相似三角形的几种基本图形
相似三角形基本知识点+经典例题
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是dc b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a cd cbdb a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a cb db da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c dbdb d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例B由∥可得：ACAE ABAD EAEC ADBD ECAE DBAD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形．．．的三边．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,例.已知∥∥,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BCEFACDFABDEACDFDEEF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形的几种基本图形复习
相似三角形的几种基本图形：（1）称为“平行线型”的相似三角形.（2）其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形.ABCDABCDE（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.（4）一线三等角型1、矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，连结BE、EF、BF。
已知AE=4，ED=2，AB=3，若△ABE和△EDF相似，则DF=__________。
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=3，BC=6，点P在AB上滑动。
若△DAP与△PBC相似，且AP=4.5 ，求PB的长。
4、如图,在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC 方向点C以2cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/s的速度移动。
如果P、Q分别从B、C同时出发，问：经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似？5、如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；（3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值．如图, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交ACABFCDEG于E, 交BC于F, 则图中所有相似三角形有( )对。
（A）4 对（B） 5对（C）6对（D） 7对。
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相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比例线段的相关概念（ 1）如果选用同一单位量得两条线段 a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是amb n ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（ 2）在四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的， 如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项， 那么应得比例式为：bd ．② a ccac ： d)中，a 、d 叫比例外项， b 、c 叫比例内项 , a 、c 叫比例前项， b 、d 叫比例后在比例式(a ： bbdb=c ，即 a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项， 此时有 b 2项， d 叫第四比例项，如果 ad 。
（ 3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中AC5 1AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为： 长＝ 短＝5 1ABAC2全 长 2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质（ 注意性质立的条件：分母不能为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项)c d (（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项) ：ac d c ，交换外项( )b db ad b．同时交换内外项)ca (（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b da c（ 4）合、分比性质：a c abcd ．bdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比例仍成立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：如果 ac e m(b d fn 0) ，那么 acem a ．bd fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .A由 DE ∥ BC 可得：注：AD AE 或 BD EC 或 AD AE DB EC AD EA AB ACD EB C①重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比例式证平行线 .③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,BE可得ABDE 或 AB DE 或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC 等. CFBCEF AC DF AB DE AC DF DE EF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 如果在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。
(精心整理)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
常见的相似图形
《相似图形》这一章节是初二数学乃至整个初中数学课程中较为重要的章节，同时也是较难学的章节之一。
不少同学在学习相似三角形时感到吃力，看着复杂的图形不知道哪几对三角形相似，对于证明两个三角形相似也无从下手。
这就需要同学们熟练掌握相似三角形基本图形及变型，建立图感，就能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形，从而准确、快速地解决相关问题。
首先，让我们来认识一下相似三角形的四种基本图形。
一、A型如图1，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC，由判定定理一，得出△ABC∽△ADE。
【提示】这种基本图形很像英文字母A，因此我们将它称为A型。
同学们应该注意观察图中的已知条件并加以应用，比如公共角。
二、反A共角型1、如图2，这种图形是A型的变型。
若DE与BC不平行，△ABC与△ADE能否相似？我们可以移动成段DE，使∠AED=∠B，由相似三角形的判定定理得△ABC∽△ADE【提示】B、C的对应点由D、E变成E、D，因而对应角和对应线段也发生了相应的变化，这种图形形象地称为反A共角型。
2、变型Ⅰ继续移动成段DE，使E点与C点重合，并保持∠AED=∠B，如图3所示，得△ABC∽△ACD，从而有=，即AC2=AD·AB(比例中项概念)3、变型Ⅱ当AC⊥BC，CD⊥AB时，变成图4，对应点没变，上述结论仍成立，就得出射影定理这个重要定理。
△ABC∽△ACD∽△CBD由△ACD∽△CBD，对应边成比例得出：CD2=AD·DBAC2=AD·ABBC2=BD·AB【提示】图3、图4这两种基本图形形象地称为反A共角共变型。
三、X型如图5，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，△ADE∽△ABC这种基本图形形象地称为X型。
四、蝶型如图6，DE不平行AB，当∠B=∠E时，△ABC∽△DEC，这种图形形象地称为蝶型。
认识完了基本图形，现在来学习学习如何利用基本图形建立图感。
相似三角形题型讲解解析
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABCA B C DEF G 1234ABCD分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
相似三角形知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC -== 简记为：512-长短＝＝全长(三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，=， =.nm b a =（4）上述结论也适合下列情况的图形：二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
《相似三角形(复习)》说课稿
《相似三角形（复习）》说课稿桦川二中李婷尊敬的各位领导、专家、老师：大家好！今天我说课的内容是《相似三角形》的复习课。
一、教材分析相似三角形的性质和判定在几何证明和计算问题中有着非常广泛的应用，特别是综合运用相似三角形的性质和判定探究一些与相似有关的综合题更是一个热点。
相似三角形的有关知识与方程、二次函数和圆有着紧密的联系，以相似三角形的几种常见基本图形：①平行线型；②斜交型；③垂直型；④旋转型为背景的综合题是本节知识的进一步应用和深化，同时，四种常见的类型又为图形间的演变做了很好的铺垫。
基于以上认识，参考教学大纲和数学课程标准的要求，我们确立了本节课的教学目标：使学生进一步理解和掌握相似三角形的相关知识；掌握相似三角形常见类型；理解基本图形间的演变关系并能从复杂图形中分析出基本图形，提高学生分析问题和解决问题的能力，体会在解决问题过程中如何与他人交流合作。
为顺利完成上述目标和体现复习课的教学特点，我们确立了本节复习课的教学重点为相似三角形常见类型，而从复杂图形中分析出基本图形为本节课的教学难点。
二、教法分析动手实践、自主探索与交流合作是学生学习数学的重要方式，数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
由于数学课程内容是现实的，并且“过程”要成为课程内容的一部分，数学的学习方式就不能再单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式了。
教师就要注意把思考的空间和时间留给学生，把自己工作的着眼点放在启发和信任上，让学生自主探索，亲身实践，经历一个实践和创新的过程。
因此，在教学设计中，我们立足于“动手实践，自主探索”这一过程教学理念。
例如：四种相似三角形的常见类型，我们没有机械地直接给出，而是通过让学生做相应的类型题，结合已有的知识经验归纳得出，这样不仅加深了学生对相似三角形四种常见类型的印象，同时也培养了学生归纳问题的能力，在讲解垂直型相似的第三种基本图形时，与物理学科中光的反射定律相对比，一方面让学生充分认识了图形，另一方面也在比较中完成了学科间的整合。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
20171005相似三角形几种基本模型
相似三角形基本模型经典模型“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’F'CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEFE'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、B(3)DB(2)D“反A 共角共边型”、 “蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
（5）母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；（3）满足1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ． （4）当AD AEAC或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE∽△ACB ．BEACD12ABCD E12AAB BCC DD EE12412BBC (D)。
(word完整版)相似三角形证明技巧(整理)
1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1）三角形相似的条件：① ；② ；③ 。
二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形,从而使问题得以解决。
三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2a ）已知一对b)己知两边对应成c)己知一个2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”;若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知：如图，ΔABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图,CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
(完整版)相似三角形的几种基本图形
B EADC相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形.（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形.ABCD E12AABBCC DD EE12412（∠B=∠D ） （双垂直）（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形.（4）一线三等角型二、例题分析1、下列说法不正确的是（ ）A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形；B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形；C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形；D 、以上有两个说法是正确。
2、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对 3、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ）A 、∠ACP=∠B B 、∠APC=∠ACBC 、ACAP ABAC = D 、ABAC BCPC =4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AB AE AC =；其中正确的有 （ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个ED CBAB EACD 12A BC D E A B CD A B C DE A AB BC CD DE EA BDE ABC PEFA B5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数是。
；6、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。
7、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD =7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = ________cm8、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.9、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求证：△DBE∽△ABC10、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD11、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
三角形相似的基本图形--小阮
珠海市第八中学 阮顺红
三角形相似是初中几何的重点和难点, 每年中考的压轴题往往都是三角形相似与 四边形、圆、函数的综合题,题目灵活多变, 能很好地考查学生的数学能力。
而在复杂的图形中找出相似三角形往往 是学生解题的拦路虎,要解决这一问题,在教 学中归纳出五种常用的证明三角形相似的 基本图形,并且在平时的教学中,注重引导学 生发现基本图形,并利用基本图形证明三角 形相似.
例5：如图,四边形ABCD是直角梯形,其中AD//BC, ∠C=900, ∠B=450,AD=6,BC=10,M是BC边上的
一个动点,MN⊥AM交CD于N;设MC=x,CN=y.
求y与x之间的函数关系式. 试说明当点M在BC上移动时,点N能否达到点D处.
分析：本题相对例4难度加大，因
A
D 为三垂直的基本图形没有直接给出，
二、 图3和图4的公共角公共边形和双垂直形.
图3公共角、公共边形
图4 双垂直形
（1）图4的双垂直其实是图3公共角公共边形
的一个特殊情况，由于双垂直应用广范，故
把它独立分离出来，便于学生记忆与应用。
这两个基本图形都有一个ຫໍສະໝຸດ 点是：都有比例中项（AC2=AB·AE、AC2=DC·BC、AB2=BD·BC、
由勾股得BM= 5
易证得△MCH∽△MBC,从而得MH=
5
由∠AMH=∠BMA, AM BM
5
MH AM
得证△AMH∽△BMA,从而得AH=2 10
5
C
(2) 2 10 , 8 2 , 2 5 52
MH
A
D
B
三、图5三垂直
图5 三垂直形
它灵活多变是综合题目中用的最多， 更能考察学生的观察能力，以下通过三 道例题来讲解学生对这一基本图形的掌 握情况。
相似三角形解题方法步骤(教师版)
- 1 -相似三角形解题方法、技巧、步骤一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形(1)三角形相似的条件： ①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
相似三角形-基本知识点 经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形基本知识点经典例题完美打印版
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念1形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形.2如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比相似系数．知识点2 比例线段的相关概念1如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=．注：在求线段比时,线段单位要统一;2在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为：adc b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c,即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =;3黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 215-=≈AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形;黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质注意性质立的条件：分母不能为01 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为dc b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=．2 更比性质交换比例的内项或外项：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 3反比性质把比的前项、后项交换： a c b db d a c=⇔=．4合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．5等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ,那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”即引入新的参数k 这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时,要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截,如果在其中一条上截得的线段相等,那么在另一条上截得的线段也相等;知识点5 相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示,读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比或相似系数．相似三角形对应角相等,对应边成比例． 注：①对应性：即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样,但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例．B知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理1相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆,则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆'',且C B A '∆''∽C B A ''''''∆,则ABC ∆∽C B A ''''''∆2 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // , ∴ ADE ∆∽ABC ∆．知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交,所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等,两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例,两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： 1以上各种判定均适用．2如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似．3直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项;如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高, 则AD 2=BD ·DC,AB 2=BD ·BC ,AC 2=CD ·BC ;知识点8 相似三角形常见的图形(1)E AB C D(3)D B C A E (2)C D E AB DBC1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形有“A型”与“X型”图2 如图：其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形;有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”（3）如图：称为“垂直型”有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型也称“射影定理型””“三垂直型”4如图：∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形;2、几种基本图形的具体应用：1若DE∥BCA型和X型则△ADE∽△ABC2射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高双直角图形则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB；3满足1、AC2=AD·AB,2、∠ACD=∠B,3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB．4当AD AEAC或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB．BEACD12ABCDE12AABB C CDDEE12412BBC(D)B(3)B(2)D知识点9：全等与相似的比较：知识点10 相似三角形的性质1相似三角形对应角相等,对应边成比例．2相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 3相似三角形周长的比等于相似比．4相似三角形面积的比等于相似比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等．知识点11 相似三角形中有关证解题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法： 1线段成比例的定义2三角形相似的预备定理 3利用相似三角形的性质 4利用中间比等量代换 5利用面积关系2、证明题常用方法归纳：1总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”2找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的, 则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.3找中间比：若没有三角形即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这几个字母在同一条直线上,则需要进行“转移”或“替换”,常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到,找中间比;方法：将等式左右两边的比表示出来;①)(,为中间比nm n m d c n m b a ==②'',,n n n md c n m b a ===③),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 4 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线通常是添加平行线构成比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径;平面直角坐标系中通常是作垂线即得平行线构造相似三角形或比例线段;5比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k; 6．对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形或基本图形“分离”出来的办法处理;知识点12 相似多边形的性质1相似多边形周长比,对应对角线的比都等于相似比．2相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比．3相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决,因此,熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点13 位似图形有关的概念与性质及作法1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形.2. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.注：1 位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点.2 位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.3 位似图形的对应边互相平行或共线.3.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：位似图形具有相似图形的所有性质.4. 画位似图形的一般步骤：1 确定位似中心位似中心可以是平面中任意一点2 分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长或截取.3 根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置.4 顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点,该点可在图形内,或在图形外,或在图形上图形边上或顶点上;②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外,称为“外位似”即同向位似图形③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上,称为“内位似”即反向位似图形5 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点O为位似中心,相似比为kk>0,原图形上点的坐标为x,y,那么同向位似图形对应点的坐标为kx,ky, 反向位似图形对应点的坐标为-kx,-ky,经典例题透析类型一、相似三角形的概念1．判断对错：1两个直角三角形一定相似吗为什么2两个等腰三角形一定相似吗为什么3两个等腰直角三角形一定相似吗为什么4两个等边三角形一定相似吗为什么5两个全等三角形一定相似吗为什么思路点拨：要说明两个三角形相似,要同时满足对应角相等,对应边成比例.要说明不相似,则只要否定其中的一个条件.解：1不一定相似.反例直角三角形只确定一个直角,其他的两对角可能相等,也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.2不一定相似.反例等腰三角形中只有两边相等,而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,所以等腰三角形不一定相似.3一定相似.在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中设AB=a, A′B′=b,则BC=a,B′C′=b,AC=a,A′C′= b∴∴ABC∽A′B′C′4一定相似.因为等边三角形各边都相等,各角都等于60度,所以两个等边三角形对应角相等,对应边成比例,因此两个等边三角形一定相似.5一定相似.全等三角形对应角相等,对应边相等,所以对应边比为1,所以全等三角形一定相似,且相似比为1.举一反三变式1两个相似比为1的相似三角形全等吗解析：全等.因为这两个三角形相似,所以对应角相等.又相似比为1,所以对应边相等.因此这两个三角形全等.总结升华：由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不一定相似.1两个直角三角形,两个等腰三角形不一定相似.2两个等腰直角三角形,两个等边三角形一定相似.3两个全等三角形一定相似,且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.变式2下列能够相似的一组三角形为A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析：根据相似三角形的概念,判定三角形是否相似,一定要满足三个角对应相等,三条对应边的比相等.而A 中只有一组直角相等,其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形,且对应边的比也相等.答案选C.类型二、相似三角形的判定2．如图所示,已知中,E为AB延长线上的一点,AB=3BE,DE与BC相交于F,请找出图中各对相似三角形,并求出相应的相似比.思路点拨：由可知AB∥CD,AD∥BC,再根据平行线找相似三角形.解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED.∴△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时,相似比；当△BEF∽△AED时,相似比；当△CDF∽△AED时,相似比.总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似,共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边,还需注意两个三角形的先后次序,若次序颠倒,则相似比成为原来的倒数.3．已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6.在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗为什么思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形,且已知两边长,所以可利用勾股定理分别求出第三边AC 和DE,再看三边是否对应成比例.解：在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°.由勾股定理,得.在△ABC和△EDF中,,,,∴,∴△ABC∽△EDF三边对应成比例,两三角形相似.总结升华：1本题易错为只看3,6,4,10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相似,应看三角形的三边是否对应成比例,而不是两边.2本题也可以只求出AC的长,利用两组对应边的比相等,且夹角相等,判定两三角形相似.4．如图所示,点D在△ABC的边AB上,满足怎样的条件时,△ACD与△ABC相似试分别加以列举.思路点拨：此题属于探索问题,由相似三角形的识别方法可知,△ACD与△ABC已有公共角∠A,要使此两个三角形相似,可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时,△ACD∽△ABC.条件一：∠1=∠B.条件二：∠2=∠ACB.条件三：,即.总结升华：本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时,用分析法,可先假设△ACD∽△ABC,然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则,因为条件三能使问题成立,所以出现条件四是错误的.举一反三变式1已知：如图正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形,虽有相等的直角,但不知AQ与PQ是否垂直,所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形,Q是CD中点,而BP=3PC,所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中,∵Q是CD的中点,∴=2∵=3,∴=4又∵BC=2DQ,∴=2在△ADQ和△QCP中,=,∠C=∠D=90°,∴△ADQ∽△QCP．变式2如图,弦和弦相交于内一点,求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式,我们可以转化为比例式,从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接,.在∴∽∴.变式3已知：如图,AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．思路点拨：EF为△ABC的中位线,EF=BC,又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线,DE=AB,DF= AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．证明：在Rt△ABD中,DE为斜边AB上的中线,∴DE=AB,即=．同理=．∵EF为△ABC的中位线,∴EF=BC,即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：本题证明方法较多,可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC,再证夹这个角的两边成比例,即=,也可证明∠FED=∠EDB=∠B,同理∠EFD=∠FDC=∠C,都可以证出△DEF∽△ABC．类型三、相似三角形的性质5．△ABC∽△DEF,若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm,而4cm是△DEF中一边的长度,你能求出△DEF 的另外两边的长度吗试说明理由.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边,因此需分三种情况进行讨论.解：设另两边长是xcm,ycm,且x<y.1当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时,有,从而x=cm,y=cm.2当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时,有,从而x=cm,y=cm.3当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时,有,从而x=cm,y=cm.综上所述,△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm,cm或cm,cm三种可能.总结升华：一定要深刻理解“对应”,若题中没有给出图形,要特别注意是否有图形的分类.6．如图所示,已知△ABC中,AD是高,矩形EFGH内接于△ABC中,且长边FG在BC上,矩形相邻两边的比为1：2,若BC=30cm,AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽,从而求出矩形的面积.解：∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC,∴AD⊥EH,MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2,设EF=xcm,则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比,得,∴,∴,.∴EF=6cm,EH=12cm.∴.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题,经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质,若图中没有高可以先作出高.举一反三变式1△ABC中,DE∥BC,M为DE中点,CM交AB于N,若,求.解：∵DE∥BC ,∴△ADE∽△ABC∴∵M为DE中点, ∴∵DM∥BC , ∴△NDM∽△NBC∴∴=1：2.总结升华：图中有两个“”字形,已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形,利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形,从而解决问题.类型四、相似三角形的应用7．如图,我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离即河宽,你有什么方法方案1：如上左图,构造全等三角形,测量CD,得到AB=CD,得到河宽.方案2：思路点拨：这是一道测量河宽的实际问题,还可以借用相似三角形的对应边的比相等,比例式中四条线段,测出了三条线段的长,必能求出第四条.如上右图,先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆,然后方向不变,继续向前走10m到C 处,在C处转90°,沿CD方向再走17m到达D处,使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少解：∵AB⊥BC,CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴∵BO=50m,CO=10m,CD=17m∴AB=85m答：河宽为85m．总结升华：方案2利用了“”型基本图形,实际上测量河宽有很多方法,可以用“”型基本图形,借助相似；也可用等腰三角形等等.举一反三变式1如图：小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是m,他的影长是2 m．1图中△ABC与△ADE是否相似为什么2求古塔的高度．解：1△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE,DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE2由1得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m,AE=2+18=20m,BC=∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m.变式2已知：如图,阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=,窗口高AB=,求窗口底边离地面的高BC思路点拨：光线AD,利用边的比例关系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.因为AD∥BE,所以又因为,所以,所以.因为AB∥EF, AD∥BE,所以四边形ABEF是平行四边形,所以EF=AB=.所以m.类型五、相似三角形的周长与面积8．已知：如图,在△ABC与△CAD中,DA∥BC,CD与AB相交于E点,且AE︰EB=1︰2,EF∥BC交AC于F 点,△ADE的面积为1,求△BCE和△AEF的面积．思路点拨：利用△ADE∽△BCE,以及其他有关的已知条件,可以求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高,根据AB︰BE=3︰2,可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC,可求出△AEF的面积．解：∵DA∥BC,∴△ADE∽△BCE．∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．∵AE︰BE=1︰2,∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．∵S△ADE=1,∴S△BCE=4．∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2,∴S△ABC=6．∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC．∵AE︰AB=1︰3,∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．∴S△AEF==．总结升华：注意,同底或等底三角形的面积比等于这底上的高的比；同高或等高三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时,它们的面积比等于对应线段比的平方,即相似比的平方．举一反三变式1有同一三角形地块的甲、乙两地图,比例尺分别为1∶200和1∶500,求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解：设原地块为△ABC,地块在甲图上为△A1B1C1,在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且,,∴,∴.变式2如图,已知：△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ2∵S△PQC 的周长与四边形PABQ的周长相等,∴PC+CQ=PA+AB+QB=△ABC的周长=6∵PQ∥AB, ∴△PQC∽△ABC∴,即：解得,CP=类型六、综合探究9．如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是AD上一动点不与A、D重合,PE⊥BP,P为垂足,PE交DC于点E,1设AP=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围；2请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形如果能,求出AP的长；如果不能,请说明理由.解：1∵AB∥CD ,∴∠A+∠D=180°∵∠A=90°, ∴∠D=90°,∴∠A=∠D又∵PE⊥BP ,∴∠APB+∠DPE=90°,又∠APB+∠ABP=90°, ∴∠ABP=∠DPE,∴△ABP∽△DPE∴,即∴2欲使四边形ABED为矩形,只需DE=AB=2,即,解得∵,∵均符合题意,故AP=1或4.总结升华：1求以线段长为变量的两个函数间的关系时,常常将未知线段和已知线段作为三角形的边,利用相似三角形的知识解决.2解决第2小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置,再转化为具体的数值,通过建立方程解决,体现了数形结合的思想.10．如图,在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任意一点,PE∥AB交AC于E,PF∥AC交AB于F.1设BP=,△PEF的面积为,求与的函数解析式和的取值范围；2当P在BC边上什么位置时,值最大.解：1∵BC=2, BC边上的高AD=1∴△ABC的面积为1∵PF∥AC,∴△BFP∽△BAC∴,∴同理△CEP∽△CAB∴,∴∵PE∥AB, PF∥AC,∴四边形PFAE为平行四边形∴∴.2∴当时,即P点在BC边的中点时,值最大.总结升华：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系,可考虑从以下几方面考虑：1从面积公式入手；2从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；3从同底或等高入手,将面积比转化为底之比或高之比.。
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A
相似三角形的几种基本图形：
（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形.
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形.
A
B
C
D E
1
2A
A
B
B
C
C D
D E
E
124
1
2
（∠B=∠D ） （双垂直）
（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形.
（4）一线三等角型
二、例题分析
1、下列说法不正确的是（ ）
A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形；
B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形；
C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形；
D 、以上有两个说法是正确。
2、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（ ）
A 、
2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对
3、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ）
A 、∠ACP=∠
B B 、∠APC=∠ACB
C 、AC
AP AB
AC = D 、AB
AC BC
PC =
4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③
AD AB AE AC =；其中正确的有 （ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 、0个
E
D C
B
A
B E
A
C
D 1
2
A B
C D E B D B E A C
D A B
D
E F
A
B
C P
5、如图AD ⊥AB 于D ，CE ⊥AB 于E 交AB 于F ，则图中相似三角形的对数是 。
；
6、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= 。
7、如图四，在平行四边形ABCD 中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF =
________cm
8、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽Δ
EAD.
9、已知，如图，D 为△ABC 内一点，连结ED 、AD ，以BC 为边
在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD
求证：△DBE ∽△ABC
10、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD
11、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D。