线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性分析实验报告
线性系统的稳定性分析实验报告本实验旨在对线性系统的稳定性进行分析，包括定义稳定性、利用极点分布法分析稳定性、利用本征模态分析稳定性、以及使用Matlab进行稳定性分析等内容。
一、实验背景稳定性是控制系统研究中一个非常重要的概念，它与系统的性能、可靠性、控制策略等密切相关。
简而言之，稳定性就是指当输入信号发生变化时，系统能否在一定时间范围内维持稳定状态。
对于线性系统，稳定性的分析可以通过系统的传递函数、本征模态等途径进行求解。
二、实验设备（1）计算机（2）Matlab软件三、实验过程及结果1.定义稳定性在控制系统稳定性分析中，一般都是针对线性时不变系统进行讨论。
对于线性时不变系统，我们可以采用两种常用的定义方法来判断其稳定性：（1）定义1：系统是稳定的，当且仅当系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
（2）定义2：系统是稳定的，当且仅当系统的特征方程所有极点的实部均小于0。
2.利用极点分布法分析稳定性极点分布法是一种常用的线性时不变系统稳定性分析方法，通过计算系统的特征方程的极点分布来判断系统的稳定性。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/ (s+1)(s-2)的系统，可以写出系统的特征方程：s^2-s-2=0求解特征方程，得到系统的两个极点为s1=2,s2=-1，其中s2=-1的实部小于0，符合定义2的稳定性判断标准，因此该系统是稳定的。
3.利用本征模态分析稳定性本征模态是指一组特定的正交基，通过它们可以表示出系统的任意初始状态和任意输入下的响应。
因此，本征模态分解法是一种可以用来分析线性可逆系统稳定性的工具。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/(s+3)的系统，对应的状态空间方程为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，A=[-3]，B=[1]，C=[1]，D=0。
求解系统的本征值，得到该系统的特征根为-3，证明该系统是非常稳定的。
因此，该系统满足定义2的稳定性判断标准。
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
西工大、西交大自动控制原理 第五节 线性系统的稳定性分析9-10
1.系统稳定性概念
线性控制系统的稳定性定义
设线性控制系统在初始扰动的影响 下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰 减并趋向于零，则称该系统渐进稳定(简 称稳定)。反之，若在初始扰动的影响下， 系统过渡过程随着时间的推移而发散， 则称系统为不稳定。
1.系统稳定性概念
线性控制系统的稳定性是系统自身的固有特性。 稳定与否和输入信号及初始偏差的大小无关。
若通过系统自身的调节作用， 使偏差最后 逐渐减小，系统又逐渐恢复到平衡状态， 那么， 这种系统便是稳定的。
1. 系统稳定性概念
c(t)
c(t)
扰动
O (a)
扰动
O t
t (b)
不稳定
稳定
1. 系统稳定性概念
大范围稳定: 不论扰动引起的初始偏差有多大，
当扰动取消后，系统都能够恢复到原有 的平衡状态。
试用Hurwitz判据判断系统的稳定性。
解：(1) 特征方程式的各项系数均大于0。 (2) 各阶Hurwitz行列式为：
D1 a1 1 0
D2
a1 a0
a3 1 a2 2
5 7 0
3
3、稳定判据（代数判据）
(1) Hurwitz稳定判据
a1 a3 a5 1 5 0 D3 a0 a2 a4 2 3 10 45 0
2线性系统稳定的充分必要条件
设线性系统在初始条件为零时，输入一个 理想单位脉冲信号 (t)，这时系统的输出称为 脉冲过渡函数（或称脉冲响应）g (t)
若系统闭环传递函数为：
m
Φs
Cs Rs
M s N s
Kg
n1
s sj
s zi
i 1
s2 2ζ k ωk s ωk2
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
线性系统稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
g1
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
an1aΒιβλιοθήκη 1an an4b2
an1 an5 an1an4 anan5
an1
an1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
s
例：P70 稳定程度应用
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
线性系统的稳定性分析与控制
线性系统的稳定性分析与控制线性系统的稳定性是控制理论中的重要概念，对于系统设计和控制算法的选择具有重要的指导意义。
本文将对线性系统的稳定性分析与控制进行探讨，并介绍一些常用的稳定性分析方法和控制策略。
一、线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性可以通过系统的特征方程来进行判断。
特征方程是描述系统动态行为的一个重要方程，其形式为 sI-A=0，其中s是复变量，I是单位矩阵，A是系统的状态矩阵。
1.定态响应法定态响应法是一种简单直观的稳定性分析方法。
通过对特征方程的根进行判断，可以得到系统的稳定性信息。
如果特征方程的所有根都具有负的实部，即根的实部小于零，那么系统是稳定的；如果特征方程存在根具有正的实部，那么系统是不稳定的。
2.奇异值分析法奇异值分析法是一种基于矩阵理论的稳定性分析方法。
通过计算系统的奇异值，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的奇异值都小于1，那么系统是稳定的；如果系统的奇异值存在大于1的值，那么系统是不稳定的。
3.频域分析法频域分析法是一种基于信号频谱的稳定性分析方法。
通过对系统的传递函数进行频谱分析，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的传递函数在整个频率范围内都满足 Nyquist 准则，即曲线不绕过点 (-1,0)，那么系统是稳定的；如果系统的传递函数在某些频率点满足 Nyquist 准则，即曲线绕过点 (-1,0)，那么系统是不稳定的。
二、线性系统的控制策略线性系统的控制旨在通过选择合适的控制策略来改变系统的动态特性，使系统满足设计要求。
1.比例控制器比例控制器是一种简单的控制策略，通过调整比例增益，使系统的输出与期望值之间保持一定的比例关系。
比例控制器可以用于稳定系统的稳态误差，并改善系统的响应速度。
然而，比例控制器无法消除系统的超调和振荡。
2.积分控制器积分控制器是一种通过积分操作来减小系统稳态误差的控制策略。
积分控制器可以消除系统的稳态误差，但会增加系统的响应时间。
同时，在实际应用中需要注意积分饱和现象的出现。
线性系统稳定性分析
线性系统稳定性分析1.系统的稳定性：（1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到原来的稳定输出。
输出稳定有时描述为系统的BIBO 稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。
（2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。
当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。
经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO ）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。
对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov 稳定性理论。
2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为：0.0(,)()|t t X f X t X t X ===，其中，()X t 为系统的n 维状态向量，f 是有关状态向量X 以及时间t 的n 维矢量函数，f 不一定是线性定常的。
如果对所有的t ，状态e X 总满足：(,)0e f X t =，则称e X 为系统的平衡状态。
对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。
系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。
3. Lyapunov 稳定性分析（1）Lyapunov 稳定性定义设一般控制系统的解为：00()(;,)X t t X t =Φ，它是与初始时间0t 及初始状态0X 有关的，体现系统状态从00(,)t X 出发的一条状态轨迹。
设e X 为系统的一个平衡点，如果给定一个以e X 为球心，0(,)t δε为半径的n 维球域()S δ，使得从()S δ球域出发的任意一条系统状态轨迹00(;,)t X t Φ在0t t ≥的所有时间内都不会跑出()S ε球域，则称系统的平衡状态e X 是Lyapunov 稳定的。
线性系统的稳定性分析
关于线性系统稳定性的进一步探究任何一个实际系统总是在各种偶然和持续的干扰下运动或工作的。
显然，我们首先要考虑的问题是，当系统承受这种干扰之后，能否稳妥地保持预定的运动轨迹或者工作状态，这就是稳定性。
此外，我们知道，描述系统的数学模型，绝大部分都是近似的，这或者是由于量测误差，或者是为使问题简化，而不得不忽略某些次要因素。
近似的数学模型能否如实反映实际的运动，在某种意义上说，也是稳定性问题。
系统的稳定性在控制中是一个很重要的问题。
在学习完稳定性理论之后，对此有了更为深刻的理解，不单单停留在输出跟踪输入的浅显印象之上，获益匪浅。
因此，本文根据黄琳院士较为精炼的数学讲解，描述了一些自己对该问题的直观思考，并且结合线性系统和具体实例对稳定性作进一步分析，使内容不再过于抽象，更为深入地理解其应用价值。
1 预备理论1.1 微分方程解的表示考虑微分方程00(,)()xf x t x t x =⎧⎨=⎩ 其解()x t 是自变量t 的函数，而0t ，0x 变动时对应的解也随着变动，故它应该是自变量t 与初值0t 、0x 的函数, 可记为00(;,)x t t x 。
例如：000000(;,)()t t t t xx x x t t x e x t e x --=⇒=== 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上的意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小。
1.2 Lipschitz 条件001212(,)()(,)(,)(,):x f x t x t x t t t t t I x W R==∈⊂-∞+∞=∈⊂ (,)f x t 的定义域记为⨯W I 。
若存在常数L ，使得对任何I,,Wt x y ∈∈都有(,)(,)f x t f y t L x y -≤-则称f 在W I ⨯上满足Lipschitz 条件。
5-3 线性系统的稳定性分析
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(6/21)
证明过程为： ➢ 对任意给定的正定矩阵Q,构造矩阵P如下
P eAτtQeAtdt 0
➢ 由矩阵指数函数eAt的定义和性质知,上述被积矩阵函数的 各元素一定是具有tket形式的诸项之和,其是A的特征值。 ✓ 因为系统是渐近稳定的,则矩阵A的所有特征值的实 部一定小于零,因此上述积分一定存在,即P为有限对 称矩阵。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法,该方法 ➢ 不需寻找李雅普诺夫函数, ➢ 不需求解系统矩阵A的特征值,
只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。 ✓ 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。
➢ 由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵 方程的唯一解的推论。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(10/21)—推论1
数V’(x)
通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的
稳定性
线性定连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(4/21)
证明过程为： ➢ 已知满足矩阵方程
PA+AP=-Q 的正定矩阵P存在,故令
V(x)=xPx. ➢ 由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为
V’(x)=(xPx)’ =x’Px+xPx’ =(Ax)Px+xPax =x(AP+PA)x =-xQx
如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来 分析该线性系统的稳定性。
线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析(1/21)
5.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax
这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0, 即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次 型函数的形式。
第7章线性系统的稳定性分析
(b)外加扰动
(c)系统稳定
(d)系统不稳定
临界稳定：扰动消失后，如果系统的输出与原始 平衡状态之间存在恒定偏差，或输出维持等幅振 荡，则系统处于临界稳定状态。
稳定
临界稳定
不稳定
说明： （1）在经典控制论中，将临界稳定视为不稳定。 原因： ①在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或 线性化； ②实际系统参数的时变特性； ③系统必须具备一定的稳定裕量。
t o
则系统（渐近）稳定。
b1s m 1 bm 1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
1
j
j j )][s ( j j j )]
令xi(t)=0，此时在扰动输入n(t)作用下系统的闭 环传递函数为：
X ( s) G2 ( s ) N ( s) o 2 N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
b0 s m b1s m 1 bm 1s bm a0 s n a1s n 1 an 1s an
a0
b0 s m b1s m1 bm1s bm
(s p ) [s (
i i 1 j k 1
k
n
j
j j )][s ( j j j )]
假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号 δ(t)的作用，此时系统的输出为单位脉冲响应。这相当 于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题。 显然，当t→∞时，如果 lim x t 0
在控制工程中，一般取a0为正值。如果a0为负值， 则可在特征方程的两边同乘以-1使a0变成正值。则上述结 论可以归纳为：要使全部特征根s1、s2、…、sn都具有负 实部，则特征方程的各项系数a0、a1、a2、…、an均必须 为正值，即
线性系统的稳定性
设控制系统的特征方程式为
D( s ) = a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an = 0
必要条件是 （1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： ） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 均为 正值，且特征方程式不缺项。 正值，且特征方程式不缺项。 （2）列劳斯表。 ）列劳斯表。
s ( s 2 + s + 1)( s + 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C (s) K = 2 R( s ) s ( s + s + 1)( s + 2) + K
所以系统的特征方程为
D( s) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
4 3 2
列劳斯表如下: 列劳斯表如下
D( s ) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 −6 5 3 4 5 5 0
由于该表第一列系数的符号变化了两 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方 不稳定的 程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定 程中有两个根 右半平面 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的 的取 ：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取 值范围。 值范围。 K
ε
→ −∞ < 0
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 在劳斯表的某一行中， 在劳斯表的某一行中 情况。 情况。 (1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行 (2)再将上述辅助方程对 求导 再将上述辅助方程对s求导 再将上述辅助方程对 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 用求导后的方程系数代替全零行的元素， 用求导后的方程系数代替全零行的元素 续完成劳斯表。 续完成劳斯表。
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
自控理论 3-5线性系统的稳定性分析
a1 Dn =
a3
a5 a4 a3
a7 a6 a5
L 0 L L L L M 0 0 0 0 M
a0 a2 0 a1 0 a0 0 0 M M 0 0
a2 a4 a1 a3 M M 0 0
L an
即
Di > 0
( i = 1, 2,Ln )
其中 D1 = a1 > 0 , D2 = a1 D3 = a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 > 0 a3
• 线性系统的稳定性只取决于系统的结构及 参数，而与初始条件、 参数，而与初始条件、外作用大小及形式 无关。 无关。 • 稳定性只取决于系统闭环极点，而与系统 稳定性只取决于系统闭环极点， 零点无关。 零点无关。
作业： － － 作业： 3－A－8 3－A－9 － －
§3-5 线性系统的稳定性分析 一、稳定的概念 稳定性是指扰动消失后， 稳定性是指扰动消失后，系统由初始偏 差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统 差状态恢复到原平衡状态的性能。 能恢复平衡状态，则称系统是稳定的， 能恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否 则不稳定。 则不稳定。
线性系统稳定性的定义： 线性系统稳定性的定义： 若线性控制系统在扰动作用下， 若线性控制系统在扰动作用下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零， 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称 系统渐近稳定，简称稳定。反之， 系统渐近稳定，简称稳定。反之，若在扰动 作用下， 作用下，系统的动态过程随时间的推移而发 则称系统不稳定。 散，则称系统不稳定。
【例3-5】D(s)= s4 + 2s3 +3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳斯 】 判据判别系统是否稳定, 若不稳, 确定正实部根的数目。 判据判别系统是否稳定 若不稳 确定正实部根的数目。
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下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方 程来判定线性定常系统的稳定性。 例 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
x1 0 x2 1 1 x1 1 x 2
解 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xPx
(3) 不稳定性定理
定理 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若 存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) V’(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的; 2) 若V’(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0)0, V’(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不稳定的。 □
不难看出,原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵,则
0 Q 0 0 0 0 0 0 0 1
由于为非正定,且只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹
不恒为零。 因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结 论依然成立。
设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得
2
12k 6k 0
6k 3k k
0 k 6
行 (1 ) ( 2 ) 2 (1 )
列 (1 ) ( 2 ) 2 (1 )
k 0 0
2
0 3k k
正定(>0正定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解)
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
线性定常连续系统的稳定性分析 设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0, 即为状态空间原点; 2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第(3)点可由如下定理中得到说明。
定理 线性定常连续系统
x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为 矩阵方程 PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫 函数。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法,该方法 不需寻找李雅普诺夫函数, 不需求解系统矩阵A的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。
3) 对于非线性系统,虽然具体的李雅普诺夫函数可证明所 讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的,但并不意 味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定的; 对于线性系统,如果存在着渐近稳定的平衡态,则它 必是大范围渐近稳定的。 4) 此定理不仅适用于线性系统,同样适用于非线性系统;既 适用于定常系统,同样也适用于时变系统。 因此李雅普诺夫第二法是判别平衡态稳定性的具有 普遍性的方法。 5) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普诺夫函 数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状态 方程而具体分析。
0 1 0 k 0 1 p1 1 p 12 p 13 p1 3 p1 1 p 23 p 12 p p 33 13 p1 3 p 23 p33 0 0 k 0 0 1 0 0 1 0 0 1
由定理可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程
PA+AP=-I.
于是,令对称矩阵P为
p 11 P p 12 p 12 p 22
将P代入李雅普诺夫方程,可得
p 11 p 12 p 12 0 1 0 1 1 1 p 22 1 p 11 1 p 12 p 12 1 0 p 22 0 1
(2) 稳定性定理
定理 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若 存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) V’(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 2) 更进一步,若V(x,t)的定义域为Rn,对任意的t0和任意的 x(t0)0,V’(x,t)在t>t0时不恒为零,那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将 仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时,随着||x||→,有V(x,t)→,则该系统在原点处的 一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 □
τ τ
例 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
k s 1
x2
1 s 2
x1
1 s
-
解 由图可写出系统的状态方程为
x1 0 x2 0 k x3 1 2 0 0 1 1 x1 x 2 x3
(1) 渐近稳定性定理
定理 设系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下 述条件: 1) 若V’(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是 一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→,有V(x,t)→,那么该系 统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。 □
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的 全导数分别为
3 V (x) x P x x 2 1
τ
1
τ
1 x 0 2 0 x 0 1
1 V ( x ) x Q x x 0
对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明: 1) 此定理只为判别系统一致渐近稳定的充分条件,而非必 要条件。
也就是说,若找到满足上述条件的一个李雅普诺夫函 数,则系统是一致渐近稳定或大范围一致渐近稳定的。 但是,如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函数, 也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 此时,我们或者 继续寻找满足条件的李雅普诺夫函数,或者 可利用后续定理的结论来判别平衡态的渐 近稳定性。 2) 对于渐近稳定的平衡态,满足条件的李雅普诺夫函数总 是存在的,但并不唯一。
李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论 。 它不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统;既适用于 定常系统,也适用于时变系统。 因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有 普遍性的方法。 李雅普诺夫稳定性理论对控制理论中其他分支理论的发 展也起着重要的作用,是进行现代系统分析和设计的基 础工具。
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附 近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式,
然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。
其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
李雅普诺夫第一法的基本结论是:
1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
V(x)
V’(x)
结论
下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定 正定(>0) 负定(<0) 该平衡态渐近稳定
方法作一小结 半负定(0)且不恒为0
正定(>0) 正定(>0)
(对任意非零的初始状态的解)
半负定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解)
该平衡态渐近稳定 该平衡态稳定 但非渐近稳定
该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。
由上述定理,可得如下关于正定矩阵P是李雅普诺夫矩阵 方程的唯一解的推论。
推论如果线性定常系统x’=Ax在平衡态xe=0是渐近稳定的, 那么李雅普诺夫代数方程 PA+AP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q,存在唯一的正定矩阵解P。 □
在应用上述基本定理和推论时,还应注意下面几点: 如果V’(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q 可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件 为: 存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。 Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关。 由定理及其推论可知,运用此方法判定系统的渐近稳定 性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=I。 于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程: PA+AP=-I 求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
展开后得,有:
2 p 12 p 11 p 12 p 22 p 11 p 12 p 22 1 2 p 12 2 p 22 0 0 1
因此,得如下联立方程组:
2 p 12 1 p 11 p 12 p 22 0 2 p 12 2 p 22 1
解出p11,p12和p22,得
p 11 P p 12 p 12 1 3 1 p 22 2 1 2
为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下: