第四章专题分类突破四相似三角形的基本图形
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初中数学课件《相似三角形中基本图形
题目2
已知△ABC中，∠A=90°，∠B=60°， AB=1cm，求AC和BC的长度。
题目3
在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°， AB=2√2cm，求BC的长度。
答案解析
基础练习题主要考察学生对相似三角形基本 图形的理解和应用，包括相似三角形的性质 、角度和边长的关系等。
进阶练习题
题目1
在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=4√3cm，求AC
X型图在解题中的应用
总结词
X型图是相似三角形中的另一种基本 图形，它由两条交叉的线段将两个三 角形分开，形成X型结构。
详细描述
在X型图中，由于线段的交叉和相似 三角形的性质，我们可以利用交叉线 段的比值来求解问题。例如，在求解 面积问题时，可以通过构造X型图来 找到解决问题的线索。
平行线型图在解题中的应用
用符号“∽”表示两个三角形相似，记作 “△ABC∽△DEF”。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等，对应边成比例，面 积比等于相似比的平方。
相似三角形的性质
对应角相等
两个相似三角形的对应角相等，即 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的 相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2 。
和BC的长度。
题目2
已知△ABC与△DEF相似，且 AB=6cm，AC=8cm， DE=4cm，求EF和DF的长度。
题目3
在直角△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，BC=2√3cm，求AC 和AB的长度。
答案解析
进Байду номын сангаас练习题在基础练习题的基 础上增加了难度，主要考察学 生对相似三角形高阶性质的理
已知△ABC中，∠A=90°，∠B=60°， AB=1cm，求AC和BC的长度。
题目3
在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°， AB=2√2cm，求BC的长度。
答案解析
基础练习题主要考察学生对相似三角形基本 图形的理解和应用，包括相似三角形的性质 、角度和边长的关系等。
进阶练习题
题目1
在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=4√3cm，求AC
X型图在解题中的应用
总结词
X型图是相似三角形中的另一种基本 图形，它由两条交叉的线段将两个三 角形分开，形成X型结构。
详细描述
在X型图中，由于线段的交叉和相似 三角形的性质，我们可以利用交叉线 段的比值来求解问题。例如，在求解 面积问题时，可以通过构造X型图来 找到解决问题的线索。
平行线型图在解题中的应用
用符号“∽”表示两个三角形相似，记作 “△ABC∽△DEF”。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等，对应边成比例，面 积比等于相似比的平方。
相似三角形的性质
对应角相等
两个相似三角形的对应角相等，即 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的 相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2 。
和BC的长度。
题目2
已知△ABC与△DEF相似，且 AB=6cm，AC=8cm， DE=4cm，求EF和DF的长度。
题目3
在直角△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，BC=2√3cm，求AC 和AB的长度。
答案解析
进Байду номын сангаас练习题在基础练习题的基 础上增加了难度，主要考察学 生对相似三角形高阶性质的理
2024相似三角形课件初中数学PPT课件
相似三角形课件初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何变换中应用•代数法证明三角形相似•几何法证明三角形相似•相似三角形在解题中应用•总结回顾与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质相似三角形定义及表示方法定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
表示方法通常用符号“∽”来表示两个三角形相似，记作△ABC∽△DEF，其中顶点A与D，B与E，C与F分别对应。
相似三角形对应角、对应边关系对应角关系相似三角形的对应角相等，即如果△ABC∽△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边关系相似三角形的对应边成比例，即如果△ABC∽△DEF，且他们的对应边长之比为k，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。
01020304预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形判定定理如果两个三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似比概念及应用相似比定义01相似三角形对应边的比值叫做相似比。
相似比性质02相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用03在几何证明、测量、建筑设计等领域中，相似三角形及相似比的概念有着广泛的应用。
例如，利用相似三角形原理可以测量高度、宽度等难以直接测量的距离。
02相似三角形在几何变换中应用放大、缩小与位似变换放大与缩小相似三角形在放大或缩小时，其对应角不变，对应边成比例变化。
位似变换位似变换是一种特殊的相似变换，其中两个相似图形不仅对应边成比例，而且对应点连线相交于一点。
应用实例在建筑设计中，利用相似三角形的放大或缩小原理，可以制作出不同比例的建筑模型。
80%80%100%平移、旋转与对称变换中保持相似性平移变换不改变图形的形状和大小，因此平移前后的两个相似三角形仍然保持相似性。
相似三角形ppt课件免费
构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等 。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师 可以在设计过程中调整建筑物 的比例和角度，使其在视觉上 更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比 例有关的问题，例如通过已知的 两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对 应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即如果两个三角形相似且相似比 为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
14
04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
15
方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的 方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过 程，使问题更加直观易懂。
16
不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间 存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进 而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方 案，提高测量精度。
21
艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角 形原理来实现透视效果。通过绘制不同 比例的相似三角形，可以在平面上呈现
《相似三角形》相似PPT 图文
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
注意：相似比为1的两个多边形全等. 性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等;
（2）相似多边形周长的比等于相似比; （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.
5.相似三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似;
E．
求证：（1）PD=PE； （2）PE2=PA·PB. 如图38-6
例3答图
【解析】（1）连半径，作等腰三角形； （2）证明△PDB∽△PAD即可.
证明：(1)连接OC、OD， ∴OD⊥PD ，OC⊥AB， ∴∠PDE=90°-∠ODE， ∠PED=∠CEO= 90°-∠C. 又∵∠C=∠ODE,∴∠PDE=∠PED, ∴PE=PD.
类型之一相似三角形的判定
［2010·珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,
求AF的长.
【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由 △ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易 求出FA.
(2)连接AD、BD，∵PD切⊙O于点D， ∴∠BDP=∠A, ∴△PDB∽△PAD， ∴PDPB=PAPD，
∴PD2=PA·PB， ∴PE2=PA·PB.
【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后 根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成 立；若不相似，再用中间比来“搭桥”.
做人，无需去羡慕别人，也无需去花 时间去 羡慕别 人是如 何成功 的，想 的只要 是自己 如何能 战胜自 己，如 何变得 比昨天 的自己 强大就 行。自 己的磨 练和坚 持，加 上自己 的智慧 和勤劳 ，会成 功的。 终将变 成石佛 那样受 到大家 的尊敬 。
注意：相似比为1的两个多边形全等. 性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等;
（2）相似多边形周长的比等于相似比; （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.
5.相似三角形
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似;
E．
求证：（1）PD=PE； （2）PE2=PA·PB. 如图38-6
例3答图
【解析】（1）连半径，作等腰三角形； （2）证明△PDB∽△PAD即可.
证明：(1)连接OC、OD， ∴OD⊥PD ，OC⊥AB， ∴∠PDE=90°-∠ODE， ∠PED=∠CEO= 90°-∠C. 又∵∠C=∠ODE,∴∠PDE=∠PED, ∴PE=PD.
类型之一相似三角形的判定
［2010·珠海］如图38-1，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,
求AF的长.
【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由 △ADF∽△DEC,得ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易 求出FA.
(2)连接AD、BD，∵PD切⊙O于点D， ∴∠BDP=∠A, ∴△PDB∽△PAD， ∴PDPB=PAPD，
∴PD2=PA·PB， ∴PE2=PA·PB.
【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后 根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成 立；若不相似，再用中间比来“搭桥”.
做人，无需去羡慕别人，也无需去花 时间去 羡慕别 人是如 何成功 的，想 的只要 是自己 如何能 战胜自 己，如 何变得 比昨天 的自己 强大就 行。自 己的磨 练和坚 持，加 上自己 的智慧 和勤劳 ，会成 功的。 终将变 成石佛 那样受 到大家 的尊敬 。
《相似三角形》相似图形PPT课件
定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例
相似三角形及其应用课件
利用相似三角形转化长度和角度
01
通过相似三角形的性质，将复杂几何问题中的长度和角度转化
为简单问题，便于求解。
构造相似三角形
02
针对一些几何问题，通过构造相似三角形，将问题转化为简单
的计算问题。
相似三角形与勾股定理结合
03
利用相似三角形和勾股定理的结合，求出一些难以直接测量的
距离。
相似三角形在实际问题中的应用案例
相似三角形在建筑设计中的应用
总结词：优化设计
详细描述：在建筑设计中，相似三角形的原理也被广泛运用。设计师可以通过使 用相似三角形来优化设计，例如，通过使用相似三角形来调整建筑物的比例和布 局，以实现更好的视觉效果和功能性。
相似三角形在按比例缩放中的应用
总结词：保持原貌
详细描述：在按比例缩放中，相似三角形的原理同样发挥了重要作用。例如，在制作不同尺寸的图像 或物品时，使用相似三角形的原理可以确保图像或物品的形状和比例不会改变，保持其原貌。这对于 制作不同尺寸的图像或物品非常重要，例如制作不同尺寸的广告牌或海报等。
利用相似三角形的判定定理证明三角形相似
总结词
相似三角形的判定定理有多个，包括 “AA”、“SSS”、“SAS”、“ASA” 、“AAS”等，这些定理可以用来证明两 个三角形相似。
VS
详细描述
在证明两个三角形相似时，可以根据不同 的情境选择合适的判定定理。例如， “AA”定理适用于两个三角形对应角相 等的场合；“SSS”定理适用于三个对应 边相等的场合；“SAS”定理适用于两边 对应成比例且夹角相等的场合；“ASA” 定理适用于两角对应相等且夹边相等的场 合；“AAS”定理适用于两角对应相等且 其中一角的对边对应相等的场合。
用“∽”表示相似三角形。
相似三角形ppt课件
注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
相似三角形_完整版课件
“两角对应相等,两三角形相似”或
“两边对应成比例且夹角相等，两三角
形相似”两种方法；由本题现有条件出
发，显然用”两边对应成比例且夹角相
Q
等两三角形相似”去证明较为简便。
〖范例讲解〗
例3.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和 △DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=_____,BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？ 解:(1)∠ABC=135 °,BC=_2__2___.
证明：因为AD=AC
∴∠ADC=∠ACD
因为D为BC的中点,DE⊥BC
∴EB=EC
∴∠B=∠ECB
B
A
E F
D
C
∴△ABC∽△FCD
5.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，
BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
两三角形相似
a
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90° ∴当 AC BC 时，即当
2、相似三角形的对应边的比叫做________，
一般用k表示．
3、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应
周长的比都等于
。
4、相似三角形面（2007年杭州）如图，用放大镜将图形 放大，应该属于（ ） Ａ．相似变换 Ｂ．平移变换 Ｃ．对称变换 Ｄ．旋转变换 例2.（2007年南昌市）在△ABC中，AB=6,AC=8， 在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF 相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即 可）．
〖范例讲解〗
例3. （2007清流）如图在4×4的正方形方格中，
△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=_____,BC=_______．
《相似三角形》相似图形4精品 课件
1、在下面的两组图形中，各有两个相似 三角形，试确定x , y , m , n 的值。
x 20 33
22
30
48
3a
n°10 2a 50°y
45°
85° 45° m°
运用知识，拓展思维
• 例2、如图，已知△ ABC∽ △ADE， AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
• ∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小； (2)求DE的长。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
人生如逆水行舟，不进则退。
•
优胜劣汰的世界里，你必须不断提升 自己的 价值。 一、放下大概就是这样，即使我们没在 一起， 我也会 好好的 ，谢谢 时间惊 艳了那 段有你 的记忆 ，也谢 谢现在 更努力 变好的 自己。
•
十一、不相信下辈子，只想善待你今生 。因为 我不知 道，下 一辈子 是否还 能遇见 你，所 以我今 生才会 那么努 力把最 好的给 你。
•
八、总要允许有人错过你，才能赶上最 好的相 遇。总 有人真 诚地爱 着你， 相爱， 从来都 不是一 个人的 事，先 经营好 自己， 最好的 爱情是 你刚好 成熟我 刚好温 柔。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
•
十、我喜欢你的意思就是：从现在起， 你已经 具备伤 害我的 能力， 以及不 好意思 我看谁 都像情 敌。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
x 20 33
22
30
48
3a
n°10 2a 50°y
45°
85° 45° m°
运用知识，拓展思维
• 例2、如图，已知△ ABC∽ △ADE， AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
• ∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小； (2)求DE的长。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
人生如逆水行舟，不进则退。
•
优胜劣汰的世界里，你必须不断提升 自己的 价值。 一、放下大概就是这样，即使我们没在 一起， 我也会 好好的 ，谢谢 时间惊 艳了那 段有你 的记忆 ，也谢 谢现在 更努力 变好的 自己。
•
十一、不相信下辈子，只想善待你今生 。因为 我不知 道，下 一辈子 是否还 能遇见 你，所 以我今 生才会 那么努 力把最 好的给 你。
•
八、总要允许有人错过你，才能赶上最 好的相 遇。总 有人真 诚地爱 着你， 相爱， 从来都 不是一 个人的 事，先 经营好 自己， 最好的 爱情是 你刚好 成熟我 刚好温 柔。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
•
十、我喜欢你的意思就是：从现在起， 你已经 具备伤 害我的 能力， 以及不 好意思 我看谁 都像情 敌。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
相似三角形的基本图形PPT课件
△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
12
A
△ABE∽ △ECF （（2）1）点点E为E为BCB上C上任任意意一一点点若，∠若B=∠∠BC== α, ∠A∠ECF==60∠°C,,则∠A△EAFB=E∠与C△,则E△CAFB的E关与系△还ECF 成的立关吗系？还成立吗？说明理由
B
（2）∠ADE=∠ABC
D
或∠AED=∠ACB
（3）AD：AB=AE：AC
第六种作法：
B
（1） ∠ADE=∠ACB
或∠AED=∠ABC D
（2）AE：AB=AD：AC
A
C E A C
E
9
相似的基本图形
(1)
A
DEEຫໍສະໝຸດ D(2) AB
C
DE∥BC
A (4)
B
C
DE∥BC
C
(5)
B D
∠BAD=∠C
AB2=BD·BC
CA
D
∠ACB=90°， CD⊥AB
A (3)
D
E
B
C
E D
(6) A
B C
B ∠D=∠C
10
11
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合） ∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相A似F,图？中并有证哪明些你相的似结三论角。形？
相似三角形的基本图形
1
(1)
A
D
E
B
C
DE∥BC
E
D
(2) A
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
12
A
△ABE∽ △ECF （（2）1）点点E为E为BCB上C上任任意意一一点点若，∠若B=∠∠BC== α, ∠A∠ECF==60∠°C,,则∠A△EAFB=E∠与C△,则E△CAFB的E关与系△还ECF 成的立关吗系？还成立吗？说明理由
B
（2）∠ADE=∠ABC
D
或∠AED=∠ACB
（3）AD：AB=AE：AC
第六种作法：
B
（1） ∠ADE=∠ACB
或∠AED=∠ABC D
（2）AE：AB=AD：AC
A
C E A C
E
9
相似的基本图形
(1)
A
DEEຫໍສະໝຸດ D(2) AB
C
DE∥BC
A (4)
B
C
DE∥BC
C
(5)
B D
∠BAD=∠C
AB2=BD·BC
CA
D
∠ACB=90°， CD⊥AB
A (3)
D
E
B
C
E D
(6) A
B C
B ∠D=∠C
10
11
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合） ∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相A似F,图？中并有证哪明些你相的似结三论角。形？
相似三角形的基本图形
1
(1)
A
D
E
B
C
DE∥BC
E
D
(2) A
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
9年级-上册-数学-第4章《相似三角形》专题讲解-相似三角形的基本图形-分节好题挑选
浙教版-9 年级-上册-数学-第 4 章《相似三角形》
专题讲解-相似三角形的基本图形--每日好题挑选
类型一 “A”字形 【例 1】如图，△ABC 中，DE∥BC，则下列比例式不成立的是（ ）
AD AE A. ＝
AB AC
AD DE B. ＝
AB BC
AD DE C. ＝
DB BC
AD AE D. ＝
）
AB AC A. ＝
AD AE
AB BC B. ＝
AD DE
C．∠B＝∠D
D．∠C＝∠AED
【例 14】如图，在△ABC 中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点落在
边 BC 上，已知 BE′＝5，D′C＝4，则 BC 的长为
。
【例 15】将两块直角三角板 AOB 和 COD 如图 5－ZT－15 放置，O 为三角板的顶点，连结 AC，BD。 （1）如图①，若△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，求证：AC＝BD； （2）如图②，若∠OAB＝∠OCD＝30°，求证：BD⊥AC。
A．2 B．3
C．4 D．6
类型三 母子型
【例 7】如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，∠CAD＝∠B.若 AD＝6，AB＝8，BD＝7，则 DC＝
。
【例 8】如图所示，在△ABC 中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度移动， 点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 4 cm/s 的速度移动．如果点 P，Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？
（1）如图①，已知等腰直角三角形纸片 ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法
专题讲解-相似三角形的基本图形--每日好题挑选
类型一 “A”字形 【例 1】如图，△ABC 中，DE∥BC，则下列比例式不成立的是（ ）
AD AE A. ＝
AB AC
AD DE B. ＝
AB BC
AD DE C. ＝
DB BC
AD AE D. ＝
）
AB AC A. ＝
AD AE
AB BC B. ＝
AD DE
C．∠B＝∠D
D．∠C＝∠AED
【例 14】如图，在△ABC 中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点落在
边 BC 上，已知 BE′＝5，D′C＝4，则 BC 的长为
。
【例 15】将两块直角三角板 AOB 和 COD 如图 5－ZT－15 放置，O 为三角板的顶点，连结 AC，BD。 （1）如图①，若△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，求证：AC＝BD； （2）如图②，若∠OAB＝∠OCD＝30°，求证：BD⊥AC。
A．2 B．3
C．4 D．6
类型三 母子型
【例 7】如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，∠CAD＝∠B.若 AD＝6，AB＝8，BD＝7，则 DC＝
。
【例 8】如图所示，在△ABC 中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 2 cm/s 的速度移动， 点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 4 cm/s 的速度移动．如果点 P，Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？
（1）如图①，已知等腰直角三角形纸片 ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法
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类型二 “X”字型
变式图
【例2】 如图所示，已知△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，过点
C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.若AD∶BD＝3∶2，BC＝15，则EF的长为__6__．
变式 【株洲中考】如图所示，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是
B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( C )
第四章专题分类突破四 相似三角形的基本图形
2020/9/24
类型一
“A”字型
【例1】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，
四边形DEFB是菱形，AB＝6，BC＝4，那么AD＝____．
例1题图
变式 【扬州中考】如图所示，已知△ABC的三边长为a，b，c， 且a<b<c，平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等 的两部分．设图中的小三角形①，②，③的面积分别为 S1，S2，S3则S1，S2，S3的大小关系是___S_1_<_S5
B．6
C．7
D．8
例3变式图
类型三 交叉型与旋转型
【例4】如图所示，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于点N，交
CB的延长线于P，若MN＝1，PN＝4，则DM的长为___________．
例4图
变式 【2017·深圳中考】如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于
例2题图
变式图
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类型三
“K”字型
【例3】如图所示，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其
中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为( A )
例3图
变式 如图所示，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交
于点F，AB＝9，BD＝3，则AF等于( C )
点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝____3____．
例4变式图
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跟踪训练
16:9
第1题图
C
第2题图
D
第3题图
C
第4题图
①②③
第5题图
第6题图
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变式图
【例2】 如图所示，已知△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，过点
C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.若AD∶BD＝3∶2，BC＝15，则EF的长为__6__．
变式 【株洲中考】如图所示，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是
B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( C )
第四章专题分类突破四 相似三角形的基本图形
2020/9/24
类型一
“A”字型
【例1】如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，
四边形DEFB是菱形，AB＝6，BC＝4，那么AD＝____．
例1题图
变式 【扬州中考】如图所示，已知△ABC的三边长为a，b，c， 且a<b<c，平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等 的两部分．设图中的小三角形①，②，③的面积分别为 S1，S2，S3则S1，S2，S3的大小关系是___S_1_<_S5
B．6
C．7
D．8
例3变式图
类型三 交叉型与旋转型
【例4】如图所示，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于点N，交
CB的延长线于P，若MN＝1，PN＝4，则DM的长为___________．
例4图
变式 【2017·深圳中考】如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于
例2题图
变式图
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类型三
“K”字型
【例3】如图所示，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其
中E，F，G分别在AB，BC，FD上．若BF＝3，则小正方形的边长为( A )
例3图
变式 如图所示，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交
于点F，AB＝9，BD＝3，则AF等于( C )
点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝____3____．
例4变式图
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跟踪训练
16:9
第1题图
C
第2题图
D
第3题图
C
第4题图
①②③
第5题图
第6题图
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