(九年级数学教案)函数的单调性与极值教案
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性的概念及判断方法，函数最大值和最小值的求法及应用。
2. 教学难点：函数单调性的判断方法，求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的单调性和最值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。
2. 教学案例：实际问题涉及函数单调性和最值的解答。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义，介绍判断函数单调性的方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的单调性解决实际问题，体会函数单调性的重要性。
4. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍求函数最大值和最小值的方法。
5. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的最值解决实际问题，体会函数最值的重要性。
6. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性：1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值：1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。
初中数学教案：函数的单调性和极值问题
初中数学教案：函数的单调性和极值问题函数的单调性和极值问题一、引言在初中数学中，函数是一个重要的概念。
函数研究了数值之间的关系，并通过图形来表示这种关系。
其中，函数的单调性和极值问题是数学教学中的一大难点和关键内容。
本文将详细介绍初中数学教案中有关函数单调性和极值问题的教学方法和策略。
二、函数的单调性1. 函数定义在讲解函数的单调性之前，首先需要对函数进行定义。
将两个集合A和B分别称为输入集合和输出集合，如果对于每一个元素a∈A都能找到一个唯一的元素b∈B与之相对应，那么就可以说存在着从A到B上的函数f。
2. 单调增减性在介绍了函数定义之后，可以开始讲解函数的单调增减性。
当对于任意x1、x2∈定义域D上满足x1<x2时，如果f(x1)<f(x2)，则可称该函数具有严格递增性（或简称为增）；反之，若f(x1)>f(x2)，则可称其具有递减性（或简称为减）；当对于任意x1、x2∈D & [x1≠x2]上满足f(x1)≤f(x2)，则可称其具有非严格递增性（或简称为非增）；反之，若f(x1)≥f(x2)，则可称其具有非严格递减性（或简称为非减）。
3. 判断函数的单调性在教学中，可以通过计算函数的导数来判断函数的单调性。
对于处处可导的函数f(x)，当在定义域上，导数恒大于零时，则该函数是递增的；当导数恒小于零时，则该函数是递减的。
4. 实例分析通过一个实例分析来深入理解函数的单调性。
例如：y=x^2-2x+3。
首先求出该函数的一阶导数：y'=2x-2。
然后令y'=0，得到x=1。
因此可以将定义域进行分割成三个部分：(-∞, 1)、(1, +∞) 和 x=1。
接下来取每个区间内的一个点代入原式进行运算，如 x=-2、0、2 分别代入 y=x^2-2x+3 得到 y=11、3、3.这样就可以结合表格和图像判断出该函数在不同区间上的单调性。
三、极值问题1. 极大值和极小值在引入极值问题之前，需要对极大值和极小值进行定义。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案教学目标：1. 理解函数的单调性的概念，并能判断函数的单调性。
2. 掌握函数的最大值和最小值的求法。
3. 能够应用函数的单调性和最大最小值解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 单调性的判断方法1.3 单调函数的性质第二章：函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 利用导数求函数的最大值和最小值2.3 利用单调性求函数的最大值和最小值第三章：实际问题中的单调性和最大最小值3.1 应用单调性解决实际问题3.2 应用最大最小值解决实际问题第四章：函数的单调性与最大最小值的综合应用4.1 利用单调性判断函数的最大值和最小值的存在性4.2 利用单调性求函数的最大值和最小值第五章：案例分析5.1 分析实际问题，确定使用单调性还是最大最小值解决5.2 应用相关知识解决案例教学方法：1. 采用讲解和案例分析相结合的方法，让学生理解和掌握函数的单调性和最大最小值的概念和方法。
2. 通过练习题和小组讨论，巩固知识点，提高解题能力。
教学评估：1. 课堂练习：每章结束后进行课堂练习，检验学生对知识的掌握程度。
教学资源：1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和案例分析题。
教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时通过本教案的学习，学生能够掌握函数的单调性和最大最小值的概念和方法，并能应用于实际问题中。
通过案例分析，培养学生的解决问题能力和思维能力。
由于教案内容较长，这里为您提供第六章至第十章的框架。
第六章：利用单调性与最大最小值解决实际问题6.1 结合实际问题，分析问题特征6.2 应用单调性分析问题6.3 应用最大最小值解决问题第七章：函数的单调性与最大最小值在高中数学中的应用7.1 高中数学中单调性与最大最小值的相关知识7.2 高中数学中单调性与最大最小值的例题解析7.3 单调性与最大最小值在高中数学中的应用案例第八章：函数的单调性与最大最小值在实际生活中的应用8.1 实际生活中的单调性与最大最小值问题8.2 案例分析：生活中的单调性与最大最小值问题8.3 练习：生活中的单调性与最大最小值问题第九章：函数的单调性与最大最小值的教案设计9.1 教案设计原则9.2 教案设计步骤9.3 教案设计案例10.1 教学效果评价10.2 教学方法改进10.3 教学反思重点和难点解析：一、单调性的判断方法：重点关注学生对于单调性定义的理解和运用。
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。
(3) 举例说明函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。
(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。
1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。
教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。
(3) 举例说明函数单调性性质的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。
(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。
教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。
(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。
(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。
3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。
二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。
2. 单调性的判断方法及应用。
3. 实际问题中的单调性应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。
2. 单调性在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。
五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。
3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。
3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。
2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。
八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。
2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。
3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。
4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。
九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。
2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。
四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。
4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。
5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。
六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。
2024全新教学设计教案标准完整版
2024全新教学设计教案标准完整版一、教学内容1. 函数的单调性定义及判定方法；2. 函数极值的定义及判定方法；3. 函数单调性与极值的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握函数单调性、极值的定义及判定方法；2. 能够运用函数单调性与极值的知识解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三、教学难点与重点教学难点：函数单调性与极值的判定方法。
教学重点：函数单调性、极值的定义及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、铅笔、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入通过展示气温变化、股票价格波动等实际案例，引导学生感受函数单调性与极值在实际问题中的应用。
2. 知识讲解（1）函数的单调性定义：设函数f(x)在区间I上任意两点x1、x2（x1 < x2），如果满足f(x1) ≤ f(x2)（或f(x1) ≥ f(x2)），则称函数f(x)在区间I上单调递增（或单调递减）。
判定方法：利用导数的符号判定函数单调性。
（2）函数的极值定义：设函数f(x)在点x0处，如果存在一个邻域（x0δ,x0+δ），使得对于任意x ∈ (x0δ, x0+δ)，都有f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)），则称f(x)在点x0处取得极小值（或极大值）。
判定方法：求导数为0的点，判断左右两侧导数的符号。
3. 例题讲解（1）判定函数单调性；（2）求函数的极值。
4. 随堂练习a. f(x) = x^2 2x + 1，区间[1, 3]；b. f(x) = x^3 + 3x^2，区间[0, 2]。
a. f(x) = x^3 3x，区间[1, 2]；b. f(x) = x^2 2x + 1，区间[1, 3]。
（1）函数单调性与极值之间的关系；（2）如何利用导数求解函数的极值。
六、板书设计1. 函数单调性定义；2. 函数极值定义；3. 函数单调性判定方法；4. 函数极值判定方法；5. 例题解答步骤。
初三数学教案-九年级数学函数的单调性与极值 精品
函数的单调性与极值教案目的要求1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.2.弄清函数极值与最值的区别与联系.3.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力.内容分析1.教科书结合函数图象,直观地指出函数最大值、最小值的概念,从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的.3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a,b]上有定义,是为了保证函数在[a,b]内有最大值和最小值;在(a,b)内可导,是为了能用求导的方法求解.4.求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值,因此,用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.5.有关函数最值的实际应用问题的教学,是本节内容的难点.教学时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性.从此,在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定,有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数,而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.教学过程1.复习函数极值的一般求法①学生复述求函数极值的三个步骤.②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.2.提出问题(用字幕打出)①在教科书中的(图2-11)中,哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?②x=a、x=b是不是极值点?③在区间[a,b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?④一般地,设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,且在(a,b)内有导数.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,你认为应通过什么方法去求解?3.分组讨论,回答问题①学生回答:f(x2)是极大值,f(x1)与f(x3)都是极小值.②依照极值点的定义讨论得出:f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.③直观地从函数图象中看出:f(x3)是最小值,f(b)是最大值.(教师在回答完问题①②③之后,再提问:如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?)④与学生共同讨论,得出求函数最值的一般方法:i)求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.4.分析讲解例题例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.板书讲解,巩固求函数最值的求导法的两个步骤,同时复习求函数极值的一般求法.例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积为多少?用多媒体课件讲解:①用课件展示题目与水箱的制作过程.②分析变量与变量的关系,确定建模思想,列出函数关系式V=f(x),x∈D.③解决V=f(x),x∈D求最值问题的方法(高次函数的最值,一般采用求导的方法,提醒学生注意自变量的实际意义).④用“几何画板”平台验证答案.5.强化训练演板P68练习6.归纳小结①求函数最大值与最小值的两个步骤.②解决最值应用题的一般思路.布置作业教科书习题2.5第4题、第5题、第6题、第7题.。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性；（3）掌握利用函数的单调性求函数的最值。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数的单调性，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，提高学生运用数学知识解决问题的能力；（3）通过解决实际问题，培养学生运用函数的单调性求函数最值的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队协作的精神，提高学生的沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数的单调性的概念及判断方法；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用函数的单调性求函数的最值。
2. 教学难点：（1）函数的单调性的判断方法；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用函数的单调性求函数的最值。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：函数、导数；（2）引导学生思考：函数的单调性是什么？如何判断函数的单调性？2. 知识讲解：（1）讲解函数的单调性的概念及判断方法；（2）讲解利用导数研究函数的单调性；（3）讲解利用函数的单调性求函数的最值。
3. 例题讲解：（1）举例讲解如何判断函数的单调性；（2）举例讲解如何利用导数研究函数的单调性；（3）举例讲解如何利用函数的单调性求函数的最值。
四、课堂练习（1）y = x^2；（2）y = -x^2；（3）y = 2x + 1。
（1）y = x^3；（2）y = -x^3。
（1）y = x^2 4x + 4；（2）y = -x^2 + 4x 4。
五、课后作业（1）y = x^4；（2）y = -x^4；（3）y = 3x^2 + 2x + 1。
（1）y = x^5；（2）y = -x^5。
（1）y = x^2 + 2x + 1；（2）y = -x^2 + 2x 1。
《函数单调性教案》word版
教案名称：《函数单调性教案》课时安排：2课时教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 能够运用函数单调性解决实际问题。
教学内容：第一课时一、导入（10分钟）教师通过生活中的实例引入函数单调性的概念，如商品打折问题，让学生感受函数单调性在实际生活中的应用。
二、新课讲解（30分钟）1. 引导学生回顾一次函数、二次函数的图像特点，分析其单调性；2. 讲解函数单调性的定义，并通过具体例子进行解释；3. 引导学生总结判断函数单调性的方法。
三、案例分析（15分钟）教师给出几个具有代表性的案例，让学生判断其单调性，并解释判断过程。
四、课堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，教师巡回指导。
第二课时五、复习导入（10分钟）教师通过复习上节课的内容，引导学生回顾函数单调性的概念及判断方法。
六、深入学习（30分钟）1. 讲解函数单调性的性质，如单调增函数的图像特点；2. 引导学生探讨函数单调性在实际问题中的应用，如最大值、最小值问题。
七、拓展延伸（15分钟）教师给出一些拓展问题，引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用。
八、课堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，教师巡回指导。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对函数单调性的理解及应用能力；2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解其掌握情况；3. 学生反馈：收集学生对教学内容的意见和建议，以便改进教学方法。
教案名称：《函数单调性教案》课时安排：2课时教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 学会判断函数单调性；3. 能够运用函数单调性解决实际问题。
教学内容：第一课时四、课堂练习（10分钟）1. 学生独立完成练习题，教师巡回指导；2. 选取部分学生的作业进行点评，讲解正确答案和解题思路。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点；2. 学生分享学习心得，提出疑问；3. 教师解答学生疑问，为下一节课的学习做好铺垫。
《函数的单调性与极值》教案(优质课)
《函数的单调性与极值》教案【教学目标】：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二 新课讲授 1 函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会运用单调性判断函数的单调性，并能应用于实际问题中。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
3. 单调性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
四、教学方法1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的教学方法。
2. 利用数形结合的思想，引导学生直观理解函数的单调性。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过回顾初中阶段的反比例函数、二次函数等图像，引导学生关注函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的概念：定义域内单调递增或递减的函数。
3. 讲解函数单调增和单调减的性质：自变量增大，函数值增大（减小）。
4. 判定方法：利用导数或图像判断函数的单调性。
5. 案例分析：分析具体函数的单调性，如f(x)=x^2、f(x)=-x^2等。
6. 练习：让学生独立判断给定函数的单调性，并解释原因。
7. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
8. 作业布置：巩固函数单调性的理解和应用。
六、教学拓展1. 探讨函数单调性与极值的关系：函数在极值点附近单调性发生变化。
2. 引入“局部单调性”概念：函数在某个区间内单调递增或递减。
3. 举例说明局部单调性在实际问题中的应用：优化问题、经济领域等。
七、课堂互动1. 提问：请问同学们认为函数的单调性在实际生活中有哪些应用？2. 学生分享：结合实际例子，如商品价格变动、经济增长等。
3. 教师点评：总结同学们的观点，并强调函数单调性的实际意义。
八、单调性在实际问题中的应用1. 举例说明：商品打折问题、利润最大化问题等。
2. 引导学生运用单调性解决实际问题：分析问题、建立模型、求解。
3. 课堂练习：让学生自主解决一个实际问题，如温度变化、速度与时间等。
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的引入1.1 概念理解引导学生回顾初中阶段的一次函数、二次函数的图像，理解函数值随着自变量变化的大致趋势。
引出函数单调性的概念：在某区间内，若函数值随着自变量的增大（或减小）而增大（或减小），则称该函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
1.2 实例分析通过具体的一次函数、二次函数图像，让学生识别函数的单调递增区间和单调递减区间。
分析实际问题中的应用场景，如商品价格随销量变化的关系等，让学生感受函数单调性的实际意义。
第二章：函数单调性的证明2.1 概念理解引导学生掌握单调递增和单调递减的定义，理解其数学表达式。
引出函数单调性证明的方法：定义法、图像法、导数法。
2.2 证明方法学习通过具体例子，让学生学会使用定义法、图像法、导数法证明函数的单调性。
分析各种方法的优缺点，让学生在实际问题中能灵活选用合适的证明方法。
第三章：函数单调性与最值3.1 概念理解引导学生理解函数最值的概念，即函数在定义域内的最大值和最小值。
引出函数单调性与最值的关系：在单调递增区间内，函数值随着自变量增大而增大，在单调递减区间内，函数值随着自变量增大而减小。
3.2 实例分析通过具体例子，让学生学会利用函数单调性求解最值问题。
分析实际问题中的应用场景，如成本控制、收益最大化等，让学生感受函数单调性与最值在实际问题中的重要性。
第四章：函数单调性的应用4.1 概念理解引导学生理解函数单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
引出函数单调性在解不等式、求解实际问题中的作用。
4.2 实例分析通过具体例子，让学生学会运用函数单调性解决实际问题。
分析实际问题中的应用场景，如利润最大化、成本最小化等，让学生感受函数单调性在实际问题中的价值。
第五章：函数单调性的综合练习5.1 练习题解析提供一系列关于函数单调性的练习题，让学生独立解答。
对学生解答过程中遇到的问题进行讲解和指导，帮助学生巩固函数单调性的知识点。
“函数的单调性”教案
“函数的单调性”教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够运用函数单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对函数知识的兴趣。
二、教学内容1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究函数单调性的定义与性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握判断函数单调性的方法。
3. 结合实际问题，培养学生运用函数单调性解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的定义与性质：详细讲解函数单调性的概念，引导学生理解并掌握函数单调性的性质。
3. 判断函数单调性的方法：讲解如何判断函数的单调性，引导学生通过实例分析来掌握判断方法。
4. 运用函数单调性解决实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数单调性进行解决，培养学生的应用能力。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。
6. 布置作业：设计具有针对性的作业，巩固学生对函数单调性的理解和掌握。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解程度，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的困惑。
2. 作业批改：重点关注学生对函数单调性概念的掌握和判断方法的运用，及时给予反馈和指导。
3. 课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生在课堂上独立完成，检验学生对函数单调性的掌握情况。
七、教学拓展1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。
2. 介绍函数单调性在实际应用中的重要作用，如经济学、物理学等领域。
3. 鼓励学生进行课外阅读，了解函数单调性的更多相关知识，提高学生的知识面。
八、教学反思1. 反思教学过程中的优点和不足，总结经验教训，为今后的教学提供参考。
函数单调性与极值教案
函数单调性与极值（三课时)第一课时教学目的：进一步熟悉函数单调性的定义，熟悉用定义证明函数单调性；直观地理解导数的符号与单调性的关系，能用求导的方法判断函数单调性以及求函数单调区间教学重点：导数与函数单调性的关系教学难点：导数与函数单调性的关系教学过程：一、复习：1．多项式的导数求法，函数在某一点处的导数与这一点处的切线斜率的关系巩固练习：(1)若曲线y=x 3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )(A) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x 5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x 垂直，则此切线方程为( )(A) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非(3)曲线y=x 3/3-x 2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .2．调递增与单调递减的意义3．如何用定义法证明函数的单调性例1 已知函数y=2x 3-6x 2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.引入：在上述运算过程中我们发现运算量比较大，而且还涉及到符号判断，有一定的难度。
但是函数单调性体现出了函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，则当x 增大时，y 变小，因此当自变量x 的增量△x 大于0时，函数值y 的增量△y 也大于零，于是为正，当△x 无限趋x y ∆∆近于零时，的根限值为正，因此对应的导数值为正，反之亦然.xy ∆∆同理，若函数在区间(a,b)内单调递减，则在(a,b)内的每一点处的导数值为负，反之亦然.说明：引入时可用几何画板演示说明：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么'y y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么y=f(x)为这个区间'y内的减函数.回顾：证明函数在某区间上的单调性的常用方法：(1)单调性定义法(2)导数判断法二、例题例2 确定函数y=2x 3-6x 2+7的单调区间，并分别说明在各单调区间内的单调性回顾：用导数法确定函数的单调性时，一般的步骤是：(1)求出函数的导函数)('x f (2)求解不等式>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间)('x f (3)求解不等式<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间)('x f 值得注意的是不等式的解集与单调区间不是同一个概念，若解是由几部份的“并”组成的，则单调区间不应有“并集”运算出现。
函数单调性及极值教案
学海教育个性化辅导教案 教师学生 授课时间 授课题目《函数的单调性与最值》 教学目标或要求教学重点、难点教学内容：1、函数的单调性（1） 函数的单调区间必须在定义域内。
分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并.如：求函数xy 1=的单调区间。
（2）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；（3）函数单调性的证明、判断和求单调区间：定义法,导数法。
定义法：对任意的()b a x x ,,21∈，21x x <，判断()()21x f x f -的符号，两法因式分解和配方法，以()R x x x f y ∈==,3说明之（4）初等函数的单调性：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等函数的单调区间。
具体说明。
（5）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。
如求函数21x y =的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
（6）简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
2、函数的最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
第三节函数的单调性与极值学习教案
且 f '( x0) 0, f ''( x0) 0, 那末
(1)当 f ''( x0) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值;
(2)当 f ''( x0) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值.
证
(1)
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
0,
第14页/共24页
第十五页，编辑于星期二：十四点 八分。
定理2 (第一充分条件)
y
o
x0
x
y
o
x0
x
第15页/共24页
第十六页，编辑于星期二：十四点 八分。
y
f ( x) 0
f ( x) 0
o
x0
x
(不 是 极 值 点 情形)
求极值的步骤:
y f ( x) 0
f ( x) 0
o
x0
x
第16页/共24页
第十二页，编辑于星期二：十四点 八分。
1. 函数极值的定义
定义
第12页/共24页
第十三页，编辑于星期二：十四点 八分。
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同； 注2：极大值可能小于极小值,极小值可能大于 极大值.
第13页/共24页
在(0,)内, y 0, 函数单调增加.
注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点
处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调．
第5页/共24页
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标：1. 理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 掌握函数最大值和最小值的求法，能够运用单调性求解函数的最值。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 函数最大值和最小值的求法。
3. 运用单调性求解函数的最值。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。
2. 运用单调性求解函数的最值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 采用案例分析法，分析具体函数的单调性。
3. 采用练习法，让学生通过练习求解函数的最值。
五、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。
2. 相关数学教材、辅导资料。
3. 函数图像展示软件。
4. 练习题。
一、函数单调性的定义与判断方法：1. 引入单调性的概念，通过具体例子讲解单调递增和单调递减的定义。
2. 讲解单调性的判断方法，如何利用导数或图像判断函数的单调性。
二、函数最大值和最小值的求法：1. 引入函数最值的概念，讲解局部最大值和全局最大值的求法。
2. 讲解利用导数求解函数最值的方法，包括一阶导数法和二阶导数法。
三、运用单调性求解函数的最值：1. 讲解如何利用单调性求解函数的最值，给出求解步骤。
2. 通过具体例子，演示如何运用单调性求解函数的最值。
四、函数单调性的应用：1. 讲解函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
2. 通过案例分析，让学生学会如何运用函数单调性解决问题。
2. 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣，进一步深入研究函数的性质。
3. 布置作业，巩固所学知识。
六、实例分析与练习：1. 分析具体函数的单调性，通过例题展示如何判断函数的单调递增或单调递减。
2. 提供一组练习题，让学生独立判断给定函数的单调性，并解释判断过程。
七、利用导数找函数的临界点：1. 回顾导数的基本概念，解释导数如何帮助我们研究函数的单调性。
2. 展示如何利用导数找到函数的临界点，即可能的极值点。
初中数学教案：函数的单调性和极值问题
初中数学教案：函数的单调性和极值问题函数的单调性和极值问题一、引言函数是数学中的重要概念之一，它是描述两个变量之间关系的工具。
在初中数学中，学生需要掌握函数的基本知识，并能够应用函数解决实际问题。
本教案将重点介绍函数的单调性和极值问题，帮助学生深入理解函数的特性和应用。
二、函数的单调性1. 函数的增减性在数学中，函数的单调性是指函数在定义域上的取值随着自变量的变化而增大或减小。
函数分为递增和递减两种情况。
a. 递增函数：函数在定义域上的取值随着自变量的增加而增大，符号表示为f(x₁) < f(x₂)，其中x₁ < x₂。
b. 递减函数：函数在定义域上的取值随着自变量的增加而减小，符号表示为f(x₁) > f(x₂)，其中x₁ < x₂。
2. 函数的单调区间函数的单调区间是指函数在这个区间内是递增或递减的区间。
需要注意的是，函数在单调区间的端点处可以是极值点。
a. 递增区间：函数在这个区间内递增。
b. 递减区间：函数在这个区间内递减。
三、函数的极值问题1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
极大值和极小值统称为极值。
2. 极值判断的方法a. 寻找函数的导数：函数的导数可以帮助我们找到函数的极值点。
通过求导，我们可以得到函数的增减区间，从而找到极值点。
b. 寻找函数的驻点：函数的驻点是指函数的导数等于零的点。
函数在这些点上可能取得极值，但并不一定是极值点。
c. 求解函数的二阶导数：二阶导数可以帮助我们判断函数的驻点是极大值点还是极小值点。
若二阶导数大于零，则为极小值点；若二阶导数小于零，则为极大值点。
四、实例演练为了帮助学生更好地理解函数的单调性和极值问题，以下是一些实例演练。
1. 实例一已知函数f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1，求函数的单调区间和极值点。
解析：a. 求导得到f'(x) = 3x² - 6x + 2。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》教案章节：一、函数单调性的概念教学目标：1. 了解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数的单调性；2. 给出函数单调性的定义，解释单调递增和单调递减的概念；3. 讲解函数单调性的判断方法，引导学生进行判断；4. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
教案章节：二、函数单调性的判断方法教学目标：1. 学会判断函数的单调性；2. 掌握函数单调性的判断方法；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 回顾函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 复习函数单调性的概念，引导学生回顾上一节课的内容；2. 讲解函数单调性的判断方法，如导数法、图像法等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；4. 练习判断函数的单调性，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
教案章节：三、函数单调性与最优化问题教学目标：1. 了解函数单调性与最优化问题的关系；2. 学会应用函数单调性解决最优化问题；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。
教学内容：1. 引入函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用，如求函数的最大值、最小值等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如成本最小化问题、收益最大化问题等；4. 练习解决最优化问题，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的单调性与极值教案
九年级数学教案
目的要求
1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.
2.弄清函数极值与最值的区别与联系.
3.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力.
内容分析
1.教科书结合函数图象,直观地指出函数最大值、最小值的概念,从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.
2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的.
3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a,b]上有定义,是为了保证函数在[a,b]内有最大值和最小值;在(a,b)内可导,是为了能用求导的方法求解.
4.求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值,因此,用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.
5.有关函数最值的实际应用问题的教学,是本节内容的难点.教学时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性.从此,在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定,有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数,而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.
教学过程
1.复习函数极值的一般求法
①学生复述求函数极值的三个步骤.
②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.
2.提出问题(用字幕打出)
①在教科书中的(图2-11)中,哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?
②x=a、x=b是不是极值点?
③在区间[a,b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?
④一般地,设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,且在(a,b)内有导数.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,你认为应通过什么方法去求解?
3.分组讨论,回答问题
①学生回答:f(x2)是极大值,f(x1)与f(x3)都是极小值.
②依照极值点的定义讨论得出:f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.
③直观地从函数图象中看出:f(x3)是最小值,f(b)是最大值.
(教师在回答完问题①②③之后,再提问:如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?)
④与学生共同讨论,得出求函数最值的一般方法:
i)求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);
ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
4.分析讲解例题
例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
板书讲解,巩固求函数最值的求导法的两个步骤,同时复习求函数极值的一般求法.
例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积为多少?
用多媒体课件讲解:
①用课件展示题目与水箱的制作过程.
②分析变量与变量的关系,确定建模思想,列出函数关系式V=f(x),x∈D.
③解决V=f(x),x∈D求最值问题的方法(高次函数的最值,一般采用求导的方法,提醒学生注意自变量的实际意义).
④用“几何画板”平台验证答案.
5.强化训练
演板P68练习
6.归纳小结
①求函数最大值与最小值的两个步骤.
②解决最值应用题的一般思路.
布置作业。