李雅普诺夫方法在线性系统的应用

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1．预备知识 (1)1.1李雅普诺夫第一法 (5)1.2李雅普诺夫第二法 (1)1.3线性系统的特征 (2)2．李雅普诺夫意义下的稳定性 (2)2.1稳定与一致稳定 (2)2.2 渐进稳定和一致渐近稳定 (3)2.3 不稳定 (3)3．李雅普诺夫稳定性定理 (3)4．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 (4)小结 (7)参考文献 (7)李雅普诺夫方法在线性系统中的应用摘要：在判定线性系统稳定性时，李雅普诺夫方法的优点在于无须求解系统方程的解，就能对系统的稳定性进行分析．文章介绍了李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的应用．关键词：正定矩阵；标量函数；渐近稳定Application of Lyapunov’s method in linear system Abstract:In determining the stability of linear systems, the advantages of the Lyapunov’s method is without solving the system equation, which can analyze the stability of the systems .we introduce the application in linear system analysis in Lyapunov stability in the paper.Keywords: positive definite matrix; Scalar function; asymptotic stability前言自动控制系统最重要的特性之一是稳定性．系统的稳定性，表示在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”[]1．本文中，我们把研究对象集中到线性系统上，来讨论线性系统的稳定性问题．对于这个问题的讨论，都是建立在李雅普诺意义的稳定性的基本概念之上的．１．预备知识1.1李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性．对于线性定常系统，只需解出特征方程的解即可作出稳定性判断．1.2李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，是通过构造一个类似于“能量”的李雅普诺夫函数，并分析它和其一次导数的定号性，直接对系统平衡状态的稳定性作出判断．1.3线性系统的特征线性系统的特征[]2，现以线性持续系统为例来说明．设系统输入为()1x t 与()2x t 时，其输出分别为()1y t 与()2y t ，即 ()()11x t y t →(1)()()22x t y t →(2)对于线性系统，有()()()()1212t t t t y y x x +→+ (3)所以线性系统具有叠加性．若有n 个相同的输入，即()()()12n x t x t x t === (4)对于线性系统有()()()()11n niiiii i x t nx t y t ny t ===→=∑∑ (5)比较式（1）与式（5）可知，n 为比例因子，故线性系统具有比例性．有以上分析可知，线性系统是同时具有叠加性与比例性的系统．2. 李雅普诺夫意义下的稳定性研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况．一般来说，系统可以描述为 (),X f x t = 式中 X 为n 维状态向量．当在任意时间都能满足(),0e f x t =(6)时，称e X 为系统的平衡状态．反之满足式(6)的一切x 值均是系统的平衡点，对于线性定常系统(),X f X t AX ==，A 为非奇异矩阵，0X =是其唯一的平衡状态；如果A 是奇异的，则式(6)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态． 2.1稳定与一致稳定设e X 为(),X f x t =的一个孤立平衡状态．如果对球域()S ε或任意正实数0ε>,都可找到另一个正实数()0,t δε或球域()S ε，当初始状态0X 满足()00,e X X t δε-≤时，对X 有0lim e t X X ε→∞-≤，则此系统为李雅普诺夫意义下的稳定．如果δ与初始时刻0t 无关，则称平衡状态e X 为一致稳定． 2.2 渐进稳定和一致渐近稳定设e X 为系统方程(),X f x t =的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且充分靠近eX 的任一初始状态0X 都有0lim 0e t X X →∞-=或()()lim 01,2,,i ie t x x i n →∞-==，即收敛用于平衡状态e X ，则称平衡状态 e X 为渐近稳定．如果δ与初始时刻0t 无关，则称平衡状态e X 为一致稳定．如果对于状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐进稳定特性．即()()lim 01,2,,i ie t x x i n →∞-==对所有点都成立，称平衡状态e X 为大范围渐近稳定．可见，这样的系统只能有一个平衡状态．由于线性定常系统有唯一解，所以线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的． 2.3不稳定如果平衡状态e X 既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当0t t ≥并无限大时，从0X 出发的状态轨线最终超越()S ε域，则称平衡状态e X 为不稳定的．3．李雅普诺夫稳定性定理（1）设系统的状态方程[]3为 (),X f X t =式中，()()00,0f t t t =≥如果有连续一阶偏导数的标量函数(),X t V 存在，并且满足以下条件：(),X V t 是正定的； (),X t V 是负定的．则在原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果X →∞，有(),V X t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的．（2）设系统的状态方程[]4为(),X f X t =式中()()00,0f t t t =≥．如果存在一标量函数(),X V t ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：(),X V t 是正定的； (),X t V 是半负定的；()()0,0,,V t X t t φ对任意0t 和任意0x ≠,在0t t >时不恒等于零．则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果还有X →∞时，(),V X t →∞，则为大范围渐近稳定．式中()00,,t X t φ表示0t t =时从0x 出发的轨线．（3）设系统方程为(),X f X t =式中，()()00,0f t t t =≥．如果存在一个标量函数(),X V t ，它具有连续的一阶导数，且满足下列条件：(),X V t 是正定的；(),X t V 是半负定的，但在某一X 值恒为零．则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫定义下是稳定的，但非渐近稳定．（4）设系统的状态方程为(),,X f X t =式中，()()00,0f t t t =≥．如果存在一个标量函数(),X V t ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：(),X V t 在原点的某一邻域内是正定的； (),X t V 在同样的邻域内是正定的． 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的．4．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析[]13- (1)线性定常系统的稳定性分析线性定常系统():,,A b c ∑,,x Ax bu y cx =+=平衡状态0e x =渐近稳定的充要条件是矩阵A 的所有特征值均具有负实部．例 1 设系统的状态空间表达式[]1为：101,011x x u -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,y x =试分析系统的状态稳定性．解 由A 阵的特征方程：[]()()det 110I A λλλ-=+-=，可得特征值11λ=-，21λ=．故系统的状态不是渐近稳定的．（用李雅普诺夫第一法计算）(2)线性定常连续系统渐近稳定性分析设线性定常连续系统为：x Ax =则平衡状态0e x =为大范围渐近稳定的充要条件是：A 的特征根均具有负实部．例 2 已知系统状态方程[]2：0123x x ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，试分析系统平衡点的稳定性．解 设11122122pp P p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，Q I =，代入TAP PA I +=-，得 1112111221222122020110,132301p p p p p p p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 将上式展开，并令各对应元素相等，可解得：51441144P ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 根据西尔维斯特判据知：154∆=>0, 25114411444⎛⎫ ⎪∆==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭>0． 故矩阵P 是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐近稳定的．或者由于：()()2211221524T V x x Px x x x x ==++ 是正定的，而()2212T V x Qx x x ⋅=-=-+是负定的．也可得出上述结论．(3)线性时变连续系统稳定性分析设系统()()X A t X t =的矩阵A 是t 的函数（即时变函数），则系统在平衡点0e x =处是大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵()Q t ，存在一个连续对称正定矩阵()P t ，使得()()()()()(),P t A t P t P t A t Q t =---而系统的李雅普诺夫函数[]4是 ()()()(),T V X t X t P t X t =．(4)线性定常离散系统的稳定性分析线性定常离散系统的状态方程为：()()+1=X k GX k0e X =当系统在平衡点0e X =是大范围渐近稳定时，其充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q ，都存在对称正定矩阵P ，使得T G PG P Q -=- （3-4）而系统的李雅普诺夫函数是()()()TV X k X k PX k =⎡⎤⎣⎦．特别当取Q I =时，式（3-4）可写成T G PG P I -=-．例 3 设线性离散系统状态方程[]4为()()120=1=,0x k x k λλ⎛⎫⎪⎝⎭试确定系统在平衡点处渐近稳定条件．解 由T G PG P I -=-得：111121111222122221220010,0001p p p p p p p p λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 展开简化整理后得：()()()211112122222111011p p p λλλλ-=-=-=． 可解出：2122101101P λλ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ． 要使P 为正定的实对称矩阵，必须满足：11λ<和 21λ< ．可见只有当系统的极点落在单位圆内时，系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的．(5)线性时变离散系统稳定性分析设线性时变离散系统的状态方程[]2为：()()()+1=1,,x k G k k x k +则平衡状态0e x =为大范围渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的正定实对称矩阵()Q k ，必存在一个正定的实对称矩阵()1P k +，使得：()()()()()1,11,T G k k P k G k k P k Q k +++-=-成立．并且()()()(),TV x k k x k P k x k =⎡⎤⎣⎦是系统的李雅普诺夫函数．小结本文介绍了李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的理论和应用，它的基本思路是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性作出判断,在应用中的关键问题是寻找满足判据条件的李雅普诺夫函数.参考文献[1]李训经．控制理论基础[M]. 北京：高等教育出版社.2002． [2]刘豹．现代控制理论[M]. 北京：机械工业出版社.2000． [3]郑大钟．线性系统理论第二版[M]. 北京：清华大学出版社.2005．[4]于长官．现代控制理论第3版[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社.2005．。