专题一 matlab线性代数问题

一、线性代数基本方程组
矩阵表示：
二、行阶梯法解线性方程
1、线性方程的Matlab表示方法
(1) 由n个变量组成的m个联立线性代数方程组：
其中：
当m<n时，方程组有无数多个解；
当m>n时，方程组无解；
当m=n时，方程组有唯一解。
(2) 图解线性方程组及在matlab中的显示
subplot(2,2,1) ezplot('x1-2*x2+1') hold on ezplot('-x1+3*x2-3') subplot(2,2,2) ezplot('x1-2*x2+1') hold on ezplot('-x1+2*x2-3')
-3];
3 求非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解， 再去求通解。 因此，步骤为： 第1步: 判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步 第2步: 求AX=b的一个特解 第3步: 求AX=0的通解 第4步: AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个特解
例：求解方程组
三、用矩阵运算法解线性方程组
1、矩阵运算规则
(1) 矩阵加(减)法
(2) 矩阵乘法
(3) 矩阵除法:除法运算有左除（\）和右除（/）两种。 若AB=C，则B=A\C，即B等于A左除C；A=C/B，即A等于C 右除B。这两种运算常用于解线性方程组，即X=A\B是 方程组AX=B的解，X=B/A是方程组XA6x 1 2 3 x2 5x3 6x4 x3 5x4 6x5 x4 5x5
1 0 0 0 1
A=[5 6 0 0 0;1 5 6 0 0;0 1 5 6 0;0 0 1 5 6;0 0 0 1 5]; B=[1 0 0 0 1]'; R_A=rank(A) %求秩 X=A\B %求解
subplot(2,2,3) ezplot('x1-2*x2+1') hold on ezplot('-x1+2*x2-1') subplot(2,2,4) ezplot('x1+x2-1') hold on ezplot('x1-x2-3') hold on ezplot('-x1+2*x2+3')
x1 2 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 5 x3 3x4 2 2 x x 2 x 2 x 3 3 4 1 2
>>A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; b=[1 2 3]'; B=[A b]; n=4; R_A=rank(A), R_B=rank(B), format rat if R_A==R_B&R_A==n %判断有唯一解 X=A\b elseif R_A==R_B&R_A<n %判断有无穷解 X=A\b %求特解 C=null(A,'r') %求AX=0的基础解系 else X='equition no solve' %判断无解 end
例： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
(2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵 进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其 调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角 矩阵R，使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三 角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。
例：行阶梯法解m<n的方程组
例：求齐次线性方程组的通解
x1 8 x2 10 x3 2 x4 0 2 x1 4 x2 5 x3 x4 0 3 x 8 x 6 x 2 x 0 2 3 4 1
A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; rref(A)
(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解 成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵 为R，则下三角矩阵为其转置，即X=R'R。MATLAB函数 chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使R'R=X。若X为非对 称正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X 为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同； 否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数 为q=p-1的上三角阵，且满足R'R=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所 以x=R\(R’\b)。
2、初等行变换
将系数矩阵A和B组成增广矩阵：
对增广矩阵的行作以下三种运算不会改变方程组的解， 这三种运算组成了矩阵的初等行变换： (1) 行交换：将增广矩阵的第 i , j 两行互换位置。 MATLAB语句：c([i,j],:) = c([j,i],:) (2) 行乘数：将增广矩阵的第 i 行乘以常数 k 。 MATLAB语句：c(i,:) = k*c(i,:) (3) 行相加：将增广矩阵的第 i 行乘以常数 k，加到 第 j 行。MATLAB语句：c(j,:) = c(j,:) + k*c(i,:)
例
求方程组的通解
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
A=[1 1 -3 b=[1 4 0]';
-1;3
-1
-3
4;1 5
-9
-8];
4．利用矩阵的分解求解线性方程组
根据题意列出方程为：
解此方程： >>A=[1,-0.25,-0.25,0;-0.25,1,0,-0.25;0.25,0,1,-0.25;0,-0.25,-0.25,1] >>b=[7.5;15;10;17.5] >>U=rref([A,b])
(2) 化学方程式配平
要使方程配平，x1,x2,x3,x4必须满足
例（无解）：
求非齐次线性方程组的通解
4 x1 2 x2 x3 2 3x1 1x2 2 x3 10 11x 3x 8 2 1
B=[4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8]; rref(B)
5、应用实例
(1) 平板稳态温度的计算 研究一个平板的热传导问题，设该平板的周边温度已 经知道（见下图），现在要确定板中间4个点a,b,c,d 处的温度。假定其热传导过程已经达到稳态，因此在 均匀的网格点上，各点的温度是其上下左右4个点的温 度的平均值。
写成矩阵方程
(3) 交通流量分析 某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点 A,B,C,D的十字路口，如下图所示。在交通繁忙时段的 汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数） 标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通 流量x1, x2, x3, x4。
分析：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等， 这就决定了四个节点的流通方程： 节点A: x1+450＝x2+610 节点B: x2+520＝x3+480 节点C: x3+390＝x4+600 节点D: x4+640＝x2+310 即：
对于函数 f = f(x)（或隐函数f = f(x,y)）
ezplot(f) 在 -2*pi < x < 2*pi 范围内画 f
ezplot(f, [a,b]) 在 a < x < b 范围内画出f ezplot(x,y) 在 0 < t < 2*pi 范围内绘制带参数的 平面曲线 x = x(t) 和 y = y(t) ezplot(x,y, [tmin,tmax]) 在 tmin < t < tmax 范 围内绘制带参数的平面曲线 x = x(t) 和 y = y(t)
(4) 矩阵转置
(5) 矩阵分块
(8) 矩阵求幂
（9）矩阵的秩 • 行阶梯法:行阶梯化简后非全为零的行数就是该矩 阵的秩。 • 用MATLAB函数r=rank(A) >> A=[3 4 -7 -12;5 -7 4 2;1 0 8 -5;-6 5 -2 10]; b=[4 -3 9 -8]';
例(满秩)：
3、行阶梯矩阵的生成
(1) 行阶梯矩阵、简化行阶梯矩阵
4、MATLAB中的行阶梯生成函数
matlab将矩阵化成行最简形的命令是rref。格式: R = rref(A) %用高斯—约当消元法和行主元法求A的行最简行矩阵R [R,jb] = rref(A) %jb是一个向量，其含义为：r = length(jb)为A的秩； A(:, jb)为A的列向量基；jb中元素表示基向量所在的 列。 [R,jb] = rref(A,tol) %tol为指定的精度 例：>> A=[1,4,7;8,5,2;3,6,-2];b=[1;3;5];C=[A,b];
例： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b)) 例： >> A=[1 -2 3 -4;0 1 -1 1;1 3 0 1;0 -7 3 1]; % 输入系数矩阵 >> B=[4 -3 1 -3]'; %常数项B