念、函数的性质和函数图像的考查，呈现综合化趋势，即不单纯考查某一知识点，而是多点考查.如函数的定义域与不等式解法结合；函数的单调性、奇偶性与方程或不等式综合考查；函数的图象与函数的性质综合考查等等.作为函数性质和图象的应用，主要体现在比较大小、确定函数的最值、解不等式、求参数（范围）等，选择题、填空题较多，难度在中、高档.往往以分段函数的形式呈现函数，涉及一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，也有涉及抽象函数的情形.一、函数的概念1.(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. 定义域、值域一般用集合或区间表示.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 2.求定义域的基本原则： （1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求； （3）幂指数：及中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为. 二、分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数. 1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到； 2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点. 三、函数的单调性1.单调区间：若函数在区间上是增函数（或减函数），则称函数在区间为x ()nxn N -*∈0x ≠1sin y x =R cos y x =R tan y x =,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭()f x D ()f x D单调递增（或单调递减），区间叫做的单调递增区间（或单调递减区间）； 2.函数的单调性：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上任意两个自变量、，当时，有（或），那么就说函数在区间上是增函数（或减函数）；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是增函数；或对于区间上任意两个自变量、，当时，有或时，称函数在区间上是减函数.3.基本初等函数的单调性：D ()y f x =()f x I I D 1x 2x 12x x <()()12f x f x <()()12f x f x >()f x D D 1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()f x D D 1x 2x 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦()f x D四、函数的奇偶性1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有（或），那么函数就叫做偶函数（或奇函数）；2.（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：⎤⎥⎦⎫⎪⎭()f x x()()f x f x-= ()f x-=()f x-()f x（2）在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或(偶函数))是否成立．利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数.（4）通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数． 五、函数的周期性1.周期函数：对于函数，如果存在一个非零实数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.2.最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做的最小正周期. 六、函数的零点 (1)函数零点的概念对于函数y ＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x 叫做函数y ＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点. （3）零点存在性定理如果函数y ＝f(x)满足：①在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y ＝f(x)在(a ，b)上存在零点，即存在c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根.()x (x)0f f ＋－＝()x (x)0f f -－＝±=±=⨯=⨯=⨯=y ()f x T x ()()f x T f x +=()f x T ()f x ()f x特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.七、常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0). (2)反比例函数模型：y ＝k x(k ≠0).(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0). (4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0，b ≠1，a ≠0). (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (a >0，a ≠1，m ≠0). 八、指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质【典例1】（2020·北京高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【典例2】（2019·江苏高考真题）函数y =_____.【典例3】（2013·全国高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【释疑解惑】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【典例4】（2017·全国高考真题（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.【典例5】（2015·福建高考真题（理））若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________． 【总结提升】关于分段函数的命题角度主要有：一是分段函数求值，二是分段函数与函数性质、方程、不等式结合.由于分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值、解方程（不等式）时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．【典例6】（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【典例7】（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x 12B ．y =2−xC ．y =log 12x D ．y =1x【典例8】（2020·全国高考真题（理））若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【典例9】（2018年天津卷文）已知a ∈R ，函数f (x )={x 2+2x +a −2，x ≤0，−x 2+2x −2a ，x >0． 若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是__________． 【总结提升】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反； （3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.*4.导数法：在区间D 上恒成立，则函数在区间D 上单调递增；在区间D 上恒成立，则函数在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较. 5.函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． （2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))． （3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．6.函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题）+=+=-=-=()f x -()f x 0k >()f x ()k f x ()0f x ≠0k <()f x ()k f x ()0f x ≠()0f x '≥()f x ()0f x '≤()f x(4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法． ③形如y ＝x ＋kx(k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋k x(k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋k x(k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．【典例10】（2018·全国高考真题（理））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=（ ）A.50-B.0C.2D.50【典例11】（2017·全国高考真题（理））函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【总结提升】1.函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.2.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f (0)=0”“偶函数一定有f (|x|)=f (x )”在解题中的应用.3.熟记4种常见抽象函数的周期 (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2|a |；(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2|a |；(4)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则T ＝2|a |.4.当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期. 【典例12】（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【总结提升】1.如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2.图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置； （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的周期性，判断图象的循环往复． （6）计算特殊函数值，区分细节.【典例13】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【总结提升】判断函数零点个数的方法： 1.直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.【典例14】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程()00,1xa x a a a --=>≠且有两个解，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．()01， C ．()0+∞， D ．ϕ【总结提升】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典例15】（2020·海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【总结提升】1.二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．2．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．3．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．4．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．5．对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．公司的利润选择直线上升或指数模型增长，而员工奖金选择对数模型增长．6.在解决对数（指数）函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．1.（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名 2．（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ）A ．116B ．19C ．18 D ．163.（2019·江苏高一月考）函数()()02f x x =-+ ）A.()2,+∞B.()1,-+∞C.()()1,22,-+∞D.R 4.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．15．（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．698.（2014·全国高考真题（文））奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．19.（2019·全国高三专题练习（文））已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()()f x f x -=，当12x ≤≤时，()21x f x =-，则(2017)f =（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．210．（2020·江苏省高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.11．（2018·全国高考真题（文））已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．12.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．。

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