连续复利的折现
《连续复利》课件
管理难度
实施连续复利策略需要投 资者具备一定的投资知识 和经验，以及对市场的敏 感度和判断力。
如何平衡连续复利的优缺点
制定合理的投资目标
投资者应该根据自身的财务状况和需求，制 定合理的投资目标，并确保目标的可实现性
。
分散投资
投资者应该定期评估投资组合的表现，并根 据市场变化和自身需求进行调整，以确保投
资组合与目标保持一致。
定期评估和调整
通过将资金分散投资到不同的资产类别和市 场，可以降低单一资产或市场波动对整体投 资组合的影响。
长期投资观念
连续复利策略强调长期回报，因此投资者应 该树立长期投资观念，避免短期市场波动的 影响。
05
连续复利的前景展望
连续复利的发展趋势
持续创新
随着科技的不断进步，连 续复利技术有望在更多领 域得到应用和创新。
连续复利的特点
连续复利具有时间连续性，即在极短的时间 间隔内，投资的收益会不断累积。
由于连续复利的时间连续性，它能够更好地 反映实际投资过程中收益的累积情况。
连续复利的计算公式与离散复利不同，其计 算公式更为复杂，需要使用微积分等高等数 学知识。
连续复利的应用场景
金融投资
连续复利可以用于计算金融投资的未来价值 ，例如股票、债券、基金等的未来价值。
3
资本资产定价模型（CAPM）
连续复利能够为资本资产定价模型提供更准确的 风险和回报参数，以帮助投资者制定有效的投资 组合策略。
04
连续复利的优缺点分析
连续复利的优点
高回报潜力
连续复利能够带来更高的回报， 尤其是在长期投资中。由于复利 的效应，资金随时间增长的速度
更快。
风险分散
通过将投资分散到多个资产类别或 市场中，连续复利策略有助于降低 投资风险，减少单一资产或市场波 动的影响。
连续复利法名词解释
连续复利法名词解释
连续复利法是一种利息计算方法，它基于连续复利的概念。
在
连续复利法中，利息在每个计息周期内以连续的方式计算和积累，
而不是按照离散的方式计算。
在传统的复利法中，利息通常在固定的时间间隔内计算，例如
每年、每半年或每季度。
而在连续复利法中，利息的计算是连续的，可以看作是无限小的时间间隔内进行计算。
连续复利法的数学模型可以用以下公式表示：
A = P e^(rt)。
其中，A代表最终的本利和，P代表本金，r代表年利率，t代
表投资的时间（单位为年），e代表自然对数的底。
连续复利法的优点是可以获得更准确的利息计算结果，尤其在
投资期限较长或利率较高的情况下。
它能够更好地反映资金的增长
情况，并且相对于离散复利法，可以获得更多的收益。
然而，连续复利法也存在一些限制和注意事项。
首先，它要求投资的时间必须是连续的，不能中途有提取或增加本金的行为。
其次，连续复利法的计算较为繁琐，需要使用指数函数和自然对数等数学工具。
在实际应用中，连续复利法常被用于金融领域，尤其是在复利计算和投资回报率的估算中。
它可以帮助投资者更好地了解资金的增长情况，并做出更明智的投资决策。
总而言之，连续复利法是一种利息计算方法，通过连续的方式计算和积累利息。
它可以提供更准确的利息计算结果，但需要注意其限制和使用条件。
连续复利计算公式
F G(F / A,i, n 1) G(F / A,i, n 2)
G(F / A,i,2) G(F / A,i,1)
G [(1 i) 1] nG
ii
i
将上式代入（a）式，得：
A2
{G i
[(1 i)n i
1]
nG}[ i (1
i i)n
] 1
G[1 i
(1
n i)n
] 1
G(
A
/
G,
i,
n)
式中 1
n
[ i
(1
i)n
] 1
称为等差分付等值系数，可用符
号（A/G, i, n）表示。
由公式（b）知：
F
G
[ (1
i)n
1
n]
G(F
/
G, i,
n)
ii
式中 1[(1 i)n 1 n] ii
称为等差分付终值系数，可用符号
图中：A1——某一定值； h——某一固定的百分比。
九、普通复利公式小结与应用
（一）小结 1. 互为倒数关系 2. 乘积关系
(P / A,i, n) (F / A,i, n)(P / F,i, n) (F / A,i, n) (P / A,i, n)(F / P,i, n)
3. 等额分付资本回收公式与等额分付偿债基金公 式有以下关系
等值资金是指在特定的利率下，在不同的时间上绝 对数额不同，而价值相等的若干资金。
影响资金等值的因素有三个，即资金额大小、资金 发生的时间和利率。
利用等值概念，将一个时点发生的资金金额按一定 利率换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金 等值计算。
连续复利计算公式
连续复利计算公式
利滚利的计算公式：fn = p ( 1 i )^n。
利滚利也叫复利计算法，基本解释如下：复
利计算法为把第一年的本金加利息一起算为第二年的本金，由第二年的本金加上第二年的
利息(本金乘以利率)为第三年的本金，依次叠加，有多少年就叠加多少次。
复利计算公式是计算前一期利息再生利息的问题，计入本金重复计息，即“利生利”，“利滚利”。
它的计算方法主要分为2种：一种是一次支付复利计算；另一种是等额多次
支付复利计算。
它的的特点就是：把上期末的本利和做为下一期的本金，在排序时每一期本金的数
额就是相同的。
主要应用于排序多次等额投资的本利终值和排序多次等额资金回笼值。
复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数
额是不同的。
复利的本息计算公式是：f=p（1+i）^n
乘数排序存有间断乘数和已连续乘数之分后。
按期（例如按年、半年、季、月或日等）排序乘数的方法为间断乘数；按瞬时排序乘数的方法为已连续乘数。
在实际应用领域中通
常使用间断乘数的计算方法。
(完整版)租金现值、终值、复利现值、终值系数表
(完整版)租金现值、终值、复利现值、终
值系数表
本文档旨在提供租金现值、终值、复利现值和终值系数的详细表格和计算方法。
以下是相关内容的介绍和示例。
租金现值
租金现值是指将未来期限内的租金流量折算到当前时点，以衡量其当前价值。
租金现值的计算公式如下：
租金现值 = 租金支付金额 / (1 + 折现率)^期限
下表是一些常见租金现值系数的示例，折现率设定为10%：
租金终值
租金终值是指将未来期限内的租金流量折算到期限结束时点，以衡量其未来价值。
租金终值的计算公式如下：
租金终值 = 租金支付金额 × (1 + 折现率)^期限
下表是一些常见租金终值系数的示例，折现率设定为10%：
复利现值和终值
复利现值和终值是将连续复利应用于租金流量的折现和计算。
复利现值的计算公式如下：
复利现值 = 租金支付金额 × (1 + 折现率)^期限
复利终值的计算公式如下：
复利终值 = 租金支付金额 × (1 + 折现率)^期限
下表是一些常见复利现值和终值系数的示例，折现率设定为10%：
以上是租金现值、终值、复利现值和终值系数的表格和计算方法。
使用相应的公式和系数，可以准确地计算租金的现值和终值。
复利现值系数表
复利现值系数表1、现值和终值的计算(1)单期中的终值。
计算公式为：FV=PV×(1+r)(2)单期中的现值。
计算公式为：PV=FV/(1+r)(3)多期中的终值。
计算公式为：FV=PV×(1+r)t(4)多期中的现值。
计算公式为：PV=FV/(1+r)t2、72法则金融学上的72法则是用作估计一定投资额倍增或减半所需要的时间的方法，即用72除以收益率或通胀率就可以得到固定一笔投资(钱)翻番或减半所需时间。
这个法则只适用于利率(或通货膨胀率)在一个合适的区间内的情况下，若利率太高则不适用。
3、有效利率的计算(1)复利期间与复利期间数量。
复利期间数量是指一年内计算复利的次数。
(2)有效年利率。
名义年利率r与有效年利率EAR之间的换算为：(3)连续复利。
当复利期间变得无限小的时候，相当于连续计算复利。
连续复利情况下，计算终值的一般公式是：FV=PV×ert 其中，PV为现值，r为年利率，t为按年计算的投资期间，e 为自然对数的底数，约等于2.7182。
4、复利现值复利现值一般指当要实现期末投资价值时，在给定的投资报酬率和投资期限的情况下，以复利计算出投资者在期初应投入的金额。
是复利终值的逆运算。
理论上，复利现值计算公式为：PV=FV/(1+r)n=FV×(1+r)-n其中，PV代表现值(期初投资金额);FV代表终值(期末获得投资价值);r 代表折现率、投资报酬率或通货膨胀率;n代表期数;(1+r)-n以上参数中，n与r为查表时对照的变量，复利现值系数表中已假定终值(FV)为1，现值(PV)就是复利现值系数。
5、普通年金终值普通年金终值是通过货币时间价值，在给定的回报率下，计算年金现金流的终值之和，以计算期期末为基准。
普通年金现金流一般都具备待客与连续这两个特征：每期的现金流入与流出的金额必须固定且出入方向一致，并保证在计算期内各期现金流量不能中断。
没有满足以上两个特征都不算是普通年金。
连续复利公式
年折现率越低，债券价格越高。
无论是债券剩余时间及债券付息方式， 还是债券票面利率，都是在债券发行前 已经决定的。但债券定价的折现率却是 由市场来决定的。
（二）影响债券价格的一般因素
1、影响债券价格的外部因素 （1）市场利率。 在市场总体利率水平上升时，债券的收益率水
t0
2、普通年金复利终值
终值
FV A 1 rn 1 r
3、预付年金单利终值
FV
An1
1
1
n r
4、预付年金复利终值 终值
FV A 1 r 1 rn 1 r
（三）年金现值计算 1、普通年金单利现值
n 1
（一）一次付息债券定价 1、贴现债券定价
P
M
1 r n
2、零息债券定价
仍然是上面公式，但n用年作单位时， 应为大于1的数。
3、一次还本付息债券定价
P
M
1
Mni
r n
（二）分次付息债券定价
1、一般定价公式
n C
M
P
t1 (1 r)t (1 r)n
一、收入资本化模型
任何金融产品的价格，在基本原理上， 都可以认为是由其未来所能提供的预期 收入以适当的折现率折现求得。这种方 法就称为收入资本化模型。
对于债券定价而言，两个最重要的数据 分别是各期现金流和折现率。
（一）现金流的确定
对于一张不附带任何选择权利的债券（可 称为无选择权债券），其现金流量由两部 分构成，一是各期的利息收入，二是到期 日的面值收入。
（3）社会经济发展状况。
在经济处于景气阶段，企业会扩大投资，需 要募集更多的资金，从而扩大债券的供给， 减少对债券的需求，结果会促使债券价格下 降；反之，在经济处于衰退阶段，企业就要 压缩投资，并寻求资金的出路，从而缩小债 券的供给，增加对债券的需求，结果会促使 债券价格上升。
复利折现公式
复利折现公式复利折现公式，听起来是不是有点让人头大？别急，让我用一种比较容易理解的方式来给您讲讲。
咱先来说说啥是复利。
比如说，您把一笔钱存到银行，每年能拿到一定的利息。
如果这利息每年都加到本金里，然后下一年继续按照新的本金计算利息，这就是复利。
就好比您种了一棵摇钱树，每年结的果子都变成新的种子，然后长出更多的果子。
那啥又是折现呢？简单说，就是把未来的钱换算成现在的价值。
比如说，您知道未来某一年会收到一笔钱，但这笔钱在现在值多少呢？这就需要用到折现公式。
复利折现公式就像是一个神奇的魔法，能帮我们算出未来的钱在现在到底值多少。
我记得之前有个学生，特别聪明但对这概念就是转不过弯。
我就给他举了个例子。
假设您现在有 100 块钱，年利率是 10%，那第一年结束您就有 110 块（100 + 100×10% = 110）。
第二年呢，本金就变成 110 块，利息就是 11 块（110×10% = 11），所以第二年结束您就有 121 块（110 + 11 = 121）。
这就是复利的威力。
那如果有人跟您说，三年后会给您 200 块，那这 200 块在现在值多少呢？这就要用到折现公式啦。
我们假设折现率也是 10%。
第一年结束的 1 块钱，在现在值 1÷(1 + 10%) = 0.909 块。
第二年结束的 1 块钱，在现在值 1÷(1 + 10%)² = 0.826 块。
第三年结束的 1 块钱，在现在值 1÷(1 + 10%)³ = 0.751 块。
所以三年后那 200 块，在现在就值 200×0.751 = 150.2 块。
这个学生听完后，眼睛一下子亮了，拍着脑袋说：“哎呀老师，我懂了！”看着他恍然大悟的样子，我心里那叫一个高兴。
在实际生活中，复利折现公式的用处可大了。
比如说您在考虑投资一个项目，未来几年能有收益，您就得用这个公式算算，现在投入的钱划不划算。
连续复利下的现值计算公式pvanern
连续复利下的现值计算公式pvanern 连续复利下的现值计算公式为：
PV = A / e^(r*t)
其中，PV是现值，A是未来价值（或终值），r是年利率，t是时间（以年为单位），e是自然对数的底（约等于2.71828）。
在连续复利下，资金按照连续变化的利息率进行复利计算。
这种计算方法可以更准确地反映资金在连续时间的增长情况。
拓展：连续复利下的现值计算公式是一种强大的数学工具，可以用于计算复利下的资金增长情况，比如投资回报、贷款利息等。
使用这个公式可以更准确地预测未来的资金价值，帮助人们做出更理性的投资和贷款决策。
同时，了解连续复利下的现值计算公式还可以帮助人们更深入地理解复利的概念，增强财务知识。
指数折现模型
指数折现模型
指数折现模型（Exponential Discounting Model）在经济学、金融学和行为经济学中，通常指的是时间偏好理论中的一个概念，它描述了个体或市场如何对不同时间点的收益进行贴现。
在该模型中，未来的现金流会被以一个固定贴现率连续地进行折现，随着时间的推移，每期现金流的价值按照指数函数衰减。
在股利折现模型（DDM）的框架下，并没有直接称为“指数折现模型”的特定变种，但DDM的基本思想是将公司未来派发的所有股利按一定的贴现率折现到当前价值来计算股票的内在价值。
如果股利增长遵循某种模式（如常数增长、阶段性增长或随机增长），每一期的股利会按照连续复利的方式进行折现，这在数学形式上类似于指数折现的过程。
戈登增长模型（Gordon Growth Model）是最简单的一种DDM形式，其中假设股利永久性地以一个固定的年增长率g增长，而投资者要求的回报率r作为贴现率。
在这种情况下，股票的现值（P0）可以通过以下公式计算：
\[ P_0 = \frac{D_1}{r - g} \]
其中：
- \( P_0 \) 是股票的现值，
- \( D_1 \) 是下一期预期的股息金额，
- r 是投资者要求的必要收益率（即贴现率），
- g 是股息的永续增长率。
尽管名称不完全相同，但在处理连续且恒定增长的股息流时，戈登模型体现了一种指数折现的思想。
连续复利的折现
t , 0 ≤ t ≤ 5 ， 0, t > 5
7.10 年後的 200 萬元，相當於現在多少元？ (設年利率 r = 6% ，每月複利一次) 8.10 年後的 200 萬元，可折現為多少元？(設年利率 r = 6% )
依此類推， 依此類推， 第120個月存入的ｘ 個月存入的ｘ元， 共1次複利， 次複利，可得 x a 元。 故10年後可得本利和為
x a120 + x a119 + LL + x a
= x a (1 + a + a 2 + LL + a119 )
a120 − 1 r =xa( ) , a = 1+ 。 a −1 12
M (t ) = M (0) e r t
⇒
M (10) = y e10 r
Ans. 應付 y e10 r 元。
萬元，可折現為多少元？ 可折現為多少元？ (設年利率為ｒ 【例6】 10年後的100萬元， 設年利率為ｒ) [Sol.]
6 依題意， 依題意， M (10) = 10
, t = 10 , 連續複利模式， 連續複利模式， 由(4’)知
現值 = ∫0 e
0
∞
100
20
, f (t ) =
−r t
f (t ) dt
1 t 20
=∫ e
∞
−
⋅
1 dt 20
1
1 p − 20 t = lim e dt p →∞ 20 ∫0 1 1 d (− t) 1 p − 20 t 20 = lim e p →∞ 20 ∫0 1 − 20 1 − t p = lim ( −1) e 20 p →∞ 0
连续复利
* 1
对比每年一次计息和每年n次计息，不难看出 •后者的年利率实质上增大了 •后者的年利率随着n的增大是单调增加的 n r •但后者的增大时有上界的 lim 1 er
n
n
连续复利、投资问题
• 现有资金A元，若按年利率r作连续复利计算，则t年末的 本利和为 Aert 元 →终值 • 若t年末要得到资金A元，按上述同一方式计算连续复利， 不难算得，现在需要投入 Ae rt 元 →现值 • 经营中的企业，收入和支出这些资金流转的事经常发生， 为计算方便起见，其收入或支出常常可以近似看成是连续 发生的，我们称之为收入流或支出流 将t时刻单位时间的收入记为f (t )，则从某个时刻t0开始，
连续复利、投资问题
现有一笔资金A0，该项资金的年利率为r，若把它存入银行， A1 A0 (1 r ) 则一年末的本利和为 k 年末的本利和为
Ak A0 (1 r )k (k 1, 2,)
如果一年分n期计息，每期利率r/n，则一年末的本息和为
r n A A0 (1 ) n r kn * k 年末的本利和为 Ak A0 (1 ) (k 1, 2,) n
到时刻T的总收入为 f (t )dt
连续复利的现值计算公式
连续复利的现值计算公式连续复利计算公式F=P*e^rct为复利记息F：连续复利终值，P：本金，rc：连续复利利率，t：相应利率获取时间的整数倍(以年为单位)。
连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下对应的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。
复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息。
什么是复利？复利是指在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式，也即通常所说的"利说利"，"利滚利"。
复利计算的特点是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。
复利现值是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现今必须投入的本金。
所谓复利也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法。
复利现值和和复利终值是什么意思？复利现值是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现今必须投入的本金。
所谓复利也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法；复利终值是指本金在约定的期限内获得利息后，将利息加入本金再计利息，逐期滚算到约定期末的本金之和。
也就是说在期初存入A，以i为利率，存n期后的本金与利息之和。
公式为F=A*(1+i)^n。
例如：本金为50000元，利率或者投资回报率为3%，投资年限为30年，那么，30年后所获得的利息收入，按复利计算公式来计算本利和（终值）是50000×（1+3%）^30。
复利、折现、年金
复利（Compound Interest）复利是指在每经过一个计息期后，都要将所剩利息加入本金，以计算下期的利息。
这样，在每一个计息期，上一个计息期的利息都将成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。
从定义上可以看出复利的要素有三个：初始本金、报酬率和时间。
复利的计算公式是：F = P(1 + i)nI = P[(1 + i)n− 1]其中以符号I代表利息，P代表本金，n代表时期，i代表利率，F代表本利和。
由于，通胀率和利率密切关联，就像是一个硬币的正反两面，所以，复利终值的计算公式也可以用以计算某一特定资金在不同年份的实际价值。
只需将公式中的利率换成通胀率即可。
复利折旧法(compound interest method of depreciation)复利折旧法又称年金折旧法，是指以固定资产的成本及其投资利息之和作为计提折旧的对象，每年提取的折旧费金额相等，如同年金一样。
复利折旧法的分类1.偿还基金法此法主要用于借、贷款情况，且偿还时分期、复利计算。
当偿还年限与设备折旧年限相同时，借贷款及其利息将通过设备折旧费用逐年还清。
具体计算方法；在设备最佳使用年限内，每年按定额折旧法提取折旧基金，并按一定的利率计算利息，在达到设备的预计使用年限时，将逐年的折旧费用及利息累积起来，正好等于设备的原值减残值，如果每年计提折旧费用为A，利率为i，设备预计使用年限为T，则到设备报废时每年提取的折旧费用与利息之和分别为：第一年为A(1 + i)T– 1第二年为A(1 + i)T– 2……第T – 1年为A(1 + i)第T 年为A此时，即式中：A——每年提取的折旧额；K0 ——设备原值；S——设备残值。
2.年金法也称积金法，它是用现值表示设备使用期内历年的折旧额，即把设备使用期内历年提取的折旧费用都换算成设备投资时的价值。
若每年计提的折旧费为A，则：第一年计提折旧费的现值为：第二年计提折旧费的现值为：……第T年计提折旧费的现值为：设备残值的现值为：则求出历年的折旧费用后，再乘以各年的贴现率，可得到历年折旧费的现值。
复利现值名词解释
复利现值名词解释复利现值是指以固定利率进行投资，并将现金流量在不同时间点收到时所得到的现金流量进行折现的过程。
在复利现值计算中，将每一笔现金流量按照给定的利率进行单利计算，并将计算出的结果进行累加，即可得到所有现金流量的总现值。
复利现值的计算公式为：PV = FV / (1 + r)^n其中，PV表示现值，FV表示未来的现金流，r表示折现率，n 表示现金流发生的时间。
在复利现值计算中，折现率是一个重要的参数，它代表了投资的风险和机会成本。
通常情况下，折现率越高，表示对未来收益的预期越低，相应的现值也会较低。
复利现值的计算应用广泛，特别是在金融领域中。
它可以用于评估投资项目的盈利能力，进行资本预算决策，以及计算债券、股票等金融工具的价格。
例如，假设有一个投资项目，预计在未来5年分别收到1000元、2000元、3000元、4000元和5000元的现金流。
如果我们假定折现率为5%，则可以通过复利现值计算得到每一笔现金流的现值，并将它们相加得到总现值。
现值1 = 1000 / (1 + 0.05)^1 ≈ 952.38元现值2 = 2000 / (1 + 0.05)^2 ≈ 1809.92元现值3 = 3000 / (1 + 0.05)^3 ≈ 2597.07元现值4 = 4000 / (1 + 0.05)^4 ≈ 3485.63元现值5 = 5000 / (1 + 0.05)^5 ≈ 4394.19元总现值 = 现值1 + 现值2 + 现值3 + 现值4 + 现值5 ≈ 13239.19元通过复利现值的计算，可以评估该投资项目的价值，并与投资成本进行比较，从而做出是否投资的决策。
综上所述，复利现值是一种将未来现金流折现到今天的计算方法，它可以帮助我们评估投资项目的价值，并进行合理的资本决策。
折现系数
折现系数又称一次偿付现值因素或复利现值系数，指根据折现率和年数计算出来的一个货币单位在不同时间的现值。
在折现率不变的情况下，一个货币单位在n年的折现系数为：
R=1/(1+i)^n (注：此处n为(1+i)的上标)
式中：
R——折现系数；
i——折现率；
n——年数。
折现系数和复利终值系数互为倒数,是折现率和年数两者的递减函数。
在实际工作中,折现系数可由“折现系数表”查得。
折现系数是一个货币单位复利值的倒数，也是折现系数和年数两者的递减函数。
如，1元人民币,按10%的复利率计算，10年后的复利值为2.594元。
因此，10年后1元人民币的价值，就是1/2.594=0.386元。
这就是折现率为10%的情况下，把10年后的货币折成现值的折现系数。
将各年的净现金流量乘以折现系数即得现值。
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−r t
f (t ) ∆t ，
所有現金流入， 經折現後應為 因此在時間 t ∈ [0, a ] 的時間內，所有現金流入，
(6)
即
∫0
a
e − r t f (t ) dt ，
a
−r t 目前價值 = ∫0 e f (t ) dt 。
【例7】 設某項投資預期可造成如下的現金流入速率
M (0) = M (t ) e − r t
= 10 6 e −10 r
Ans. 現值為 10 6 e −10 r 元。
在管理決策中， 在管理決策中， 常會預設或估算某項投資， 常會預設或估算某項投資， 可能造成未來現金流入的情況， 可能造成未來現金流入的情況， 並依此折現， 以作為決策之參考。 並依此折現， 以作為決策之參考。 為求計算之簡化， 為求計算之簡化， 常使用一(片段)連續函數 f (t ) ， 來表示不同時點現金流入的速率， 來表示不同時點現金流入的速率， 亦即在某個時點ｔ前後極短時間 ∆ t 內，
(4)
(4’)
M (t ) = M (0) e r t ， t ≥ 0
⇒
。
。
M (0) = M (t ) e − r t ， t ≥ 0
由於 M (0) 常稱為目前價值或現值，
故由 M (t ) 反求 M (0) 之過程常稱為“折現”。
[註] 折現一律為連續複利模式。 折現一律為連續複利模式。
設你向銀行貸款ｙ元，10年後一次償還時 ，你應付多少元。 你應付多少元。) 【例5】 在例1中 (設你向銀行貸款ｙ 若改為連續複利模式， 若改為連續複利模式，則應償還為多少元。 則應償還為多少元。 (設年利率為ｒ 設年利率為ｒ) [Sol.] 依題意， 依題意， M (0) = y 連續複利模式， 由(4)知 , t = 10 , 連續複利模式，
ya
⇒
120
a120 − 1 =xa( ), a −1
a = 1+
r 。 12
a119 (a − 1) x = y ⋅ 120 a −1
a119 (a − 1) Ans. y ⋅ 元 a120 − 1
( a = 1+
r ) 12
接著我們來考慮第二種模式， 接著我們來考慮第二種模式， 即“連續複利模式”。 由(2)知，
M (t ) = M (0) e r t
⇒
M (10) = y e10 r
Ans. 應付 y e10 r 元。
萬元，可折現為多少元？ 可折現為多少元？ (設年利率為ｒ 【例6】 10年後的100萬元， 設年利率為ｒ) [Sol.]
6 依題意， 依題意， M (10) = 10
, t = 10 , 連續複利模式， 連續複利模式， 由(4’)知
§ 6 - 4 複利與折現
為了同時處理不同時點的金錢， 也為了反映金錢的時間價值，我們通常必須假設， 為了同時處理不同時點的金錢， 也為了反映金錢的時間價值， 金錢遵循一種合理的價值模式， 金錢遵循一種合理的價值模式， 以作為計算與比較的基礎。 以作為計算與比較的基礎。 最常見的模式之ㄧ 最常見的模式之ㄧ為 我們的意思是指 “依年利率ｒ， 依年利率ｒ，每年複利 ｒ，每年複利ｎ 每年複利ｎ次”，
若將依開始 (t = 0) 的金額計作 M (0) ， 經ｔ年複利後，記為 M (t ) ， t ≥ 0 。
(1)
(2)
r M (t ) = M (0)(1 + ) n t，t ≥ 0 。 n 如果令每年複利的次數ｎ 如果令每年複利的次數ｎ逼近無窮大(∞)， 稱為“連續複利模式”， 意思是指 r M (t ) = lim[ M (0)(1 + ) n t ] n →∞ n rt t ≥ 0 。 = M (0) e ,
t <3 0, f (t ) = 100 t , 3 ≤ t ≤ 10 , 依年利率5％之連續複利計算， 之連續複利計算， 其目前價值為何？ 其目前價值為何？ 0, t > 10 [Sol.] 連續複利模式， 由(6)知 依題意， 依題意， t ∈ 3 ,10 , r = 5 = 1 , f (t ) = 100 t , 連續複利模式， 100 20
現值 = ∫0 e
0
∞
100
20
, f (t ) =
−r t
f (t ) dt
1 t 20
=∫ e
∞
−
⋅
1 dt 20
1
1 p − 20 t = lim e dt p →∞ 20 ∫0 1 1 d (− t) 1 p − 20 t 20 = lim e p →∞ 20 ∫0 1 − 20 1 − t p = lim ( −1) e 20 p →∞ 0
我們先來說明第一種模式， 我們先來說明第一種模式， 底下【 底下【例1】至【例4】均有共同的假設如下： 均有共同的假設如下： 年利率為ｒ， 年利率為ｒ， 每年複利12次 (即每月複利一次)，
並令
1+
r r = 1+ = a 。 n 12
此時(1)可重新表為
(3)
M (t ) = M (0) a12 t ， t ≥ 0
依年利率 r = 5% 之連續複利計算，其目前價值為何？ 2 請問 15 年後的ㄧ百萬元，相當於現在的多少錢？ (設年利率為 r = 6% ，每年複利 12 次) 3.設你每月存入銀行 5000 元，則 10 年後，應可領回為多少錢？ (設年利率為 r = 6% ，每年複利 12 次) 4.你向銀行貸款 100 萬，按月償還相同金額，10 年償畢，每月應付多少 元？ (依年利率 r = 6% ，每月複利一次) 5.設某項投資預期可造成如下的現金流入速率 f (t ) = 求現值為何？(依年利率 r = 5% )
[
]
目前價值 = ∫3 e
10
−r t
f (t ) dt =
− 1 t 20
∫3
10
−
e
1 t 20
⋅100 t dt
1
= 100 ∫
10
3
− t 10 d (e ) t = −2000 ∫ t d (e 20 ) 3 −1 20
−
= −2000 (t e
1 t 20
1 t) 10 20 = −2000 [(10 e − 3 e ) − ∫ e ] 3 1 − −3 1 1 − t 10 20 − = −2000 [(10 e 2 − 3 e 20 ) + 20e 20 ] 3
r a120 − 1 Ans. 可領回 x a ( ) 元。 a = 1 + 。 a −1 12
設你向銀行貸款ｙ元，10年後一次償還時， 年後一次償還時，你應付多少元。 你應付多少元。) 【例4】 在例1中 (設你向銀行貸款ｙ 若改為按月攤還固金金額 x 元， 10年償畢， 年償畢， 則 x 應為多少元。 應為多少元。 [Sol.] 由例1與例3可知 (設年利率為ｒ， 設年利率為ｒ，每年複利 ｒ，每年複利12次)
−3 20
− 30 e ) ≈ 3200.7
Ans.
目前價值為 2000 ( 23 e
−3 20
− 30 e ) 單位
−
1 2
【例8】 在例7中， 設 f (t ) =
5 ，t 100
重算現值。 ≥ 0 ， 重算現值。
5 1 = 100 20 , 連續複利模式， 連續複利模式， 由(6)知
[Sol.] 5 1 = 依題意， 依題意， t ≥ 0 , r =
= y a120
,
a = 1+
r 。 12
Ans.
應付 y a
120
r 。 a = 1 + 元。 12
年後的ㄧ百萬元， 百萬元，相當於現在的多少錢？ 相當於現在的多少錢？ 【例2】 請問10年後的ㄧ [Sol.] 依題意， 依題意，M (10) = 10
6
(設年利率為ｒ， 設年利率為ｒ，每年複利 ｒ，每年複利12次)
, t = 10
, 由(3)知
⇒ ⇒
r M (10) = M (0)(1 + ) n t n r 12⋅10 6 10 = M (0) (1 + ) 12
M (0) = 10 6 (1 + r −120 ) 12
= 10 6 a −120
, a = 1+ r 。
12
Ans.
相當於現在的
10 6 a −120 元。
依此類推， 依此類推， 第120個月存入的ｘ 個月存入的ｘ元， 共1次複利， 次複利，可得 x a 元。 故10年後可得本利和為
x a120 + x a119 + LL + x a
= x a (1 + a + a 2 + LL + a119 )
a120 − 1 r =xa( ) , a = 1+ 。 a −1 12
。
年後一次償還時，你應付多少元？ 你應付多少元？ 【例l】 設你向銀行貸款ｙ 設你向銀行貸款ｙ元， 10年後一次償還時， [Sol.] 依題意， 依題意， M (0) = y (設年利率為ｒ， 設年利率為ｒ，每年複利 ｒ，每年複利12次)
, t = 10 , 由(3)知
r M (10) = M (0)(1 + ) n t n r 12⋅10 = y (1 + ) 12 r = y (1 + )120 12
0 , 0 ≤ t ≤ 4 6.設某項投資預期可造成如下的現金流入速率 f (t ) = 100 , 4 ≤ t ≤ 10 ， 0 , t > 10 求現值為何？(依年利率 r = 5% )
t , 0 ≤ t ≤ 5 ， 0, t > 5