控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。
稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。
本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。
一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。
常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。
1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。
Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。
Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。
通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。
二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。
稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。
通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。
为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。
2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。
幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。
为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。
3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。
因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。
在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。
第五章 控制系统的稳定性分析
控制工程基础
第五章 稳定性分析
3、曲线Ls、Lf的形状对于N、p、z的数值没 有影响，即Lf绕原点的圈数N仅取决于Ls所包 含F(s)的零极点数，而与Ls的形状无关，Ls、 Lf也称为奈奎斯特轨迹。
控制工程基础
第五章 稳定性分析
三、Nyquist稳定判据
1、[s]平面上Ls的选择 [s]平面上L 平面上 正半平面的无穷大半圆 。若在虚轴上有 奇点，则用无穷小半圆绕开。
an−1an−4 − an an−5 A2 = an−1
⋮
A1an−3 − an−1 A2 B1 = A1
A1an−5 − an−1 A3 B2 = A1⋮控 Nhomakorabea工程基础
第五章 稳定性分析
(3)若劳斯计算表中，第一列各元素的符号都 相同，系统是稳定；若第一列各无符号不同， 则系统是不稳定的，其各符号依序改变的次数， 等于正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件： 系统稳定的充要条件： Routh表中第一列各元素的符号均为正且 Routh 表中第一列各元素的符号均为正且 值不零。 值不零。
将系统特性由复域引入频域来分析，即通 过开环 GK ( jw) 的Nyquist图，利用图解法来判 闭环系统的稳定性的，又称作几何判据。
控制工程基础
第五章 稳定性分析
优点：
1、由开环传递函数来求解闭环系统的稳定性， 避开了求解特征方程根的繁锁工作； 2、当系统的传递函数无法用分析法列写时， 可以通过实验来获得这些环节的频率特性曲 线来判断系统的稳定性。 3、奈奎斯特判据不仅能告诉绝对稳定性，还 能告诉系统相对稳定性，以及提高稳定性的 途径；
P1
F(s1)
o
o
Z1
o
σ
σ
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
控制系统的稳定性分析与设计
控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点，而不会发生不可控的偏差，从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下，回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内，控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化，而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件：（1）经过一定时间后，系统从任何初始状态转移到平衡状态；（2）平衡状态具有稳定性，即系统在发生一定幅度的干扰时，需要在一定时间内回复到原平衡状态；（3）平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响，但是通过合理的调节和控制，使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法（1）指标法：它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态，比如阻尼系数、频率响应等。
（2）相关函数法：它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
（3）传递函数法：传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系，可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
（4）极点分布法：分析系统的极点分布情况，确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器，它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时，需要进行以下步骤：（1）确定控制系统的传递函数；（2）确定控制系统的目标响应曲线；（3）通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器；（4）进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器，它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
控制系统稳定性分析
控制系统稳定性分析引言控制系统是一种通过控制输入信号以达到预期输出的系统。
在实际应用中，控制系统的稳定性是非常重要的，因为它直接关系到系统的可靠性和性能。
本文将介绍控制系统稳定性分析的基本概念、稳定性判据以及常见的稳定性分析方法。
基本概念在控制系统中，稳定性是指系统的输出在输入信号发生变化或扰动时，是否能够以某种方式趋向于稳定的状态，而不产生超调或振荡。
在进行稳定性分析之前，我们需要了解几个重要的概念。
稳定性定义对于一个连续时间的线性时不变系统，如果对于任意有界输入信号，系统的输出始终有界，则称该系统是稳定的。
换句话说，稳定系统的输出不会发散或趋向于无穷大。
极点（Pole）系统的极点是指其传递函数分母化简后得到的方程的根。
极点的位置对系统的稳定性有很大的影响，不同的极点位置可能使得系统的稳定性不同。
范围稳定性（Range Stability）当输入信号有界时，系统的输出也保持有界，即系统是范围稳定的。
渐进稳定性（Asymptotic Stability）当输入信号趋向于有界时，系统的输出也趋向于有界，即系统是渐进稳定的。
稳定性判据稳定性判据是用来判断控制系统是否稳定的方法或准则。
常见的稳定性判据有：Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据以及Bode稳定判据。
Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz稳定性判据是一种基于极点位置的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数确定极点。
2.构造Routh表。
3.根据Routh表的符号判断系统的稳定性。
Nyquist判据Nyquist稳定性判据是一种基于频率响应的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制频率响应曲线。
2.根据频率响应曲线的特征判断系统稳定性。
Bode稳定判据Bode稳定判据是一种基于系统的幅频特性和相频特性的方法。
具体步骤如下：1.根据系统的传递函数绘制Bode图。
2.根据Bode图的特征判断系统稳定性。
稳定性分析方法除了以上的稳定性判据外，还有一些常用的稳定性分析方法可以应用于控制系统的稳定性分析。
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4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
12
二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
]
1 2
7
主要内容
1. 动态系统的外部稳定诺夫判稳第二方法
5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
1
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
x - xe e ， 则称平衡状态 x 在李雅普诺 的X的运动轨迹有 lim e t
夫意义下是稳定的。 如果 d 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
8
2、渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋 向于无穷大时，有：
3
对于零初始条件的定常系统，设初始时刻
响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 W t
，单位脉冲 t0 0
的每一个元素
，则系统为 BIBO W ( s ) 稳定的
充分必要条件为，存在一个有限常数k，使 满足
wij (t ) (i 1,2,...q, j 1,2,...p)
函数
0
wij (t ) dt k
说明 ：
& f ( x ) Ax 0 1、对于线性定常系统：x e e
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。
A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。 4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的） 设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域 S(e ) 或任意正实数 e > 0 ，都可以找到另一个正实数 d (e , t0 ) 或球 域 S(d ) ，当初始状态 x0 满足 x0 - xe d (e , t0 ) 时，对由此出发
( s) 或者 wij 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递
的所有极点处在左半复平面。 w( s)
4
4.2 动态系统的内部稳定性
1. 系统的平衡状态 2. 状态向量范数 3. 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）
稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 不稳定
5
一、系统的平衡状态
& f ( x ) 0 ，称x 为系统 平衡状态：对所有时间t，如果满足 x e e e 的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。
lim x - xe 0
t
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。 如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
9
3、大范围渐近稳定 如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x - xe 0
t
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其 渐近稳定的最大范围是整个状态空间。 必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范
围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范
围渐近稳定的。
10
4、不稳定 如果对于某一实数 e > 0 ，不论 d 取得多么小，由 S(d )内 出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S (e ) ，则称平衡状态xe是
不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了S (e ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S (e ) 外的某个极限环。
2
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定 a 的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ， k t t0 , ut 当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满 u(t ) k y(t ) ak 足 ,则称该因果系统是外部稳定的，也就是有 yt 界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。