正比例函数图像和性质

正比例函数的图像和性质

知识精要

1.正比例函数的图像

一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0

≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。

2.正比例函数性质

精讲名题

例1.若函数y=(m-1)

3

-

m

x

是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。

解:m=4,图像经过第一、三象限。

例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。

解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0

≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x ∴y=-4x+1

例3.已知y 与x 的正比例函数，且当x=6时y=-2

(1)求出这个函数的解析式；

(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；

(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；

(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？

解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 3

1

-=

(2) x y 3

1

-=的定义域是一切实数，图像如图所示：

(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 3

1

4-=，∴a=-12

(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），

当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 3

1

-=上

例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？

解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，

∴k-2<0,∴k<2

例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。

（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。

解：（1）根据题意得a<0,a+3≥0 ∴-3≤a<0 (2) 根据题意得2m+1>0,3m+1<0 解得-1/2

例6.已知正比例函数过A(2，-4),点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0,4），且8ABP =△S ，求：点P 的坐标。 解：设正比例函数解析式为y=k ·x （k 0≠） 已知正比例函数过A(2，-4) ∴-4=2k ，解得k=-2,

∴正比例函数的解析式为y=-2x

如图所示，画出直线y=-2x ，并标出A ，B 两点的位置， 分析题意，点P 的坐标要分两种情况讨论。 设点P 的坐标为(x,，-2x)

1）若点P 在第二象限，则POB AOB ABP △△△S S S +=

根据题意，得8=P A x BO x BO ⋅⋅+⋅⋅2

1

21

8=

P x ⋅⋅+⋅⋅42

1

2421 解得P x =2 又点P 在第二象限，∴P x =-2 ∴点P 的坐标为(-2，4) 2）若点P 在第二象限，则AOB POB ABP △△△S S S -= 根据题意，得8=242

1

421⋅⋅-⋅⋅P x

解得P x =6 又点P 在第四象限，∴P x =6 ∴点P 的坐标为(6，-12) ∴在正比例函数图像上适合条件的P 点有两个：(-2，4)，(6，-12)

热身练习

1．下列关系中的两个量成正比例的是（ C ）

A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度；

B ．正方形的面积与边长

C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；

D ．人的体重与身高 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ C ）

A ．y=4x+1

B ．y=2x 2

C ．y=-5x

D ．y=x 3．下列说法中不成立的是（D ）

A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；

B ．在y=-2

x

中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例

4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ A ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-3

5．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（B ）

A ．y 1>y 2

B ．y 1

C ．y 1=y 2

D ．以上都有可能 6．下列函数中，正比例函数是：（ D ）

A ．25y x

=

B ．25

y x =

－1 C ．245

y x =

D ．25

y x =-

7．形如___y=kx(k 0≠)________的函数是正比例函数．

8．若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则k=___1______．

9．正比例函数y=kx （k 为常数，k<0）的图象依次经过第__二、四______象限，函数值随自变量的增大而___减小______．

10．已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=___-3_____． 11．已知8

2

)3(-+=m

x m y 是正比例函数，则m = 3 ．

12．函数n m x m y n +--=+12)2(，当m= 0 ，n= 0 时为正比例函数；

自我测试

1．已知y 是x 的正比例函数，且当x=2时，y=2，求y 与x 之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y=34时，x 的值。

解：∵y 是x 的正比例函数，设函数解析式为y=kx(k ≠0)

∵当x=2时，y=2k=2 ，解得k=2 ∴函数解析式为y=2x

当y=34时，即2x=34，解得x=62.

2．已知正比例函数y=(5-2k)x 的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围。 解：∵正比例函数y=(5-2k)x 的图像经过第二、四象限

∴5-2k<0，解得2

5

k >