相关函数及其应用

第一专题:

1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因）

2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真）

相关函数的计算方法

利用计算机计算自相关估值有两种方法。一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。

1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号

(t)s 1和(t)2s 互相关函数的定义为

⎰+∞

∞

+=-2112x)dt (t (t)s s (x)R

功率信号(t)s 1和(t)2s 的互相关函数定义为

⎰

+∞→+=2

/2

/-2112x)dt

(t (t)s s 1lim

(x)T T T T

R

（2）自相关函数的估计

在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。 假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即

∑==∞→++=N

N

N R k -k N x n]x[k]x[k 121lim [n] 由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用[k]x N 来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即

∑-=+=

1

k N N

n]

[k [k]x x

1(n)N x N

r

上式中，对每一固定延迟n ，可利用的数据只有N-n 个，所以自相关函数的估计可以表示成

∑-=+=

1-n 0

k N N

]

n [k [k]x x

1

(n)N x N

r

2、间接算法

间接方法是利用自相关函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。由于采用了快速傅里叶变换算法，计算速度较快。如当N =2P 时，间接算法所需要的运算量约为8NP 次实数乘加运算。因此,两种方法的速度比是 速度比=

8p

m

p 8m =N N 如P ＝13，m ＝0.1N ＝819，则比值约为8，即间接算法比直接算法约快8倍。

对于能量信号，计算R(x)可用以下公式：

⎰

+∞

∞

=-fx

j22

df e

)f ((x)πS R

对于功率信号计算R(x)可用以下公式：

⎰

∑∞+∞

∞

∞

=-fx

j20

-2

df

)e

nf -(f δ(f)(x)πC R

相关函数的性质及应用

1、自相关函数的性质及其应用

自相关函数具有如下性质： （1） R(x)为实函数；

（2） R(x)为偶函数，即R(x)=R(-x)； （3） R(0)等于信号的均方值；

（4） 对于各态历经性的随机信号s(t)有R(x)在R(0)处取得最大值；

（5） 当随机信号s(t)的均值为u 时，有2x u (x)lim =∞

→R ，当s(t)为确定性信号时，

当x →∞时，自相关函数值不为均值的平方；

（6） 若平稳随机信号s(t)含有周期成分，则它的自相关函数R(x)中亦含有周期

成分，且R(x)中的周期成分的周期与信号s(t)中的周期成分相等。

自相关函数的应用：

（1） 从被噪声干扰的信号中找出周期成分，具体仿真见后面matlab 程序； （2） 利用自相关分析识别车床变速箱的运行状态

2、互相关函数的性质及其应用 互相关函数的性质

（1） 互相关函数) (τxy R 是实函数，但不是偶函数； （2） 对于任意的τ，) (τxy R 的平方小于等于(0)(0)R y x R ； （3） 若信号是零均值的，在τ→∞时，相关函数值趋于0； （4） 互相关函数具有反对称性，即) (τxy R =) (-τyx R ；

（5） 若两个信号x(t)与y(t)均含有周期分量，且周期相等，则互相关函数)

(τxy R 也含有相同周期的周期性分量。

互相关函数的应用

（1） 利用互相关分析测定船舶的速度；

（2） 利用相关分析探测地下水道的破损地点。

例：带白噪声干扰的频率为10Hz 的正弦信号和不带白噪声的信号的自相关函数比较

时间/s

x (t )

时间/s

R x (t )

时间/s

y (t )

带噪声周期信

号

时间/s

R y (t )

带噪声周期信号的自相关

clf;N=1000;Fs=500;

n=0:N-1;t=n/Fs;

Lag=100;

randn('state',0);

x=sin(2*pi*10*t);

[c,lags]=xcorr(x,Lag,'unbiased');

subplot(2,2,1),plot(t,x);

xlabel('时间/s');ylabel('x(t)');

title('不带噪声周期信号');

grid on;

subplot(2,2,2),plot(lags/Fs,c);

xlabel('时间/s');ylabel('Rx(t)');

title('不带噪声周期信号的自相关');

grid on;

y=sin(2*pi*10*t)+0.6*randn(1,length(t));

[c,lags]=xcorr(y,Lag,'unbiased');

subplot(2,2,3),plot(t,y);

xlabel('时间/s');ylabel('y(t)');

title('带噪声周期信号');

grid on;

subplot(2,2,4),plot(lags/Fs,c);

xlabel('时间/s');ylabel('Ry(t)');

title('带噪声周期信号的自相关');

grid on;

带白噪声的正弦信号观察不了信号的周期，通过求其自相关函数可以从被噪声干扰的信号中找出周期成分。在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机器状态异常时，随机噪声将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大很多。用噪声诊断机器故障时，依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在。特别是对于早期故障，周期信号不明显，直接观察难以发现，自相关分析就显得尤为重要。