控制系统的稳定性分析
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x - xe e ， 则称平衡状态 x 在李雅普诺 的X的运动轨迹有 lim e t
夫意义下是稳定的。 如果 d 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
8
2、渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋 向于无穷大时，有：
2
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定 a 的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ， k t t0 , ut 当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满 u(t ) k y(t ) ak 足 ,则称该因果系统是外部稳定的，也就是有 yt 界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
说明 ：
& f ( x ) Ax 0 1、对于线性定常系统：x e e
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。
A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的） 设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 S(e ) 或任意正实数 e > 0 ，都可以找到另一个正实数 d (e , t0 ) 或球 域 S(d ) ，当初始状态 x0 满足 x0 - xe d (e , t0 ) 时，对由此出发
3
对于零初始条件的定常系统，设初始时刻
响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 W t
，单位脉冲 t0 0
的每一个元素
，则系统为 BIBO W ( s ) 稳定的
充分必要条件为，存在一个有限常数k，使 满足
wij (t ) (i 1,2,...q, j 1,2,...p)
函数
0
wij (t ) dt k
围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范
围渐近稳定的。
10
4、不稳定 如果对于某一实数 e > 0 ，不论 d 取得多么小，由 S(d )内 出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S (e ) ，则称平衡状态xe是
不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了S (e ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S (e ) 外的某个极限环。
11
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
12
二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
]Байду номын сангаас
1 2
7
( s) 或者 wij 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递
的所有极点处在左半复平面。 w( s)
4
4.2 动态系统的内部稳定性
1. 系统的平衡状态 2. 状态向量范数 3. 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定
5
一、系统的平衡状态
& f ( x ) 0 ，称x 为系统 平衡状态：对所有时间t，如果满足 x e e e 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。
主要内容
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 李雅普诺夫判稳第二方法
5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
1
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
lim x - xe 0
t
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。 如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
9
3、大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x - xe 0
t
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其 渐近稳定的最大范围是整个状态空间。 必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
夫意义下是稳定的。 如果 d 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
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2、渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋 向于无穷大时，有：
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4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定 a 的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ， k t t0 , ut 当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满 u(t ) k y(t ) ak 足 ,则称该因果系统是外部稳定的，也就是有 yt 界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
说明 ：
& f ( x ) Ax 0 1、对于线性定常系统：x e e
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。
A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
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[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的） 设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 S(e ) 或任意正实数 e > 0 ，都可以找到另一个正实数 d (e , t0 ) 或球 域 S(d ) ，当初始状态 x0 满足 x0 - xe d (e , t0 ) 时，对由此出发
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对于零初始条件的定常系统，设初始时刻
响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 W t
，单位脉冲 t0 0
的每一个元素
，则系统为 BIBO W ( s ) 稳定的
充分必要条件为，存在一个有限常数k，使 满足
wij (t ) (i 1,2,...q, j 1,2,...p)
函数
0
wij (t ) dt k
围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范
围渐近稳定的。
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4、不稳定 如果对于某一实数 e > 0 ，不论 d 取得多么小，由 S(d )内 出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S (e ) ，则称平衡状态xe是
不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了S (e ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S (e ) 外的某个极限环。
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4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
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二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
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二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
]Байду номын сангаас
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( s) 或者 wij 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递
的所有极点处在左半复平面。 w( s)
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4.2 动态系统的内部稳定性
1. 系统的平衡状态 2. 状态向量范数 3. 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定
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一、系统的平衡状态
& f ( x ) 0 ，称x 为系统 平衡状态：对所有时间t，如果满足 x e e e 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。
主要内容
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 李雅普诺夫判稳第二方法
5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
1
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
lim x - xe 0
t
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。 如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
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3、大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x - xe 0
t
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其 渐近稳定的最大范围是整个状态空间。 必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)