李雅普诺夫方法在线性系统的应用

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

前言 (1)

1．预备知识 (1)

1.1李雅普诺夫第一法 (5)

1.2李雅普诺夫第二法 (1)

1.3线性系统的特征 (2)

2．李雅普诺夫意义下的稳定性 (2)

2.1稳定与一致稳定 (2)

2.2 渐进稳定和一致渐近稳定 (3)

2.3 不稳定 (3)

3．李雅普诺夫稳定性定理 (3)

4．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 (4)

小结 (7)

参考文献 (7)

李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

摘要：在判定线性系统稳定性时，李雅普诺夫方法的优点在于无须求解系统方程的解，就能对系统的稳定性进行分析．文章介绍了李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的应用．

关键词：正定矩阵；标量函数；渐近稳定

Application of Lyapunov’s method in linear system Abstract:In determining the stability of linear systems, the advantages of the Lyapunov’s method is without solving the system equation, which can analyze the stability of the systems .we introduce the application in linear system analysis in Lyapunov stability in the paper.

Keywords: positive definite matrix; Scalar function; asymptotic stability

前言

自动控制系统最重要的特性之一是稳定性．系统的稳定性，表示在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”[]1．本文中，我们把研究对象集中到线性系统上，来讨论线性系统的稳定性问题．对于这个问题的讨论，都是建立在李雅普诺意义的稳定性的基本概念之上的．１．预备知识

1.1李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性．对于线性定常系统，只需解出特征方程的解即可作出稳定性判断．

1.2李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法又称直接法，是通过构造一个类似于“能量”的李雅普诺夫函数，并分析它和其一次导数的定号性，直接对系统平衡状态的稳定性作出判断．

1.3线性系统的特征

线性系统的特征[]

2，现以线性持续系统为例来说明．设系统输入为()1x t 与()2x t 时，其输出分别为()1y t 与()2y t ，

即 ()()

11x t y t →

(1)

()()22x t y t →

(2)

对于线性系统，有

()()()()1

2

1

2

t t t t y y x x +→+ (3)

所以线性系统具有叠加性．若有n 个相同的输入，即

()()()12n x t x t x t ==

= (4)

对于线性系统

有

()()()()1

1

n n

i

i

i

i

i i x t nx t y t ny t ===→=∑∑ (5)

比较式（1）与式（5）可知，n 为比例因子，故线性系统具有比例性．有以上分析可知，线性系统是同时具有叠加性与比例性的系统．

2. 李雅普诺夫意义下的稳定性

研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况．一般来说，系统可以描述为 (),X f x t = 式中 X 为n 维状态向量．

当在任意时间都能满足

(),0

e f x t =

(6)

时，称e X 为系统的平衡状态．反之满足式(6)的一切x 值均是系统的平衡点，对于线性定常系统(),X f X t AX ==，A 为非奇异矩阵，0X =是其唯一的平衡状态；如果A 是奇异的，则式(6)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态． 2.1稳定与一致稳定

设e X 为(),X f x t =的一个孤立平衡状态．如果对球域()S ε或任意正实数0ε>,都可找到另一个正实数()0,t δε或球域()S ε，当初始状态0X 满足()

00,e X X t δε-≤

时，对X 有0lim e t X X ε→∞

-≤，则此系统为李雅普诺夫意义下的稳定．如果δ与初始时

刻0t 无关，则称平衡状态e X 为一致稳定． 2.2 渐进稳定和一致渐近稳定

设e X 为系统方程(),X f x t =的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且充分靠近e

X 的任一初始状态0X 都有0lim 0e t X X →∞

-=或()()lim 01,2,

,i ie t x x i n →∞

-==，即收敛用于

平衡状态e X ，则称平衡状态 e X 为渐近稳定．如果δ与初始时刻0t 无关，则称平衡状态e X 为一致稳定．

如果对于状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐进稳定特性．即

()()lim 01,2,

,i ie t x x i n →∞

-==对所有点都成立，称平衡状态e X 为大范围渐近稳定．可

见，这样的系统只能有一个平衡状态．由于线性定常系统有唯一解，所以线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的． 2.3不稳定

如果平衡状态e X 既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当0t t ≥并无限大时，从0

X 出发的状态轨线最终超越()S ε域，则称平衡状态e X 为不稳定的．

3．李雅普诺夫稳定性定理

（1）设系统的状态方程[]3为 (),X f X t =

式中，()()00,0f t t t =≥如果有连续一阶偏导数的标量函数(),X t V 存在，并且满足以下条件：

(),X V t 是正定的； (),X t V 是负定的．

则在原点处的平衡状态是渐近稳定的．如果X →∞，有(),V X t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的．

（2）设系统的状态方程[]

4为(),X f X t =式中()()00,0f t t t =≥．如果存在一标量函数(),X V t ，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：