李雅普诺夫稳定性分析方法(精选)
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第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
0
方程的解（运动或状态轨线）为： x(t; x 初始状态向量
, t0 )
初始时刻
x(t0 ; x 0 , t0 ) x 0
f (x, t ) x
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化
e f (x e , t ) 0 x
所有状态的变化速度为零，即是静止状态 线性定常系统：
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总
能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平 衡状态。
1
1
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有 界输入有界输出稳定的。
（2）求系统的特征方程：
6 det(I A) ( 2)( 3) 0 1 1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
例 : 用间接法判断下列系统的稳定性 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x1 x2 1 ） , 2） , 3） x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2
李雅普诺夫稳定性分析方法
则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
稳定性与李雅谱诺夫方法
（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
，有：
若用 那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离，用点集
表示以
为中心 为半径的超球体，
（4）
在n维状态空间中，有：
（5）
当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 位于球 ， 则意味着 域 内，便有： 同 理，若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即 （5） 式中
由稳定性判据可知，当 一个正定对称矩阵，则 定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为：
则平衡状态 证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P，使得ATP+PA<0
定理：线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定实对称矩阵Q，若存在正定实对称矩阵P， 满足 则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意： 1. 先选Q>0，之后代入李雅谱诺夫方程求取P，然后判定P的正定性，进而得出系统稳定与否的结论； 2. 通常选Q=I；
第五章李雅普诺夫稳定性分析
即 x e = f (xe , t) = 0 。
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
最新精品课件9-4 李雅普诺夫稳定性分析
t
t
则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严 格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范 范围渐近稳定的。
(5) 不稳定性
若对某个 0 ，无论 0如何小，从 S ( ) 内 的某x0出发的轨线超出 S ( )， 则称xe是不稳定。
S ( )
即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李 雅普诺夫意义下稳定。 进一步证明(9-391)成立的 充要条件。将系统变换成约当标准形 1 ||eAt ||· ||P ||； A PA P ； ||eAt ||=||P-1||·
得知，|| eAt ||有界等价于|| eAt||有界，而且约当标准 形的每一个元素都具有如下形式 t i 1e ( i j i ) t 式中 i j i i 是矩阵A的特征值， i 是 i的重 数。 0 的元素在[0,∞)上有界， i 0 的元素 i 只有当 i 1 (单根)时，才能在[0,∞)上有界； 至此，得证：当且仅当命题(1)的条件成立时，系 统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。
(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定
的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( ≤0 ) 实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的 单根。
要条件是， A的所有特征值均具有负实部。
(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充
证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t≥0，有 At x e 0； A x e 0； x e e x e ； 对于初始状态 x0≠xe，有 (9-390) x e A t x 0 ；~ x x x e e A t (x 0 x e )，t 0； 对于任意给定的 0 ，当且仅当 At (9-391) e k 时，存在与初始时刻无关的 ( ) / k ，使得由任 意初始状态 x 0 x e ( ) 出发的运动轨线都满足 At ~ x e x 0 x e k ， t t 0 ， k
t
则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严 格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范 范围渐近稳定的。
(5) 不稳定性
若对某个 0 ，无论 0如何小，从 S ( ) 内 的某x0出发的轨线超出 S ( )， 则称xe是不稳定。
S ( )
即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李 雅普诺夫意义下稳定。 进一步证明(9-391)成立的 充要条件。将系统变换成约当标准形 1 ||eAt ||· ||P ||； A PA P ； ||eAt ||=||P-1||·
得知，|| eAt ||有界等价于|| eAt||有界，而且约当标准 形的每一个元素都具有如下形式 t i 1e ( i j i ) t 式中 i j i i 是矩阵A的特征值， i 是 i的重 数。 0 的元素在[0,∞)上有界， i 0 的元素 i 只有当 i 1 (单根)时，才能在[0,∞)上有界； 至此，得证：当且仅当命题(1)的条件成立时，系 统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。
(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定
的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( ≤0 ) 实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的 单根。
要条件是， A的所有特征值均具有负实部。
(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充
证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t≥0，有 At x e 0； A x e 0； x e e x e ； 对于初始状态 x0≠xe，有 (9-390) x e A t x 0 ；~ x x x e e A t (x 0 x e )，t 0； 对于任意给定的 0 ，当且仅当 At (9-391) e k 时，存在与初始时刻无关的 ( ) / k ，使得由任 意初始状态 x 0 x e ( ) 出发的运动轨线都满足 At ~ x e x 0 x e k ， t t 0 ， k
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
第四章李雅普诺夫稳定性理论
即:
(1) p11 0,
(1)2 p11 p21
p12 0, ,(1)n p22
p11 p12 p1n
p21
p22
p2n
0
pn1 pn2 pnn
28
第29页/共73页
例 判断下列二次型函数的正定性。
V (x) 10x12 4x22 x32 2x1x2 2x2 x3 4x1x3
其平衡状态满足
(
)，并设在原点邻域存在
V (x,t)
x f (x,t)
，假定状态空间原点作为平衡状态
f (0, t) 0 对 x 的连续的一阶偏导数。 xe 0
30
第31页/共73页
• 定理1：若(1)
V ( 正定； x,t)
V (x, t) (2)
负定；
则原点是渐近稳定的。
(3) 当
时
,
V ( x, t) x 则系统在原点处是大范围渐近稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。
1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 9 第10页/共73页
2.渐近稳定
1）是李雅普诺夫意义下的稳定
2）lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
都有lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
10
第11页/共73页
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
❖线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
李雅普诺夫稳定性分析方法
1)平衡状态
为李雅普诺夫意义下的稳定,
2)存在可任给的实数μ>0,能使任一初始时刻 出 发的受扰运动满足
• 注意,该定义只能应用于平衡状态不随时间变化的 平衡状态.
4.大范围内的渐近稳定.
• 如果由系统状态的所有初始状态出发,其扰
动运动都是渐近稳定的,则这时的平衡状态
称为大范围内渐近稳定的.或说
的
（1）Lyapunov第一方法: • 也称间接法,属于小范围稳定性分析方法。 • 基本思路是:将非线性自治系统运动方程在
足够小的邻域内进行泰勒展开导出一次近似 线性系统.再根据线性系统特征值在复平面 上分布,推断非线性系统在邻域内的稳定性. • 在Lyapunov第一法中,有一个基础性的问题, 即将非线性方程线性化的问题.
设是平衡点即满足2siny??aybyxx?????00xy200000siny??aybyxx??????由于均为常数则从而有?令则方程左边是00xy000y??y???2000sinbyxx??00xxxyyy??????0y??aybyby????????将方程右边在次项忽略高次项故有点处用泰勒展开并取到一?从而有0x220000sin2sincosxxxxxxxx????????200000sin2cosy??aybyby???xxxxx??????????显然代入后得到?两边进行拉氏变换得初始状态则2000sinbyxx??002cosy??aybyxxx?????????00y??200ys2cosxssasbxx???????则有?故线性模型gs描述了非线性方程在处和的运动特性而laypunov第一方法则是根据gs的特征值来分析其在小扰动范围内运动稳定性
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
李雅普诺夫稳定性分析(二)
但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函 数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫 函数总是存在的，但并不唯一。 3) 对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可 证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的， 但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定 的; 4) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普 诺夫函数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状 态方程而具体分析。
2 V (x) = x12 + x2 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 ≤ 0
由于V’(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知， 系统为一致稳定的。
′ x1 = x2 ′ x2 = − x1 − x2
对例5-5，选取李雅普诺夫函数为
1 2 2 V ( x , t ) = ( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 + x2 2
T
例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。
x3
k s +1
1 s+2
x2
1 s
x1
-
解: 由图可写出系统的状态方程为 ɺ 1 0 x1 x1 0 x = 0 x ɺ2 −2 1 2 x3 − k 0 − 1 x 3 ɺ
解出p11、p12和p22，得
p11 p12 1 3 1 P= = 2 1 2 p12 p22
为了验证对称矩阵P的正定性，用合同变换法 检验如下:
1 3 1 行( 2) −(1) / 3→( 2) 1 9 0 P= ⇒ 2 1 2 列( 2)−(1) / 3→( 2) 6 0 5
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
4李雅普诺夫稳定定性分析
2 如 V ( x) ( x1 2x2 ) ，当 x1 2 x2 时 V ( x) 0 ；
当 x1 2 x2 时， V ( x) 0 ，故V(x)为负半定，
2 而 V ( x) ( x1 2 x2 ) 为正半定。
不定性： V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。
态轨迹在原点邻域发散。 对线性系统来说，原点不稳定即系统不稳定；
对非线性系统来说，并不能说明系统不稳定。
还可推论：当 V ( x, t ) 正半定，且 V [ x(t ; x0 , t 0 ), t ] 在非 零状态不恒为零时，则原点不稳定；
[ x(t; x , t ),t ]在非零状态恒为零时，则原点是李雅普诺 若V 0 0
变换将其置于原点上，而坐标变换不会改变系统方 程的固有性质），并设在原点邻域存在 V ( x, t ) 对x 的连续的一阶偏导数。
定理1
若（1） V ( x, t ) 正定； （2）V ( x, t ) 负定；则原点是渐进稳 定的。 浅释： V ( x, t ) 负定表示能量随时间连续单
调地衰减，故与渐进稳定性定义叙述一致。
Ax 渐进稳定的充要条件是：系统矩阵 系统 x
的全部特征值位于复平面的左半部，即
Re(i ) 0 i 1,, n
李雅普诺夫第二法（直接法）
根据古典力学的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时
间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统 的能量函数表达式是相当复杂的。李雅普诺夫提出，可虚构一 个能量函数，后来被称为李雅普诺夫函数，记为 V ( x, t ) ； 若不显含t，则记为 V ( x) 。它是一个标量函数，考虑到能量 总大于零，故为正定函数。
当 x1 2 x2 时， V ( x) 0 ，故V(x)为负半定，
2 而 V ( x) ( x1 2 x2 ) 为正半定。
不定性： V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。
态轨迹在原点邻域发散。 对线性系统来说，原点不稳定即系统不稳定；
对非线性系统来说，并不能说明系统不稳定。
还可推论：当 V ( x, t ) 正半定，且 V [ x(t ; x0 , t 0 ), t ] 在非 零状态不恒为零时，则原点不稳定；
[ x(t; x , t ),t ]在非零状态恒为零时，则原点是李雅普诺 若V 0 0
变换将其置于原点上，而坐标变换不会改变系统方 程的固有性质），并设在原点邻域存在 V ( x, t ) 对x 的连续的一阶偏导数。
定理1
若（1） V ( x, t ) 正定； （2）V ( x, t ) 负定；则原点是渐进稳 定的。 浅释： V ( x, t ) 负定表示能量随时间连续单
调地衰减，故与渐进稳定性定义叙述一致。
Ax 渐进稳定的充要条件是：系统矩阵 系统 x
的全部特征值位于复平面的左半部，即
Re(i ) 0 i 1,, n
李雅普诺夫第二法（直接法）
根据古典力学的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时
间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统 的能量函数表达式是相当复杂的。李雅普诺夫提出，可虚构一 个能量函数，后来被称为李雅普诺夫函数，记为 V ( x, t ) ； 若不显含t，则记为 V ( x) 。它是一个标量函数，考虑到能量 总大于零，故为正定函数。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
李雅普诺夫稳定性分析
第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断 系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李 雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅 普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规 定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范 数，其几何意义是空间距离的尺度。 例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式 为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)
第三章李雅普诺夫稳定性分析
1、外部稳定性： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，
则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性) 线性定常连续系统
( A, B, C )
1 的传递函数矩阵为 G(s) C (sI A) B
当且仅当 G ( s ) 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。
2
半正定
2
3)
2 V x x12 x2
V x 3x1 2 x2
半负定
5)
2 V x x1 x2 x2
不定
Page: 9
Modern Control Theory
3-2 预备知识
现 代 5) 不定：能找到 -x≠0，使 V x xT Px 0 控 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 称其为不定 制 理 论
Modern Control Theory
Page: 23
3-5 李雅普诺夫主要的稳定性定理
现 代 控 制 理 论
二、 李雅普诺夫函数
李雅普诺夫函数指： 定义在状态空间上，满足李雅普诺夫定理的， 正定的向量泛函。
p11 0 ，
p11 p21
p12 p22
0
p11
，…， ( 1) n
p1n 0 pnn
pn1
为负定矩阵。
则 V ( x ) 负定，且称
P
2 2
【例】设X为二维向量，判其定号性。 1)
V x x x
2 1
正定
负定
2) 4)
V x x1 x2
x2
则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性) 线性定常连续系统
( A, B, C )
1 的传递函数矩阵为 G(s) C (sI A) B
当且仅当 G ( s ) 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。
2
半正定
2
3)
2 V x x12 x2
V x 3x1 2 x2
半负定
5)
2 V x x1 x2 x2
不定
Page: 9
Modern Control Theory
3-2 预备知识
现 代 5) 不定：能找到 -x≠0，使 V x xT Px 0 控 又能找到-x≠0，使V(x)<0, 称其为不定 制 理 论
Modern Control Theory
Page: 23
3-5 李雅普诺夫主要的稳定性定理
现 代 控 制 理 论
二、 李雅普诺夫函数
李雅普诺夫函数指： 定义在状态空间上，满足李雅普诺夫定理的， 正定的向量泛函。
p11 0 ，
p11 p21
p12 p22
0
p11
，…， ( 1) n
p1n 0 pnn
pn1
为负定矩阵。
则 V ( x ) 负定，且称
P
2 2
【例】设X为二维向量，判其定号性。 1)
V x x x
2 1
正定
负定
2) 4)
V x x1 x2
x2
李雅普诺夫方法
x2
L
xn
p21 p22 L MM
pM 2nxM 2i n1pijxixj
pn1 pn2 L pnnxn j1
为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。
而P的定号性由Sylvester准则确定：
p11
设1 p11， 2
p11 p21
1．自治系统
自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。
x&(t) = f ( x,t)
x
(t
0
)
x0
线性系统：
x&(t) = A(t x(t0 ) x0
)
x(t)
2．受扰运动
将自治系统在初始状态 x(t0) x0 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 x(t; x0,t0)。
都不超越球域 S ( ) 。
x2
一个二维状态空间中零平衡
状态 x e 0 是稳定的几何解释
S ( )
如右图 。
S ( )
如果 与t 0 无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
x (t0 )
xe
x1
上述稳定保证了系统受扰运动的有
x (t)
界性，通常将它称为李雅普诺夫意义
下的稳定，以区别于工程意义的稳定。
③ 若V(x) 0 ，V ( x ) 为负定； ④ 若V(x) 0 ，V ( x ) 为负半定；
⑤ 若V ( x ) 可正可负，V ( x )为不定。
2. 二次型函数 设x为n维向量，则称标量函数
权矩阵 P为实对称矩阵
p11 p12 L p1nx1
V(x)xTPx=x1
稳定性和李雅普诺夫方法
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( )
(a)
(b)
(c)
此三个图分别表达平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起旳经典轨迹。
9
4.2 李雅普诺夫第一法
➢ 李雅普诺夫第一法又称间接法。 ➢ 基本思绪是经过状态方程旳解来鉴别系统旳
稳定性。
线性定常系统：由特征方程旳根来判断稳定性。 非线性系统：先线性化，再鉴别。
数项 R(x) 来决定。
15
4.2.2 非线性系统旳稳定性
例4-2 已知非线性系统
x1 x1 x1x2 x2 x2 x1x2
试分析系统平衡状态旳稳定性。
解：系统有两个平衡状态为 xe1 = 0 0T , xe2 = 1 1T
在 xe1 处线性化，得
A
1 0
0 1
特征值为 1 1, 2 1。故，该平衡点不稳定。
f (xe ,t) 0 成立，则称 xe为系统旳平衡状态。
假如 f (x,t) Ax ，且 A非奇异，则原点是系统唯一旳平衡
状态。
平衡状态不一定存在，也不一定唯一。
如：
x1 x1
x2
x1
x2
x23
其平衡状态有：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
稳定性是相对于平衡点而言旳！
在 xe2 处线性化，得
A
0 1
1
0
特征值为 j ，实部为0。故，该平衡点用此措施
无法鉴定稳定性。
16
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设 V (x) 是向量 x 旳标量函数，且在 x=0 处，恒有V (0) 0，
S ( ) S ( )
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( )
(a)
(b)
(c)
此三个图分别表达平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起旳经典轨迹。
9
4.2 李雅普诺夫第一法
➢ 李雅普诺夫第一法又称间接法。 ➢ 基本思绪是经过状态方程旳解来鉴别系统旳
稳定性。
线性定常系统：由特征方程旳根来判断稳定性。 非线性系统：先线性化，再鉴别。
数项 R(x) 来决定。
15
4.2.2 非线性系统旳稳定性
例4-2 已知非线性系统
x1 x1 x1x2 x2 x2 x1x2
试分析系统平衡状态旳稳定性。
解：系统有两个平衡状态为 xe1 = 0 0T , xe2 = 1 1T
在 xe1 处线性化，得
A
1 0
0 1
特征值为 1 1, 2 1。故，该平衡点不稳定。
f (xe ,t) 0 成立，则称 xe为系统旳平衡状态。
假如 f (x,t) Ax ，且 A非奇异，则原点是系统唯一旳平衡
状态。
平衡状态不一定存在，也不一定唯一。
如：
x1 x1
x2
x1
x2
x23
其平衡状态有：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
稳定性是相对于平衡点而言旳！
在 xe2 处线性化，得
A
0 1
1
0
特征值为 j ，实部为0。故，该平衡点用此措施
无法鉴定稳定性。
16
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设 V (x) 是向量 x 旳标量函数，且在 x=0 处，恒有V (0) 0，
李雅普洛夫稳定性分析
G ( s ) C ( s A I ) 1 B 0 1 s 1 s 6 1 1 1 2 ( s ( s 2 ) s 2 ) 3 ( ) ( s 1 3 )
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2）
求系统的特征方程：
4）(半)正定和(半)负定间的关系
V(x)为正定，则－V(x)为负定； V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；
5）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正 值也可为负值，则V(x)为不定。
4.3 二次型标量函数XTPX 1、二次型函数V(x)：
p11 p12 p1nx1
V(x)[x1,x2, ,xn]p21
如果 1 p 1 10 , 2p p 1 21 1p p 1 2 2 20 , ,n P 0
则P为正定，即V(x)正定。
2）二次型 V(x)xTPx为负定，或实对称阵P为负定的
充要条件是P的主子行列式满足 i 0(i为奇数；）i 0
（ i为偶数）i=1，2，3，…,n。
4.4 稳定性判据
判据1：设系统的状态方程为 xf(x)
dI e A t ) ( 1 6 1 ( 2 )( 3 ) 0
求 得 12 ， ： 2 3
系统不是渐近稳定的。
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 Xf(X,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
其作线性化处理，在Xe 领域内展开成泰勒级数 X X fT(XX e)R (X ) 。
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原 点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2）
求系统的特征方程：
4）(半)正定和(半)负定间的关系
V(x)为正定，则－V(x)为负定； V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；
5）不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正 值也可为负值，则V(x)为不定。
4.3 二次型标量函数XTPX 1、二次型函数V(x)：
p11 p12 p1nx1
V(x)[x1,x2, ,xn]p21
如果 1 p 1 10 , 2p p 1 21 1p p 1 2 2 20 , ,n P 0
则P为正定，即V(x)正定。
2）二次型 V(x)xTPx为负定，或实对称阵P为负定的
充要条件是P的主子行列式满足 i 0(i为奇数；）i 0
（ i为偶数）i=1，2，3，…,n。
4.4 稳定性判据
判据1：设系统的状态方程为 xf(x)
dI e A t ) ( 1 6 1 ( 2 )( 3 ) 0
求 得 12 ， ： 2 3
系统不是渐近稳定的。
3.2 非线性系统的李亚普洛夫第一法
对非线性系统 Xf(X,t)
当f (X,t)为与X 同维的矢量函数，且对X 具有连续偏导数，则可将
其作线性化处理，在Xe 领域内展开成泰勒级数 X X fT(XX e)R (X ) 。
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。 3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原 点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
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