概率论与数理统计的公式及定义总结
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式:1.基本概率公式:对于随机试验E,事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式:对于事件A和事件B,若P(B)>,则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A,B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式:对于互不相容事件A1,A2,...,An,它们的和事件为全样本空间S,且概率P(Ai)>,则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B,Ai))。
4.贝叶斯公式:对于互不相容事件A1,A2,...,An,它们的和事件为全样本空间S,且概率P(Ai)>,则对于任意事件B,有P(Ai,B)=(P(B,Ai)×P(Ai))/Σ(P(B,Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式:1.期望:随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi)),其中Xi为随机变量X的取值,P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差:随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi)),其中Xi为随机变量X的取值,E(X)为随机变量X的期望,P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差:随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))),其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数:随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y)),其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差,Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理:1.大数定律:对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn,它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n,当n趋向于无穷大时,X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支,被广泛应用于各个领域。
无论是在学术研究还是实际应用中,熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。
本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全,帮助您更好地理解和应用这两门学科。
一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义:P(A) = N(A) / N(S),其中P(A)表示事件A发生的概率,N(A)代表事件A的样本点个数,N(S)表示样本空间中的样本点总数。
- 加法法则:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B),其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率,P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
- 乘法法则:P(A∩B) = P(A) × P(B|A),其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下,事件B发生的概率。
2. 条件概率公式- 条件概率的定义:P(A|B) = P(A∩B) / P(B),其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
- 全概率公式:P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)],其中Bi为样本空间的一个划分,P(Bi)表示事件Bi发生的概率,P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下,事件A发生的概率。
3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义:P(A∩B) = P(A) × P(B),即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
- 事件的相互独立:若对于任意的事件A1,A2,...,An,有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An),则称事件A1,A2,...,An相互独立。
4. 随机变量- 随机变量的定义:随机变量X是样本空间到实数集的映射。
- 随机变量的分布函数:F(x) = P(X≤x),表示随机变量X小于等于x的概率。
- 随机变量的概率密度函数(连续型随机变量):f(x)是非负函数,且对于任意实数区间[a, b],有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。
大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质FbF(aba<≤=P-X)(b()()bFX()P=≤)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数:⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数:⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量:∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量:⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则:)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差:)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则:)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差:)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则:0),(=Y X Cov 6、相关系数:)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则:0=XYρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<- 2、大数定律:若n X X 1相互独立且∞→n 时,∑∑==−→−ni iDni i X E nX n 11)(11(1)若n X X 1相互独立,2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则:∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布,且i i X E μ=)(则当∞→n 时:μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理:均值为μ,方差为02>σ的独立同分布时,当n 充分大时有:)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理:随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有:⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算:)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b X a P nk knk k -Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值:∑==ni i X n X 11(2)样本方差:∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差:∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距: 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距:∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量:设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ,将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列,得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ,记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ,则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
概率论与数理统计 公式
概率论与数理统计公式概率论与数理统计是现代科学与工程领域中应用最广泛的数学分支之一。
概率论与数理统计涉及众多的公式和理论,是数据分析、预测和决策的重要工具。
在此,我们将介绍概率论与数理统计中常用的公式。
1. 概率计算公式概率计算是概率论中的基础。
以下是概率的定义和概率计算公式。
定义:事件A在随机试验中出现的可能性称为概率P(A)。
公式1:若事件A和事件B相互独立,则P(A∩B)=P(A)×P(B)。
公式2:若事件A和事件B不相互独立,则P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
公式3:若事件A和事件B互为对立事件,则P(A)+P(B)=1 。
公式4:全概率公式:P(B)=∑P(Ai)×P(B|Ai) 。
2. 随机变量和概率分布随机变量是概率论中的重要概念。
以下是随机变量和概率分布函数的定义和公式。
定义1:在随机试验中,对每个样本点都有一个对应的实数值,则这个实数值称为随机变量X。
定义2:X的概率分布函数F(x)定义为:F(x)=P(X≤x)。
公式5:二项分布的概率分布函数为:P(X=k)=C(n,k)p^k*q^(n-k) (其中n表示试验次数,k表示事件A 发生的次数,p表示单次事件A发生的概率,q=1-p )。
公式6:泊松分布的概率分布函数为:P(X=k)=(λ^k/k!)×e^-λ (其中λ是一个正实数)。
公式7:正态分布的概率分布函数为:f(x)=(1/√(2π)σ)×e^-(x-μ)²/(2σ²) (其中μ是分布的均值,σ²是分布的方差)。
3. 样本描述和参数估计样本描述和参数估计是数理统计中的基础。
以下是样本描述和参数估计的公式。
公式8:样本的均值:X=(x1+x2+…+xn)/n 。
公式9:样本的方差:S²=[(x1-X)²+(x2-X)²+…+(xn-X)²]/(n-1) 。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
第一章随机事件与概率
第二章随机变量及其概率分布
第三章多维随机变量及其概率分布
第四章随机变量的数字特征
E(X)=
E(Y)=E[g(X)]=
E(X)=D(X)=
第五章大数定律及中心极限定理
第六章统计量及其抽样分布
第七章 参数估计
包含所要估计的未知参数(其中它与未知参数无关。
)的概率密度的对称性(见
未知时因为
,,,,;)]n x θ'时取最大值则取=。
的无偏估计,否则称
则称有效,即方差小参数估计越优。
,不等式.
不仅给出了统计量(对于已知时的置信区间),其中已知,而未
的置信度
可作为
采用
将上式开方即可得标准差
第八章假设检验
及备择假设
与
)分布,
的叫接受域,另一个的叫拒绝域,记为
则知小概率事件发生了,拒绝,接受
拒绝
时,
时,
时,
接受
落入接受域内时,则接受,拒绝
内,则拒绝,接受
未落在拒绝域内,则接受,拒绝
是从正态总体中抽取的一个样
为已知数,提出假设
引入统计量
相应的拒绝域
中抽取的一个样
本,其中
,其中
构造统计量
表求分位数
则拒绝域
未知,
本,欲检验假设:,其中
,可查
,即
若统计量,接受
若统计量,拒绝
第九章回归分析。
概率论数理统计公式整理
概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件,S为样本空间,则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S),其中n(E)表示事件E中元素的个数,n(S)表示样本空间S中元素的总数。
2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),其中A,B为两个事件。
-条件概率公式:P(A,B)=P(A∩B)/P(B),其中A,B为两个事件,且P(B)≠0。
-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B,A),其中A,B为两个事件。
3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件,并且它们构成了对S的一个完全划分,即Bi∩Bj=∅(i≠j),且B1∪B2∪...∪Bn=S,则对于任意事件A,有P(A)=ΣP(A,Bi)P(Bi),其中i=1,2,...,n。
-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件,并且它们构成了对S的一个完全划分,即Bi∩Bj=∅(i≠j),且B1∪B2∪...∪Bn=S,则对于任意事件A,有P(Bi,A)=P(A,Bi)P(Bi)/ΣP(A,Bj)P(Bj),其中i=1,2,...,n。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x),其中x为随机变量X的取值,p(x)为概率质量函数。
- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0,且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi),其中xi为随机变量X的取值,p(xi)为X取值为xi的概率。
- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。
3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)eik则有P(A)=k/n,其中n为样本空间中元素的个数。
在概率论中,样本空间和随机事件是基本概念。
如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作A⊂B。
当A和B中至少有一个发生时,称A∪B为事件A和事件B的和事件。
当A和B同时发生时,称A∩B为事件A和事件B的积事件。
当A发生、B不发生时,称A-B为事件A和事件B的差事件。
如果A和B互不相容,即A∩B=∅,则称A和B是互不相容的,或互斥的,基本事件是两两互不相容的。
如果A∪B=S且A∩B=∅,则称事件A和事件B互为逆事件,又称事件A和事件B互为对立事件。
在概率论中,还有一些运算规则。
交换律指A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;结合律指(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);分配律指A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);德摩根律指A∪B=A∩B,A∩B=A∪B。
频率与概率是概率论的重要概念。
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数,比值nAn称为事件A发生的频率。
概率指对于随机试验E的每一事件A赋予一个实数P(A),称为事件的概率。
概率P(A)满足非负性,即对于每一个事件A,0≤P(A)≤1;规范性,即对于必然事件S,P(S)=1;可列可加性,即设A1,A2,…,An是两两互不相容的事件,则有P(∪Ai)=∑P(Ai)(n可以取∞)。
概率还有一些重要性质,包括P(∅)=0,P(∪Ai)=∑P(Ai)(n可以取∞),如果A⊂B,则P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)≤1,P(A)=1-P(A'),以及P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
等可能概型又称为古典概型,是指试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同。
如果事件A 包含k个基本事件,即A={e1}∪{e2}∪…∪{ek},则有P(A)=k/n,其中n为样本空间中元素的个数。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e , (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地,当 A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系:P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式:从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式:从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k,(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量,数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量,数学期望定义� E(a)=a ,其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X),其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y),X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时:标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0,其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X),其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时,D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1),则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布:V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布:正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计:参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量,并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域,若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设,否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计的公式及定义总结
概率论与数理统计是考研数学重要组成部分。
概率论与数理统计非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。
重要基本知识要点如下:一、考点分析1.随机事件和概率,包括样本空间与随机事件;概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式);条件概率与概率的乘法公式;事件之间的关系与运算(含事件的独立性);全概公式与贝叶斯公式;伯努利概型。
2.随机变量及其概率分布,包括随机变量的概念及分类;离散型随机变量概率分布及其性质;连续型随机变量概率密度及其性质;随机变量分布函数及其性质;常见分布;随机变量函数的分布。
3.二维随机变量及其概率分布,包括多维随机变量的概念及分类;二维离散型随机变量联合概率分布及其性质;二维连续型随机变量联合概率密度及其性质;二维随机变量联合分布函数及其性质;二维随机变量的边缘分布和条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布。
4.随机变量的数字特征,随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数。
5.大数定律和中心极限定理,以及切比雪夫不等式。
6.数理统计基本概念,包括总体与样本;样本函数与统计量;样本分布函数和样本矩。
7.参数估计,包括点估计;估计量的优良性;区间估计。
8.假设检验,包括假设检验的基本概念;单正态总体和双正态总体的均值和方差的假设检验。
二、解题思路1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率,则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时,用对立事件的概率公式。
2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验,则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式。
3.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生,则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。
关键:寻找完备事件组。
4.若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0,1)来处理有关问题。
5.求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题,应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间,再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限,后者为上限,而的求法类似。
(完整版)概率论与数理统计公式整理(超全版)
(17)伯努利概型
我们作了 次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果, 发生或 不发生;
次试验是重复进行的,即 发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容, ,
2° ,
则有
。
(16)贝叶斯公式
设事件 , ,…, 及 满足
1° , ,…, 两两互不相容, >0, 1,2,…, ,
2° , ,
则
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
… …… … 。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ,则称事件 、 是相互独立的。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:
。
显然分布律应满足下列条件:
(1) , , (2) 。
(2)连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有
,
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
概率论与数理统计知识点总结
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
… …… … 。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ,则称事件 、 是相互独立的。
若事件 、 相互独立,且 ,则有
若事件 、 相互独立,则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件?与任何事件都相互独立。
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:
。
显然分布律应满足下列条件:
(1) , , (2) 。
(2)连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有
, ,
其中 、 为常数,则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 。
具有如下性质:
1° 的图形是关于 对称的;
2°当 时, 为最大值;
若 ,则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布,记为 ,其密度函数记为
, ,
分布函数为
。
概率论与数理统计总结1000字
概率论与数理统计总结1000字概率论与数理统计是数学中非常重要的分支之一,它们都是以概率为基础的科学。
概率是指某事件发生的可能性,而数理统计则是研究如何从样本中得出总体的信息。
概率论与数理统计在许多领域都有广泛的应用,如金融、医学、生物学、社会科学等。
本文将对概率论和数理统计的概念、公式、方法和应用进行总结。
概率论概率论主要研究随机事件的概率分布以及事件之间的关系。
以下是一些常见的概念和公式:1. 随机事件:具有随机性质的事件称为随机事件,例如掷骰子、抽扑克牌等。
2. 样本空间:所有可能结果的集合称为样本空间,例如掷一个骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。
3. 事件:样本空间的子集称为事件,例如掷一个骰子得到偶数的事件为{2,4,6}。
4. 概率:事件发生的可能性称为概率,通常用P表示。
如果一个事件有n种可能的结果,其中有m种结果符合事件的定义,那么事件发生的概率为P=m/n。
5. 条件概率:如果事件A已经发生,那么事件B发生的可能性称为条件概率,通常用P(B|A)表示。
条件概率的公式为P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
6. 独立事件:如果事件A和事件B的发生互不影响,那么它们是独立事件,满足P(A∩B)=P(A)P(B)。
7. 贝叶斯定理:根据条件概率的公式和独立事件的公式,可以得到贝叶斯定理。
贝叶斯定理的公式为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B),其中P(A|B)是事件B发生时A发生的概率。
数理统计数理统计主要研究如何从样本中得出总体的信息,例如总体的平均值、方差、标准差等。
以下是一些常见的概念和公式:1. 总体和样本:研究对象的所有个体构成的集合称为总体,而从总体中抽取的一部分个体构成的集合称为样本。
2. 样本均值和总体均值:样本中所有个体的平均值称为样本均值,总体中所有个体的平均值称为总体均值,通常用μ表示。
3. 样本方差和总体方差:样本中所有个体与样本均值的差的平方和除以样本大小称为样本方差,总体中所有个体与总体均值的差的平方和除以总体大小称为总体方差,通常用σ表示。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论1.随机试验和样本空间:随机试验是具有不确定性的试验,其结果有多个可能的取值。
样本空间是随机试验所有可能结果的集合。
2.事件及其运算:事件是样本空间中满足一定条件的结果的集合。
事件之间可以进行并、交、补等运算。
3.概率的定义和性质:概率是描述随机事件发生可能性的数值。
概率具有非负性、规范性和可列可加性等性质。
4.条件概率和独立性:条件概率是在已知一事件发生的条件下,另一事件发生的概率。
事件独立表示两个事件之间的发生没有相互关系。
5.全概率公式和贝叶斯公式:全概率公式是一种计算事件概率的方法,将事件分解成互斥的多个事件的概率之和。
贝叶斯公式是一种用于更新事件概率的方法。
6.随机变量和分布函数:随机变量是样本空间到实数集的映射,用来描述试验结果的数值特征。
分布函数是随机变量取值在一点及其左侧的概率。
7.常用概率分布:常见的概率分布包括离散型分布(如二项分布、泊松分布)和连续型分布(如正态分布、指数分布)。
8.数学期望和方差:数学期望是随机变量的平均值,用于描述随机变量的中心位置。
方差是随机变量离均值的平均距离,用于描述随机变量的分散程度。
二、数理统计1.统计量和抽样分布:统计量是对样本数据进行总结和分析的函数。
抽样分布是统计量的概率分布,用于推断总体参数。
2.估计和点估计:估计是利用样本数据对总体参数进行推断。
点估计是利用样本数据得到总体参数的一个具体数值。
3.估计量的性质和评估方法:估计量的性质包括无偏性、有效性和一致性等。
评估方法包括最大似然估计、矩估计等。
4.区间估计:区间估计是对总体参数进行估计的区间范围。
置信区间是对总体参数真值的一个区间估计。
5.假设检验和检验方法:假设检验是在已知总体参数的条件下,对总体分布做出的统计推断。
检验方法包括参数检验和非参数检验。
6.正态总体的推断:当总体近似服从正态分布时,可以利用正态分布的性质进行推断。
7.方差分析和回归分析:方差分析用于比较两个或多个总体均值是否相等。
概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松定理 0lim >=∞→λn n np 有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) 泊松分布 )(λP = ,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ〔5〕几何分布 p q k p qk X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量,其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数, 2、分布函数的性质:〔1〕连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
〔2〕对于连续型随机变量X 来说,它取任一指定实数a 的概率均为零,即P{X=a }=0。
3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex x t d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布: 〔1〕分布函数法;(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X y Y dx x f dx x f l X P y F y)()()(〔2〕设随机变量X 具有概率密度f X (x ),又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ,则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f X Y 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数,()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,max ,,min βα 3、 二维连续型随机变量 〔1〕联合分布函数为dudv v u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数 f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度. 其中: 0),(≥y x f ,⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f〔2〕基本二维连续型随机向量分布均匀分布:⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布:+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律:4、 连续型边缘概率密度,),()(dy y x f x f X ⎰∞+∞-= dx y x f y f Y ⎰∞+∞-=),()(F (x ,y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ,Y )是连续型随机变量,f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )分别为(X ,Y )的概率密度和边缘概率密度,则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ,y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ,y ),f x (x ),f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律: 〔3〕条件分布函数:2、连续型随机变量的条件分布 〔1〕条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x Y X du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成, 〔2〕条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布1、离散型随机变量函数分布:二项分布:设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p ),则 Z=X+Y 的分布律:Z ~b (n 1+n 2,p ).泊松分布:假设X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的数学学科,它在自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计主要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下,可能出现也可能不出现的事件。
我们通常用大写字母A、B、C 等来表示。
随机事件的关系包括包含、相等、互斥(互不相容)和对立等。
2、概率的定义概率是用来度量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的古典定义是:如果一个试验有 n 个等可能的结果,事件 A 包含其中的 m 个结果,则事件 A 发生的概率为 P(A) = m / n 。
概率的统计定义是:在大量重复试验中,事件 A 发生的频率稳定地接近于某个常数 p,就把 p 称为事件 A 的概率。
3、概率的性质概率具有非负性(0 ≤ P(A) ≤ 1)、规范性(P(Ω) = 1,其中Ω 表示样本空间)和可加性(对于互斥事件 A 和 B,有 P(A∪B) = P(A) +P(B))。
二、条件概率与乘法公式1、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率,记作P(A|B)。
其计算公式为 P(A|B) = P(AB) / P(B) ,其中 P(AB) 表示事件A 和B 同时发生的概率。
2、乘法公式乘法公式有两种形式:P(AB) = P(A|B)P(B) 和 P(AB) =P(B|A)P(A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式设 B₁,B₂,,Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分,且 P(Bᵢ) > 0(i =1, 2,, n),则对于任意事件 A,有 P(A) =Σ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) 。
2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上,如果已知 P(A) 和 P(Bᵢ)、P(A|Bᵢ)(i = 1, 2,,n),则对于任意事件 Bᵢ(i = 1, 2,, n),有 P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)/Σ P(Bₙ)P(A|Bₙ) 。
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
第一章 概率论的基本概念定义: 随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ,S 的子集为E 的随机事件,单个样本点为基本事件.事件关系: 1.A ⊂B ,A 发生必导致B 发生. 2.A B 和事件,A ,B 至少一个发生,A B 发生. 3.A B 记AB 积事件,A ,B 同时发生,AB 发生. 4.A -B 差事件,A 发生,B 不发生,A -B 发生.5.A B=Ø,A 与B 互不相容(互斥),A 与B 不能同时发生,基本事件两两互不相容.6.A B=S 且A B=Ø,A 与B 互为逆事件或对立事件,A 与B 中必有且仅有一个发生,记B=A S A -=.事件运算: 交换律、结合律、分配率略.德摩根律:B A B A =,B A B A =.概率: 概率就是n 趋向无穷时的频率,记P(A).概率性质:1.P (Ø)=0.2.(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n ),A i 互不相容. 3.若A ⊂B ,则P (B -A)=P (B)-P (A).4.对任意事件A ,有)A (1)A (P P -=.5.P (A B)=P (A)+P (B)-P (AB).古典概型: 即等可能概型,满足:1.S 包含有限个元素.2.每个基本事件发生的可能性相同. 等概公式: 中样本点总数中样本点数S A )A (==n k P . 超几何分布:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n N k n D N k D p ,其中ra C r a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. 条件概率: )A ()AB ()A B (P P P =. 乘法定理:)A ()A B ()AB C ()ABC ()A ()AB ()AB (P P P P P P P ==.全概率公式: )B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ,其中i B 为S 的划分. 贝叶斯公式: )A ()B ()B A ()A B (P P P P i i i =,∑==nj j j B P B A P A P 1)()()(或)()()()()()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=.独立性: 满足P (AB)=P (A)P (B),则A ,B 相互独立,简称A ,B 独立.定理一: A ,B 独立,则.P (B |A)=P (B). 定理二: A ,B 独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立.第二章 随机变量及其分布(0—1)分布: k k p p k X P --==1)1(}{,k =0,1 (0<p <1).伯努利实验:实验只有两个可能的结果:A 及A .二项式分布: 记X~b (n ,p ),k n kk n p p C k X P --==)1(}{. n 重伯努利实验:独立且每次试验概率保持不变.其中A 发生k 次,即二项式分布.泊松分布: 记X~π(λ),!}{k e k X P k λλ-==, ,2,1,0=k .泊松定理: !)1(lim k e p p C k kn k knn λλ--∞→=-,其中λ=np .当20≥n ,05.0≤p 应用泊松定理近似效果颇佳.随机变量分布函数: }{)(x X P x F ≤=,+∞<<∞-x .)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<.连续型随机变量: ⎰∞-=xt t f x F d )()(,X 为连续型随机变量,)(x f 为X 的概率密度函数,简称概率密度.概率密度性质:1.0)(≥x f ;2.1d )(=⎰+∞∞-x x f ;3.⎰=-=≤<21d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ;4.)()(x f x F =',f (x )在x 点连续;5.P {X=a }=0.均匀分布: 记X~U(a ,b );⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,,01)(bx a a b x f ;⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,,,10)(. 性质:对a ≤c <c +l ≤b ,有 a b ll c X c P -=+≤<}{指数分布:⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,,001)(x e x f x θθ;⎩⎨⎧>-=-其它,,001)(x e x F x θ. 无记忆性: }{}{t X P s X t s X P >=>+>. 正态分布: 记),(~2σμN X ;]2)(exp[21)(22σμσπ--=x x f ;t t x F xd ]2)(exp[21)(22⎰∞---=σμσπ.性质: 1.f (x )关于x =μ对称,且P {μ-h <X ≤μ}=P {μ<X ≤μ+h };2.有最大值f (μ)=(σπ2)-1. 标准正态分布:]2exp[21)(2x x -=πϕ;⎰∞--=Φxt t x d ]2exp[21)(2π.即μ=0,ζ=1时的正态分布X ~N(0,1)性质:)(1)(x x Φ-=-Φ.正态分布的线性转化: 对),(~2σμN X 有)1,0(~N X Z σμ-=;且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F . 正态分布概率转化: )()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<x x x X x P ;1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-t t t t X t P σμσμ.3ζ法则: P =Φ(1)-Φ(-1)=68.26%;P =Φ(2)-Φ(-2)=95.44%;P =Φ(3)-Φ(-3)=99.74%,P 多落在(μ-3ζ,μ+3ζ)内. 上ɑ分位点: 对X~N(0,1),若z α满足条件P {X>z α}=α,0<α<1,则称点z α为标准正态分布的上α分位点. 常用 上ɑ分位点: 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.0902.5762.3261.9601.6451.282Y 服从自由度为1的χ2分布:设X 密度函数f X (x ),+∞<<∞-x ,若Y=X 2,则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=000)]()([21)(y y y f y f y y f X XY ,,若设X ~N(0,1),则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00021)(221y y e y y f y Y ,,π定理:设X 密度函数f X (x ),设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0),则Y=g (X)是连续型随机变量,且有⎩⎨⎧<<'=其他,,0)()]([)(βαy y h y h f y f X Y h (y )是g (x )的反函数;①若+∞<<∞-x ,则α=min{g (−∞),g (+∞)},β=max{g (−∞),g (+∞)};②若f X (x )在[a ,b ]外等于零,g (x )在[a ,b ]上单调,则α=min{g (a ),g (b )},β=max{g (a ),g (b )}.应用: Y=aX +b ~N(a μ+b ,(|a |ζ)2).第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数: 分布函数(联合分布函数):)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ,记作:},{y Y x X P ≤≤.),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<.F (x ,y )性质: 1.F (x ,y )是x 和y 的不减函数,即x 2>x 1时,F (x 2,y )≥F (x 1,y );y 2>y 1时,F (x ,y 2)≥F (x ,y 1).2.0≤F (x ,y )≤1且F (−∞,y )=0,F (x ,−∞)=0,F (−∞,−∞)=0,F (+∞,+∞)=1.3.F (x +0,y )=F (x ,y ),F (x ,y +0)=F (x ,y ),即F (x ,y )关于x 右连续,关于y 也右连续.4.对于任意的(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 2>x 1,y 2>y 1,有P {x 1<X ≤x 2,y 1<Y ≤y 2}≥0.离散型(X ,Y ):0≥ij p ,111=∑∑∞=∞=ij j i p ,ij yy x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(.连续型(X ,Y ):v u v u f y x F y xd d ),(),(⎰⎰∞-∞-=.f (x ,y )性质: 1.f (x ,y )≥0.2.1),(d d ),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F y x y x f .3.y x y x f G Y X P G⎰⎰=∈d d ),(}),{(. 4.若f (x ,y )在点(x ,y )连续,则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂. n 维: n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展,性质与二维类似. 边缘分布:F x (x ),F y (y )依次称为二维随机变量(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布函数,F X (x )=F (x ,∞),F Y (y )=F (∞,y ).离散型: *i p 和j p *分别为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘分布律,记}{1i ij j i x X P p p ==∑=∞=*,}{1j ij i j y Y P p p ==∑=∞=*.连续型:)(x f X ,)(y f Y 为(X ,Y )关于X 和Y 的边缘密度函数,记⎰∞∞-=y y x f x f X d ),()(,⎰∞∞-=x y x f y f Y d ),()(.二维正态分布:]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f . 记(X ,Y )~N (μ1,μ2,ζ12,ζ22,ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ,∞<<∞-x .]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ,∞<<∞-y . 离散型条件分布律: jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{. *=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{.连续型条件分布:条件概率密度:)(),()(y f y x f y x f Y Y X =||条件分布函数:x y f y x f y Y x X P y x F xY Y X d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| )(),()(x f y x f x y f X X Y =||y x f y x f x X y Y P x y F yX X Y d )(),(}{)(⎰∞-==≤=||| 含义:当0→ε时,)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε.均匀分布: 若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ,则称(X ,Y)在G 上服从均匀分布. 独立定义:若P {X ≤x ,Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y },即F (x ,y )=F x (x )F y (y ),则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 独立条件或可等价为:连续型:f (x ,y )=f x (x )f y (y );离散型:P {X =x i ,Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }.正态独立: 对于二维正态随机变量(X ,Y ),X 和Y 相互对立的充要条件是:参数ρ=0.n 维延伸: 上述概念可推广至n 维随机变量,要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n -1元)的.定理:设(X 1,X 2,…,X m )和(Y 1,Y 2,…,Y n )相互独立,则X i 和Y j 相互独立.又若h ,g 是连续函数,则h (X 1,X 2,…,X m )和g (Y 1,Y 2,…,Y n )相互独立.Z=X+Y 分布: 若连续型(X ,Y )概率密度为f (x ,y ),则Z=X+Y 为连续型且其概率密度为⎰∞∞-+-=y y y z f z f Y X d ),()(或⎰∞∞-+-=x x z x f z f Y X d ),()(.f X 和f Y 的卷积公式:记⎰∞∞-+-==y y f y z f z f f f Y X Y X Y X d )()()(*⎰∞∞--=x x z f x f Y X d )()(,其中除继上述条件,且X 和Y相互独立,边缘密度分别为f X (x )和f Y (y ). 正态卷积:若X 和Y 相互独立且X ~N (μ1,ζ12),记Y ~N (μ2,ζ22),则对Z=X+Y 有Z ~N (μ1+μ2,ζ12+ζ22).1.上述结论可推广至n 个独立正态随机变量.2.有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布. 伽马分布:记),(~θαΓX ,0>α,0>θ.⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,00)(1)(1x e x x f x θαααθ,其中⎰+∞--=Γ01d )(t e t tαα.若X 和Y 独立且X ~Γ(α,θ),记Y ~Γ(β,θ),则有X+Y~Γ(α+β,θ).可推广到n 个独立Γ分布变量之和.XYZ =:⎰∞∞-=x xz x f x z f X Y d ),()(,若X 和Y 相互独立,则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X X Y d )()()(.XYZ =分布: ⎰∞∞-=x x zx f x z f XY d ),(1)(,若X 和Y 相互独立,则有⎰∞∞-=xxz f x f x z f Y X XY d )()(1)(. 大小分布:若X 和Y 相互独立,且有M =max{X ,Y }及N =min{X ,Y },则M 的分布函数:F max (z )=F X (z )F Y (z ),N 的分布函数:F min (z )=1-[1-F X (z )][1-F Y (z )],以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况.第四章 随机变量的数字特征数学期望: 简称期望或均值,记为E (X );离散型:k k k p x X E ∑=∞=1)(.连续型:⎰∞∞-=x x xf X E d )()(.定理: 设Y 是随机变量X 的函数:Y =g (X )(g 是连续函数).1.若X 是离散型,且分布律为P {X =x k }=p k ,则: k k k p x g Y E )()(1∑=∞=.2.若X 是连续型,概率密度为f (x ),则:⎰∞∞-=x x f x g Y E d )()()(.定理推广: 设Z 是随机变量X ,Y 的函数:Z =g (X ,Y )(g 是连续函数).1.离散型:分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p ij ,则: ij j i i j p y x g Z E ),()(11∑∑=∞=∞=. 2.连续型:⎰⎰∞∞-∞∞-=y x y x f y x g Z E d d ),(),()(期望性质:设C 是常数,X 和Y 是随机变量,则:1.E (C )=C .2.E (CX )=CE (X ).3.E (X +Y )=E (X )+E (Y ). 4.又若X 和Y 相互独立的,则E (XY )=E (X )E (Y ).方差:记D (X )或Var(X ),D (X )=V ar(X )=E {[X -E (X )]2}.标准差(均方差): 记为ζ(X ),ζ(X )= . 通式:22)]([)()(X E X E X D -=. k k k p X E x X D 21)]([)(-∑=∞=,⎰∞∞--=x x f x E x X D d )()]([)(2.标准化变量: 记σμ-=x X *,其中μ=)(X E ,2)(σ=X D ,*X 称为X 的标准化变量. 0)(*=X E ,1)(*=X D .方差性质: 设C 是常数,X 和Y 是随机变量,则: 1.D (C )=0. 2.D (CX )=C 2D (X ),D (X +C )=D (X ).3.D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2E {(X -E (X ))(Y -E (Y ))},若X ,Y 相互独立D (X +Y )=D (X )+D (Y ).4.D (X )=0的充要条件是P {X =E (X )}=1. 正态线性变换: 若),(~2i i i N X σμ,i C 是不全为0的常数,则),(~22112211i i n i i i n i n n C C N X C X C X C σμ∑∑+++== .切比雪夫不等式: 22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-≥<-X P ,其中)(X E =μ,)(2X D =σ,ε为任意正数.协方差:记)]}()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=.X 与Y的相关系数:)()(),Cov(Y D X D Y X XY =ρ.D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y ),Cov(X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y ).性质: 1.Cov(aX ,bY )=ab Cov(X ,Y ),a ,b 是常数.2.Cov(X 1+X 2,Y )=Cov(X 1,Y )+Cov(X 2,Y ). 系数性质:令e =E [(Y -(a +bX ))2],则e 取最小值时有)()1(]))([(2200min Y D X b a Y E e XY ρ-=+-=,其中)()(00X E b Y E a -=,)(),Cov(0X D Y X b =.1.|ρXY |≤1.2.|ρXY |=1的充要条件是:存在常数a ,b 使P {Y =a +bX }=1.|ρXY |越大e 越小X 和Y 线性关系越明显,当|ρXY |=1时,Y =a +bX ;反之亦然,当ρXY =0时,X 和Y 不相关. X 和Y 相互对立,则X 和Y 不相关;但X 和Y 不相关,X 和Y 不一定相互独立. 定义: k 阶矩(k 阶原点矩):E (X k ). n 维随机变量X i 的协方差矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c c c c cc c c212222111211C ,),Cov(j i ij X X c ==E {[X i -E (X i )][X j -E (X j )]}. k +l 阶混合矩:E (X k Y l).k 阶中心矩:E {[X -E (X )] k }.k +l 阶混合中心矩:E {[X -E (X )]k [Y -E (Y )]l }.n 维正态分布:)}()(21exp{det )2(1),,,(1T 221μX C μX C ---=-n n x x x f π ,T21T 21),,,(),,,(n nx x x μμμ ==μX . 性质:1.n 维正态随机变量(X 1,X 2,…,X n )的每一个分量X i (i =1,2,…,n )都是正态随机变量,反之,亦成立. 2.n 维随机变量(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布的充要条件是X 1,X 2,…,X n 的任意线性组合l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n 服从一维正态分布(其中l 1,l 2,…,l n 不全为零).3.若(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布,且Y 1,Y 2,…,Y k 是X j (j =1,2,…,n )的线性函数,则(Y 1,Y 2,…,Y k )也服从多维正态分布.4.若(X 1,X 2,…,X n )服从n 维正态分布,则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价.)(x D第五章大数定律及中心极限定理弱大数定理:若X1,X2,…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列,且E(X k)=μ,则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX,knkXnX11=∑=.定义:Y1,Y2,…,Y n ,…是一个随机变量序列,a是一个常数.若对任意ε>0,有1}|{|lim=<-∞→εaYPnn则称序列Y1,Y2,…,Yn,…依概率收敛于a.记aY Pn−→−伯努利大数定理:对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或0lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An.其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率.中心极限定理定理一:设X1,X2,…,X n ,…相互独立并服从同一分布,且E(X k)=μ,D(X k)=ζ2 >0,则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0,1)或nXσμ-~N(0,1)或X~N(μ,n2σ).定理二:设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μk,D(X k)=ζk2 >0,若存在δ>0使n→∞时,}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB,则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0,1),记212knknBσ=∑=.定理三:设),(~pnbnη,则n→∞时,Npnpnpn~)1()(--η(0,1),knknX1=∑=η.第六章样本及抽样分布定义:总体:全部值;个体:一个值;容量:个体数;有限总体:容量有限;无限总体:容量无限.定义:样本:X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量,称从F得到的容量为n的简单随机样本.频率直方图:图形:以横坐标小区间为宽,纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形.横坐标:数据区间(大区间下限比最小数据值稍小,上限比最大数据值稍大;小区间:均分大区间,组距Δ=大区间/小区间个数;小区间界限:精度比数据高一位).图形特点:外轮廓接近于总体的概率密度曲线.纵坐标:频率/组距(总长度:<1/Δ;小区间长度:频率/组距).定义:样本p分位数:记x p,有1.样本x i中有np个值≤x p.2.样本中有n(1-p)个值≥x p.箱线图:x p选择:记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当,当,][211)()()1]([.分位数x0.5,记为Q2或M,称为样本中位数.分位数x0.25,记为Q1,称为第一四分位数.分位数x0.75,记为Q3,称为第三四分位数.图形:图形特点:M为数据中心,区间[min,Q1],[Q1,M],[M,Q3],[Q3,max]数据个数各占1/4,区间越短数据密集.四分位数间距:记IQR=Q3-Q1;若数据X<Q1-1.5IQR或X>Q3+1.5IQR,就认为X是疑似异常值.抽样分布:样本平均值:iniXnX11=∑=样本方差:)(11)(11221212XnXnXXnSiniini-∑-=-∑-===样本标准差:2SS=样本k阶(原点)矩:kinikXnA11=∑=,k≥1 样本k阶中心矩:kinikXXnB)(11-∑==,k≥2经验分布函数:)(1)(xSnxFn=,∞<<∞-x.)(xS表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数.自由度为n的χ2分布:记χ2~χ2(n),222212nXXX+++=χ,其中X1,X2,…,X n是来自总体N(0,1)的样本.E(χ2 )=n,D(χ2 )=2n.χ12+χ22~χ2(n1+n2).⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他,,)2(21)(2122yexnyfynn.χ2分布的分位点:对于0<α<1,满足αχχαχα==>⎰∞yyfnPn)(222d)()}({,则称)(2nαχ为)(2nχ的上α分位点.~ 近似的min Q1 M Q3 max当n 充分大时(n >40),22)12(21)(-+≈n z n ααχ,其中αz 是标准正态分布的上α分位点. 自由度为n 的t 分布:记t ~t (n ),nY Xt /=, 其中X~N (0,1),Y~χ2(n ),X ,Y 相互独立.2)1(2)1(]2[]2)1([)(+-+Γ+Γ=n n t n n n t h π h (t )图形关于t =0对称;当n 充分大时,t 分布近似于N (0,1)分布.t 分布的分位点:对于0<α<1,满足ααα==>⎰∞t t h n t t P n t )(d )()}({,则称)(n t α为)(n t 的上α分位点. 由h (t )对称性可知t 1-α(n )=-t α(n ).当n >45时,t α(n )≈z α,z α是标准正态分布的上α分位点.自由度为(n 1,n 2)的F分布:记F ~F (n 1,n 2),21n V n U F =,其中U~χ2(n 1),V~χ2(n 2),X ,Y 相互独立.1/F ~F (n 2,n 1)⎪⎩⎪⎨⎧>+ΓΓ+Γ=+-其他,,00]1)[2()2()](2)([)(2)(21211)2(221212111x n y n n n y n n n n y n n n n ψF 分布的分位点:对于0<α<1,满足αψαα==>⎰∞y y n n F F P n n F ),(2121d )()},({,则称),(21n n F α为),(21n n F 的上α分位点.重要性质:F 1-α(n 1,n 2)=1/F α(n 1,n 2).定理一: 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,ζ2)的样本,则有),(~2n N X σμ,其中X 是样本均值. 定理二:设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,ζ2)的样本,样本均值和样本方差分别记为 X ,2S ,则有1.)1(~)1(222--n S n χσ;2.X 与2S 相互独立.定理三:设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ,ζ2)的样本,样本均值和样本方差分别记为X ,2S ,则有)1(~--n t nS X μ.定理四:设X 1,X 2,…,X n 1 与Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1,ζ12)和N (μ2,ζ22)的样本,且相互独立.设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X ,Y ,21S ,22S ,则有1.)1,1(~2122212221--n n F S S σσ.2.当ζ12=ζ22=ζ2时,)2(~)()(21121121-++-----n n t n n S Y X w μμ,其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w,2w w S S =. 第七章 参数估计定义: 估计量:),,,(ˆ21n X X X θ,估计值:),,,(ˆ21nx x x θ,统称为估计. 矩估计法:令)(ll X E =μ=li n i l X n A 11=∑=(k l ,,2,1 =)(k 为未知数个数)联立方程组,求出估计θˆ.设总体X 均值μ及方差ζ2都存在,则有 X A ==1ˆμ,212212122)(11ˆX X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ. 最大似然估计法: 似然函数:离散:);()(1θθi n i x p L =∏=或连续:);()(1θθi ni x f L =∏=,)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项.θˆ即为)(θL 最大值,可由方程0)(d d =θθL 或0)(ln d d =θθL 求得. 当多个未知参数θ1,θ1,…,θk 时:可由方程组 0d d =L i θ或0ln d d =L i θ(k i ,,2,1 =)求得. 最大似然估计的不变性:若u =u (θ)有单值反函数θ=θ(u ),则有)ˆ(ˆθu u=,其中θˆ为最大似然估计. 截尾样本取样: 定时截尾样本:抽样n 件产品,固定时间段t 0内记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ≤t 0)和失效产品数量. 定数截尾样本:抽样n 件产品,固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ). 结尾样本最大似然估计:定数截尾样本:设产品寿命服从指数分布X~e (θ),θ即产品平均寿命.产品t i 时失效概率P {t =t i }≈f (t i )d t i ,寿命超过t m 的概率θm t m e t t F -=>}{,则)(}){()(1i m i m n m m n t P t t F C L =-∏>=θ,化简得)(1)(m t s m e L ---=θθθ,由0)(ln d d =θθL 得:mt s m )(ˆ=θ,其中s (t m )=t 1+t 2+…+t m +(n -m )t m ,称为实验总时间. 定时截尾样本:与定数结尾样本讨论类似有s (t 0)=t 1+t 2+…+t m +(n -m )t 0,)(01)(t s m e L ---=θθθ,mt s )(ˆ0=θ,. 无偏性: 估计量),,,(ˆ21nX X X θ的)ˆ(θE 存在且θθ=)ˆ(E ,则称θˆ是θ的无偏估计量. 有效性:),,,(ˆ211n X X X θ与),,,(ˆ212n X X X θ都是θ的无偏估计量,若)ˆ()ˆ(21θθD D ≤,则1ˆθ较2ˆθ有效. 相合性: 设),,,(ˆ21n X X X θθ的估计量,若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim =<-∞→εθθP n ,则称θˆ是θ的相合估计量. 置信区间:αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121n n X X X X X X P ,θ和θ分别为置信下限和置信上限,则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间,α-1称为置信水平,10<<α.正态样本置信区间: 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体X ~N (μ,ζ2)的样本,则有μ的置信区间:枢轴量W W 分布 a ,b 不等式 置信水平 置信区间)1,0(~N n X σμ-⇒ασμα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-12z n X P ⇒)(2ασz n X ± 其中z α/2为上α分位点θ置信区间的求解: 1.先求枢轴量:即函数W =W (X 1,X 2,…,X n ;θ),且函数W 的分布不依赖未知参数. 如上讨论标注2.对于给定置信水平α-1,定出两常数a ,b 使P {a <W <b }=α-1,从而得到置信区间. (0-1)分布p 的区间估计:样本容量n >50时,⇒--∞→)1,0(~)1()(lim N p np np X n n {}⇒-≈<--αα1)1()(2z p np np X n P0)2()(222222<++-+X n p z X n p z n αα⇒若令22αz n a +=,)2(22αz X n b +-=,2X n c =,则有置信区间(a ac b b 2)4(2---,a ac b b 2)4(2-+-).单侧置信区间:若αθθ-≥>1}{P 或αθθ-≥<1}{P ,称(θ,∞)或(∞-,θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间.正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(置信水平为α-1)待估 其他 枢轴量W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μζ2已知 )1,0(~N nX Z σμ-=)(2ασz nX ±ασμz nX +=,ασμz nX -=μζ2未知 )1(~--=n t nS X t μ⎪⎭⎫ ⎝⎛±2αt n S X αμt n S X +=,αμt nSX -= ζ2μ未知)1(~)1(2222--=n S n χσχ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2212222)1(,)1(ααχχS n S n 2122)1(αχσ--=S n ,222)1(αχσS n -=两个正态总体μ1-μ2ζ12,ζ22已知 )1,0(~)(22212121N n n Y X Z σσμμ+---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-2221212n n z Y X σσα2221212122212121n n z Y X n n z Y X σσμμσσμμαα+--=-++-=-μ1-μ2ζ12=ζ22=ζ2 未知)2(~)()(21121121-++---=--n n t n n S Y X t w μμ()12112--+±-n n S tY X w α2w w S S =121121121121----+--=-++-=-n n S t Y X n n S t Y X w w ααμμμμ2)1()1(2122 22112-+-+-=nnS nSnSwζ12/ζ22μ1,μ2未知)1,1(~2122212221--=nnFSSFσσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-212221222211,1ααFSSFSSασσ-=1222122211FSS,ασσFSS122212221=单个总体X~N(μ,ζ2),两个总体X~N(μ1,ζ12),Y~N(μ2,ζ22).第八章假设实验定义:H0:原假设或零假设,为理想结果假设;H1:备择假设,原假设被拒绝后可供选择的假设.第Ⅰ类错误:H0实际为真时,却拒绝H0.第Ⅱ类错误:H0实际为假时,却接受H0.显著性检验:只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制,而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验.P{当H0为真拒绝H0}≤α,α称为显著水平.拒绝域:取值拒绝H0.临界点:拒绝域边界.双边假设检验:H0:θ=θ0,H1:θ≠θ0.右边检验:H0:θ≤θ0,H1:θ>θ0.左边检验:H0:θ≥θ0,H1:θ<θ0.正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域1 ζ2已知μ≤μ0μ>μ0nXZσμ-=z≥zαμ≥μ0μ<μ0z≤-zαμ=μ0μ≠μ0|z|≥zα/22 ζ2未知μ≤μ0μ>μ0nSXt0μ-=t≥tα(n-1) μ≥μ0μ<μ0t≤-tα(n-1) μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n-1)3 ζ1,ζ2已知μ1-μ2≤δμ1-μ2>δ222121nnYXZσσδ+--=z≥zαμ1-μ2≥δμ1-μ2<δz≤-zαμ1-μ2=δμ1-μ2≠δ|z|≥zα/24 ζ12=ζ22=ζ2未知μ1-μ2≤δμ1-μ2>δ1211--+--=nnSYXtwδ2)1()1(212222112-+-+-=nnSnSnSwt≥tα(n1+n2-2) μ1-μ2≥δμ1-μ2<δt≤-tα(n1+n2-2)μ1-μ2=δμ1-μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2-2)5 μ未知ζ2≤ζ02ζ2>ζ02222)1(σχSn-=χ2≥χα2(n-1)ζ2≥ζ02ζ2<ζ02χ2≤χ21-α(n-1)ζ2=ζ02ζ2≠ζ02χ2≥χ2α/2(n-1)或χ2≤χ21-α/2(n-1)6 μ1,μ2未知ζ12≤ζ22ζ12>ζ222221SSF=F≥Fα(n1-1,n2-1) ζ12≥ζ22ζ12<ζ22F≤F1-α(n1-1,n2-1)ζ12=ζ22ζ12≠ζ22F≥Fα/2(n1-1,n2-1)或F≤F1-α/2(n1-1,n2-1)7 成对数据μD≤0 μD>0nSDtD-=t≥tα(n-1) μD≥0 μD<0 t≤-tα(n-1)μD=0 μD≠0 |t|≥tα-2(n-1)检验方法选择:主要是逐对比较法(成对数据)跟两个正态总体均值差的检验的区别,如上表即7跟3、4的区别,成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系,而3和4一般指X和Y相互对立,但针对同一实体.关系:置信区间与假设检验之间的关系:未知参数的置信水平为1-α的置信区间与显著水平为α的接受域相同.定义:施行特征函数(OC函数):β(θ)=Pθ(接受H0).功效函数:1-β(θ).功效:当θ*∈H1时,1-β(θ*)的值.。
概率论与数理统计公式超全版
分布满足可加性:设
则
t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。
F分布
设 ,且X与Y独立,可以证明 的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1, n2).
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是 的子集。
为必然事件,?为不可能事件。
不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
0,x<a,
?
1,x>b。
当a≤x1<x2≤b时,X落在区间( )内的概率为
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
;
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为
(7)独立性
(完整版)大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式(逆概率公式)伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式P(AB)=P(A)P(B)表达式A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+CA(B±C)=AB±ACA+B=ABAB=BA(AB)C=A(BC)=ABCA+(BC)=(A+B)(A+C)AB=A+B公式表达式P(A)=1-P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B A)=P(AB)P(A)P(AB)=P(A)P(B A)nP(AB)=P(B)P(A B)i iP(B)=∑P(A)P(B A)i=1P(AjB)=P(Aj)P(B Aj)∑P(A)P(B A)j ii=1∞k kPn(k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Λn;P(B A)=P(B);P(B A)=P(B A);P(B A)+P(B A)=1;P(B A)+P(B A)=1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X≤b)=F(b)P(a<X≤b)=F(b)-F(a)2、离散型随机变量分布名称0–1分布B(1,p)二项分布B(n,p)泊松分布P(λ)几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)3、连续型随机变量分布名称均匀分布U(a,b)密度函数⎧1⎪b-a,f(x)=⎨⎪0,⎩a<x<b其他分布律P(X=k)=p k(1-p)1-k,k=0,1k kP(X=k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Λ,nP(X=k)=e-λλkk!,k=0,1,2,ΛP(X=k)=(1-p)k-1p,P(X=k)=k n-kCMCN-MnCN,k=l,l+1,Λ,min(n,M)k=0,1,2,Λ分布函数0,x<a⎧⎪⎪x-aF(x)=⎨,a≤x<bb-a⎪1,x≥b⎪⎩指数分布E(λ)正态分布N(μ,σ2)标准正态分布N(0,1)f(x)=-λx⎧⎪λe,x>0f(x)=⎨⎪其他⎩0,x<0⎧0,F(x)=⎨-λx1-e,x≥0⎩2πσ⎰2πσ⎰11x12πσe-(x-μ)22σ2-∞<x<+∞F(x)=-∞e-(t-μ)22σ2d tϕ(x)=12πe-x22-∞<x<+∞F(x)=x-∞e-(t-μ)22σ2d t三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布p i⋅=P(X=xi)=∑P(X=x,Y=y)=∑pi jj jijp⋅j=P(Y=yj)=∑P(X=x,Y=y)=∑pi ji iij2、离散型二维随机变量条件分布p i j =P(X=xiY=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijP⋅j,i=1,2Λx yp j i =P(Y=yjX=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijPi⋅,j=1,2Λ3、连续型二维随机变量(X ,Y)的联合分布函数F(x,y)=⎰-∞⎰-∞f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数:FX (x)=⎰-∞⎰-∞f(u,v)dvdu边缘密度函数:fX(x)=⎰-∞f(x,v)dvF Y (y)=x+∞+∞⎰⎰y+∞-∞-∞f(u,v)dudv fY(y)=⎰+∞-∞f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布fY X (y x)=f(x,y)f(x,y),-∞<y<+∞fX Y(x y)=,-∞<x<+∞fX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量:E(X)=∑xk pk连续型随机变量:E(X)=⎰-∞xf(x)dxk=1+∞+∞2、数学期望的性质(1)E(C)=C,C为常数E[E(X)]=E(X)E(CX)=CE(X)(2)E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(aX±b)=aE(X)±b E(C1X1+ΛCnXn)=C1E(X1)+ΛCnE(Xn)(3)若XY相互独立则:E(XY)=E(X)E(Y)(4)[E(XY)]2≤E2(X)E2(Y)3、方差:D(X)=E(X2)-E2(X)4、方差的性质(1)D(C)=0D[D(X)]=0D(aX±b)=a2D(X)D(X)<E(X-C)2(2)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)若XY相互独立则:D(X±Y)=D(X)+D(Y)5、协方差:Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)若XY相互独立则:Cov(X,Y)=06、相关系数:ρXY =ρ(X,Y)=Cov(X,Y)D(X)D(Y)若XY相互独立则:ρXY=0即XY不相关7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X)=D(X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布0-1分布B(1,p)二行分布B(n,p)泊松分布P(λ)几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)均匀分布U(a,b)正态分布N(μ,σ2)指数分布E(λ)数学期望p方差p(1-p)np(1-p)npλ1pλ1-ppn2nMNM M N-m(1-)N N N-1 a+b2(b-a)212σ2μ1λ1λ2五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式)D (X )若E (X )=μ,D (X )=σ2,对于任意ξ>0有P {X -E (X )≥ξ}≤D (X 或P {X -E (X )<ξ}≥1-22ξξ2、大数定律:若X1ΛXn相互独立且n →∞时,1n(1)若X 1ΛX n 相互独立,E (X i )=μi ,D (X i )=σi 2∑i =1n1Xi−−→nD n∑E (X )ii =1n且σi 21≤M 则:n ∑i =11Xi−−→nP ∑E (X ),(n →∞)ii =1n1nP −→μ(2)若X1ΛXn相互独立同分布,且E (Xi )=μi则当n →∞时:∑X i−ni =13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理:均值为μ,方差为σ2>0的独立同分布时,当n 充分大时有:∑X Y n=k =1nk -n μ~−−→N (0,1)n σ(2)拉普拉斯定理:随机变量ηn(n =1,2Λ)~B (n ,p )则对任意x 有:x →+∞lim P {ηn-npnp (1-p )≤x }=⎰x 12π-∞e-t 22dt=Φ(x )n(3)近似计算:P (a ≤∑Xk≤b )=P (a -n μ≤k =1n∑Xk =1k-n μ≤b -n μn σn σn σ)≈Φ(b -n μn σ)-Φ(a -n μn σ)六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数F (x )样本(X 1,X 2Λ2、统计量(1)样本平均值:X =1n(3)样本标准差:S =Xn)的联合分布为F (x 1,x2Λx n)=∏F (x k)k =1n∑i =1n1X i(2)样本方差:S =n -12∑1(Xi-X )=n -1i =12nn ∑i =1n (Xi2-nX )21n -1∑1(X i -X ) (4)样本k 阶原点距:Ak=ni =12n ∑Xi =1k i,k =1,2Λ(5)样本k 阶中心距:Bk=M k =1n∑(Xi =1n i-X )k ,k =2,3Λ(6)次序统计量:设样本(X 1,X 2Λ序重新排列,得到x (1)≤x(2)≤Λ为样本(X 1,X 2ΛX n)X n)的观察值(x 1,x 2Λx n),将x 1,x 2Λxn按照由小到大的次≤x(n ),记取值为x (i )的样本分量为X (i ),则称X(1)≤X(2)≤Λ≤X(n )的次序统计量。
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结引言《概率论与数理统计》是考研数学中的一个重要分支,它不仅要求学生掌握理论知识,还要求能够运用这些知识解决实际问题。
本文档旨在对《概率论与数理统计》的核心知识点进行总结,帮助考生系统复习。
第一部分:概率论基础1. 随机事件与样本空间随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
样本空间:所有可能结果的集合。
2. 概率的定义古典定义:适用于有限样本空间,每个样本点等可能发生。
频率定义:长期频率的极限。
主观定义:基于个人信念或偏好。
3. 概率的性质非负性:概率值非负。
归一性:所有事件的概率之和为1。
加法定理:互斥事件概率的和。
4. 条件概率与独立性条件概率:已知一个事件发生的情况下,另一个事件发生的概率。
独立性:两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
5. 随机变量及其分布离散型随机变量:可能取有限个或可数无限个值。
连续型随机变量:可能取无限连续区间内的任何值。
分布函数:随机变量取值小于或等于某个值的概率。
第二部分:随机变量及其分布1. 离散型随机变量的分布概率质量函数:描述离散型随机变量取特定值的概率。
常见分布:二项分布、泊松分布、几何分布等。
2. 连续型随机变量的分布概率密度函数:描述连续型随机变量在某区间的概率密度。
常见分布:均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 多维随机变量及其分布联合分布:描述多个随机变量联合取值的概率。
边缘分布:从联合分布中得到的单一随机变量的分布。
条件分布:给定一个随机变量的条件下,另一个随机变量的分布。
第三部分:数理统计基础1. 数理统计的基本概念总体与样本:总体是研究对象的全体,样本是总体中所抽取的一部分。
统计量:根据样本数据计算得到的量。
2. 参数估计点估计:用样本统计量估计总体参数的单个值。
区间估计:在一定概率下,总体参数落在某个区间的估计。
3. 假设检验原假设与备择假设:研究问题中的两个对立假设。
检验统计量:用于决定是否拒绝原假设的量。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ,其中 p≥0,q=1-p。
均匀分布
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在[a,b]内,其密度函数 f (x) 在[a,b] 上为常数 1 ,即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他,
则称随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。
X 的分布函数为
正态分布
F(x)
1 ex , 0,
记住积分公式:
x nex dx n!
0
x 0,
x<0。
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e 2 2 ,
x ,
2 其中 、 0 为常数,则称随机变量 X 服从参数为 、
的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为 X ~ N (, 2 ) 。
n
A Bi
2°
i1 ,
则有
P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1, B2 ,…, Bn 及 A 满足
1° B1, B2 ,…, Bn 两两互不相容, P(Bi) >0, i 1,2,…, n ,
n
A Bi
2°
i1 , P( A) 0 ,
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
(5)基本 事件、样本 空间和事 件
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
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很多考生对数学的复习不是有很清晰的认识,其实现在可以真正的开始了第一轮的复习。
在第一轮的复习中有以下四大框架可以推荐给广大考生。
1. 注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握结合考研辅导书和大纲,先吃透基本概念、基本方法和基本定理,只有对基本概念深入理解,对基本定理和公式牢牢记住,才能找到解题的突破口和切入点。
分析表明,考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理,理解不准确,基本解题方法没有掌握。
因此,首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫,如果不打牢这个基础,其他一切都是空中楼阁。
2. 加强练习,充分利用历年真题,重视总结、归纳解题思路、方法和技巧数学考试的所有任务就是解题,而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。
试题千变万化,但其知识结构却基本相同,题型也相对固定,一般存在相应的解题规律。
通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力,做到面对任何试题都能有条不紊地分析和运算。
3. 开始进行综合试题和应用试题的训练数学考试中有一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。
这类试题一般比较灵活,难度相对较大。
在首轮复习期间,虽然它们不是重点,但也应有目的地进行一些训练,积累解题经验,这也有利于对所学知识的消化吸收,彻底弄清有关知识的纵向与横向联系,转化为自己的东西。
4. 突出重点高等数学是考研数学的重中之重,所占分值较大,需要复习的内容也比较多。
主要内容有:1)函数、极限与连续:主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2)一元函数微分学:主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形,求曲线渐近线。
3)一元函数积分学:主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用,如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4)多元函数微分学:主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数、方向导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
6)多元函数的积分学:包括二重积分在各种坐标下的计算,累次积分交换次序;7)微分方程及差分方程:主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法跨章节、跨科目的综合考查题,近几年出现的有:微积分与微分方程的综合题;求极限的综合题等。
线性代数的重要概念包括以下内容:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化。
线性代数的内容纵横交错,环环相扣,知识点之间相互渗透很深,因此不仅出题角度多,而且解题方法也是灵活多变,需要在夯实基础的前提下大量练习,归纳总结。
概率论与数理统计是考研数学中的难点,考生得分率普遍较低。
与微积分和线性代数不同的是,概率论与数理统计并不强调解题方法,也很少涉及解题技巧,而非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。
其考点如下:1)随机事件和概率:包括样本空间与随机事件;概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式);条件概率与概率的乘法公式;事件之间的关系与运算(含事件的独立性);全概公式与贝叶斯公式;伯努利概型。
2)随机变量及其概率分布:包括随机变量的概念及分类;离散型随机变量概率分布及其性质;连续型随机变量概率密度及其性质;随机变量分布函数及其性质;常见分布;随机变量函数的分布。
3)二维随机变量及其概率分布:包括多维随机变量的概念及分类;二维离散型随机变量联合概率分布及其性质;二维连续型随机变量联合概率密度及其性质;二维随机变量联合分布函数及其性质;二维随机变量的边缘分布和条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布。
4)随机变量的数字特征:随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数。
5)大数定律和中心极限定理,以及切比雪夫不等式。
成功备战考研英语—考前必报班! 英语考试全能王有很多,你自己找好的吧很多考生对数学的复习不是有很清晰的认识,其实现在可以真正的开始了第一轮的复习。
在第一轮的复习中有以下四大框架可以推荐给广大考生。
1. 注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握结合考研辅导书和大纲,先吃透基本概念、基本方法和基本定理,只有对基本概念深入理解,对基本定理和公式牢牢记住,才能找到解题的突破口和切入点。
分析表明,考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理,理解不准确,基本解题方法没有掌握。
因此,首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫,如果不打牢这个基础,其他一切都是空中楼阁。
2. 加强练习,充分利用历年真题,重视总结、归纳解题思路、方法和技巧数学考试的所有任务就是解题,而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。
试题千变万化,但其知识结构却基本相同,题型也相对固定,一般存在相应的解题规律。
通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力,做到面对任何试题都能有条不紊地分析和运算。
3. 开始进行综合试题和应用试题的训练数学考试中有一些应用到多个知识点的综合性试题和应用型试题。
这类试题一般比较灵活,难度相对较大。
在首轮复习期间,虽然它们不是重点,但也应有目的地进行一些训练,积累解题经验,这也有利于对所学知识的消化吸收,彻底弄清有关知识的纵向与横向联系,转化为自己的东西。
4. 突出重点高等数学是考研数学的重中之重,所占分值较大,需要复习的内容也比较多。
主要内容有:1)函数、极限与连续:主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2)一元函数微分学:主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形,求曲线渐近线。
3)一元函数积分学:主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用,如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4)多元函数微分学:主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数、方向导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
6)多元函数的积分学:包括二重积分在各种坐标下的计算,累次积分交换次序;7)微分方程及差分方程:主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法跨章节、跨科目的综合考查题,近几年出现的有:微积分与微分方程的综合题;求极限的综合题等。
线性代数的重要概念包括以下内容:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化。
线性代数的内容纵横交错,环环相扣,知识点之间相互渗透很深,因此不仅出题角度多,而且解题方法也是灵活多变,需要在夯实基础的前提下大量练习,归纳总结。
概率论与数理统计是考研数学中的难点,考生得分率普遍较低。
与微积分和线性代数不同的是,概率论与数理统计并不强调解题方法,也很少涉及解题技巧,而非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。
其考点如下:1)随机事件和概率:包括样本空间与随机事件;概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式);条件概率与概率的乘法公式;事件之间的关系与运算(含事件的独立性);全概公式与贝叶斯公式;伯努利概型。
2)随机变量及其概率分布:包括随机变量的概念及分类;离散型随机变量概率分布及其性质;连续型随机变量概率密度及其性质;随机变量分布函数及其性质;常见分布;随机变量函数的分布。
3)二维随机变量及其概率分布:包括多维随机变量的概念及分类;二维离散型随机变量联合概率分布及其性质;二维连续型随机变量联合概率密度及其性质;二维随机变量联合分布函数及其性质;二维随机变量的边缘分布和条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布。
4)随机变量的数字特征:随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数。
5)大数定律和中心极限定理,以及切比雪夫不等式。
成功备战考研英语—考前必报班! 英语考试全能王有很多,你自己找好的吧结合考研辅导书和大纲,先吃透基本概念、基本方法和基本定理,只有对基本概念深入理解,对基本定理和公式牢牢记住,才能找到解题的突破口和切入点。
分析表明,考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理,理解不准确,基本解题方法没有掌握。
因此,首轮复习必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学原理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫,如果不打牢这个基础,其他一切都是空中楼阁。