第五章控制系统的稳定性分析 _2

1 0
λ
控制工程基础
第五章 稳定性分析
二、劳斯判据的特殊情况
(一) 特殊情况一
如果在Routh表中，某一行的第一个元素为 零，而该行又存在非零元素时。
处理：
用一个很小(任意小)正数来代替这一零元素， 然后计算Routh表。
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第五章 稳定性分析
结论：
(1)第一列元素符号改变的次数为不稳定根的个数； (2)第一列元素符号不改变，系统为临界稳定。
sn s n −1 s n−2 s n−3 M s2 s1 s0
an a n −1 A1 B1 M D1 E1 F1
a n−2 a n−3 A2 B2 M D2
a n−4 a n−5 A3 B3 M
a n−6 a n−7 A4 B4
L L L L
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式中：
an−1an−2 − an an−3 A1 = an−1
an−1an−4 − an an−5 A2 = an−1
M
A1an−3 − an−1 A2 B1 = A1
A1an−5 − an−1 A3 B2 = A1
M
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第五章 稳定性分析
(3)若劳斯计算表中，第一列各元素的符号都 相同，系统是稳定；若第一列各无符号不同， 则系统是不稳定的，其各符号依序改变的次数， 等于正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件： 系统稳定的充要条件：
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结论：
1、存在两个符号相异，绝对值相同的实根； 2、存在一对共轭纯虚根； 3、存在实部符号相异，虚部数值相同的两对 共轭复数根。
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例： D( s ) = s 5 + 2 s 4 + 24s 3 + 48s 2 − 25s − 50 = 0 解：
s5 s4 s3 1 2 0 24 48 0 − 25 − 50 0
辅助 方程
F ( s ) = 2 s 4 + 48s 2 − 50 = 0
求导
s3 s2 s0
8
96 0 0
8s 3 + 96s = 0
24 − 50 0
s1 112.7 0 − 50
2s 4 + 48s 2 − 50 = 0
解得： s1.2
由于第一列各元素符 号改变次数为2，所以 系统不稳定，且有两
11 0 0
s 2 − 30
个不稳定的根。
0
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例2：设某系统的特征方程为：
s 3 + (λ + 1) s 2 + (λ + µ − 1) s + µ − 1 = 0
试确定待定参数 λ 及 µ ，以便使系统稳定。
解
根据特征方程列写劳斯表：
s s
3 2
1
λ + µ −1 µ −1
0 0
s1 s
0
λ +1 λ (λ + µ ) λ +1 µ −1
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要使系统稳定，则第一列元素为正，有
λ + 1 > 0 λ (λ + µ ) > 0 µ − 1 > 0
µ
解得：
λ > 0 µ > 1
例： D ( s ) = s 3 − 3s + 2 = 0 解： s 3
s2 s s
1
1 0 (ε ) −3− 2 2
−3 2
ε
0
可见，系统有两 个不稳定根。
0
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(二) 特殊情况二 二
如果Routh计算表的任意一行中的所有元均为 零时。
处理：
由全零元素上一行元素列写辅助方程式，对 辅助方程两端求导，再将辅助方程求导后的方程 系数代替全零行的元素，继承进行劳斯表计算。
Routh表中第一列各元素的符号均为 正且值不零。
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例1：系统的特征方程为：
s + s − 19 s + 11s + 30 = 0
4 3 2
其系数符号不同，不满足稳定的必要条件， 系统不稳定。
s4 解： s3 s s
1 0
1 − 19 1 12 30 30 0 0
30 0
设系统特征方程为：
D( s ) = an s n + an−1s n−1 + L + a1s + a0 = 0
(1) 列形式列写Routh表：
an a n −1 an−2 a n −3 an−4 a n −5 a n −6 a n−7
... ...
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(2)对Routh表进行计算：
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第二节 劳斯判据
Routh早在1884年就提出了一种避免求解特征 方程的根，而通过根与系数的关系来讨论特征根的 分布。
一、Routh判据
1、系统稳定的必要条件
(1)特征方程的各项系数都不等于零； (2)特征方程的各项系数的符号相同。
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2、系统稳定的充要条件
= Байду номын сангаас1
s3.4 = ± j5
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三、劳斯判据的实用范围
1、实系数的代数方程式； 2、若系统有纯滞后环节时，则不能用该判据了。 2、只能提供闭环系统的绝对稳定性信息，不能反 映系统的相对稳定性。