线性系统的稳定性与稳定判据

§3-5 线性系统的稳定性与稳定判据
一．稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过 程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定， 简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随 时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
2. Routh判据的特殊情况（几点说明）
１、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。
2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的
3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有 限小的正数ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列 出劳斯阵以后，观察第一列数值，当ε→0时，含ε项的符号与上、下行符号进行比较， 若系数符号相反，就说明有符号改变。
解: 列写劳 斯阵 :列 s s s s
4 3 2 1 0
1 2
23- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
符号改变一次
14- 25 1
符号改变一次

s 5 Routh 阵列第一列符 号改 次 变 ,二
故有 两个实部 为正的根 。
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
例：设系统特征方程为 系统的稳定性。 ，试判别 s 4 2s 3 s 2 Βιβλιοθήκη Baidu2 s 1 0
必要条件:
n
n -1
... a 1s a 0 0
（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；
（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同 的符号。 充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。
劳斯阵列 s n a n a n -2 a n -4 a n -6 ...... n -1 s a n -1 a n -3 a n -5 a n -7 ...... n -2 s b1 b 2 b 3 ....... n -3 s c1 c 2 ...... ...... ...... a n1a n2 a n a n3 a n1a n4 a n a n5 b1 b2 a n1 a n1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1 b1a n3 a n1b2 b1a n5 a n1b3 c1 c2 b1 b1
t t
M 0 (S ) D( S )
lim c(t )
线性系统稳定的充要条件： 闭环系统特征方程度所有根均具有负实部， 或其特征根全部位于s平面的左半部。
C(S) 1 例. 试判断系统 3 的稳定性。 2 R(S) S 4S 5S 2 解 : S 3 4S2 5S 2 0
解：（1）特征方程各项系数大于0 （2）列劳斯阵
劳斯阵中 辅助方程为
将辅助方程对 s 求导数，得导数方程
s 5 1 24 23 s3 行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行 ( s4 行)的各项组成 s 4 2 48 46 s3 0 0 0
F (s) 2s 4 48s 2 46 0
(S 1)(S
2
3S 2) (S 1) (S 2) 0
2
S1 -1, S 2 -1, S 3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负 有实 部 , 故系统稳定。
三．稳定判据
1.Routh稳定判据
系统的特征方程为
D(s) a n s a n -1s
C(S) Si
M 0 (S) D(S)


i 1
n
Ai S Si
(i 1,2,3,...n )为 D(S) 0的根 ,
Si t A e i i 1 n
则C (t )
Ai ( S S i ) S Si 若ReSi 0 则 lim c(t ) 0 若ReSi 0 则
dF ( s ) 8s 3 96 s 0 ds
1 24 23 2 48 46 s3行中为零的项，为简化计 1 12 算，各项除以8，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 24 46 121 1 s 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。 12 s 0 46
用导数方程的系数取代
4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共 轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该 方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵 的计算方法写出以下各行。
例1. 设有下列特征方程
s 4 2s3 3s2 4s 5 0 试用Routh判据判 别该 特征方程正 实 的 部根 个数 。
s 3 3s 2 0
试应用判据判别实部为 正的特征根的个数。
s3 s2 s s
0
1 0
- 3 - 2
-3 2 0
改变一次

2
改变一次
有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
例：设系统特征方程为 ，s 46 0 s 5 2s 4 24 s 3 48 s 2 23
s5 s4 s3 s2
F (s) 2s 4 48s 2 46 0
设 系 统 的 运动 方程 为 D(P)C (t) M(P)R(t) M f ( P ) f ( t ) 取拉式 变换 后有 C (S )
M(S) D(S)
R( S )
M f (S) D( S )
F (S)
M0 ( S ) D( S )
令 R(S ) 0, F(S ) 0,则
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
1 1 1 2 2 0(用代替） 1 2 1 s 2 当ε→0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改 0 s 1
s4 s3 s2
2
2

0
例 设系统的特征方程为 解