第五章 控制系统的稳定性分析(含习题解答)

闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面。
s pj n1个不同的实根
s r jr n4对相同的复数根
n1
n2 1
n3
n4 1
xo t
Aj
e
Baidu Nhomakorabea
p
jt
Ckt k e pkt
Blelt sin lt l
Drt rert sin rt r
j 1
k 0
l 1
r 0
n2重实根 s pk
劳斯判据使用说明：
（1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s4 8s3 17s2 16s 5 0
试应用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列：
s4 1 17 5 s3 8 16 s2 15 5 s1 40 3 s0 5
a2 a4 a6 a3 a5 a7 b2 b3 b4 c2 c3 c4
e2
劳斯阵列
b1
a1a2
a0a3 a1
c1
b1a3
a1b2 b1
b2
a1a4
a0a5 a1
c2
b1a5 a1b3 b1
b3
a1a6
a0a7 a1
c3 b1a7 a1b4 b1
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
闭环传递函数
D s a0sn a1sn1 an1s an 0 ——特征方程
劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数ai 均为正值（ai>0） ，并且由特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列 系数也为正值。
sn a0 sn1 a1 sn2 b1 sn3 c1
s2 e1 s1 f1 s0 g1
描述系统扰动输入到输出之间关系的微分方程
a0
dn xo t
dt n
a1
dn1xo t
dt n1
an1
dxo t
dt
an xo
t
dmn t dm1n t
dnt
b0 dtm b1 dtm1 bm1 dt bmn t
扰动消失后，n(t)=0，系统自由振荡输出的响应相函数：
a0sn a1sn1 an1s an X o s C s 0
正实根(-pj),对应项随时间单调增长。 零根，对应一个常数项，系统可在 任何状态下平衡。
n3对不同的共轭复数根
s l jl
实部为正的复数根(-δ±jω)，对应项 随时间作周期发散振荡。 共轭虚根，对应项为等幅周期振荡。
5. 2 代数稳定判据
一、劳斯判据
X o s b0sm b1sm1 bm1s bm X i s a0sn a1sn1 an1s an
第五章 控制系统的稳定性分析
5-1 控制系统稳定性的概念 5-2 控制系统稳定的充要条件 5-3 代数稳定判据（劳斯判据和赫尔维茨） 5-4 乃奎斯特稳定判据 5-5 延时系统的稳定性分析 5-6 由伯德图判断系统稳定性 5-7 控制系统的相对稳定性
5. 1 控制系统稳定性的基本概念
稳定：如果系统受扰动作用偏离原平衡状态，而当扰动消失后，经过充 分长的时间，系统能以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是 稳定的；否则称系统是不稳定的。
k 0
l 1
r 0
n2重实根 s pk
n3对不同的共轭复数根
s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
二、控制系统稳定的充分必要条件
特征方程：Ds 0
系统特征方程式的根全部具有负实部。
系统闭环传递函数的极点全部具有负实部。
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
s pj n1个不同的实根
s r jr n4对相同的复数根
n1
n2 1
n3
n4 1
xo t
Aj
e
p
jt
Ckt k e pkt
Blelt sin lt l
Drt rert sin rt r
j 1
1 17
8 16 15
8
15
80 5
8
15 5
40 3 0 5
40 3
8 16
15 5 40
15
3
由劳斯阵列的第一列可见，第一列中的系数符号全为正，所以该系统 稳定。
劳斯判据使用说明：
（2）劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数的情况下，特 征方程式具有正实根或实部为正的共轭复数根的数目，等于第一列系数
符号改变的次数。
例5-2 设控制系统的特征方程式为：D s s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列： s4 1 3 3 s3 2 4 s2 1 3 s1 2 s0 3
由劳斯阵列可见，第一列中的系数符号不全为正，所以系统不稳 定。另外，第一列中的系数符号改变两次（+1->-2->+3），说明闭环 系统有两个正实部的根，即在s右半平面内有两个闭环极点。
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s
G2 s
b0sm b1sm1 bm1s bm M s
N s 1 G1 s G2 s H s a0sn a1sn1 an1s an D s
稳定衰减过程
临界（不）稳定振荡过程
不稳定发散过程
注意：控制理论研究的稳定性是指自由振荡下的稳定性，讨论自由振荡 是收敛，还是发散，即讨论零输入响应是否收敛。
5. 1 控制系统稳定性的基本概念
稳定：若控制系统在任何足够小的偏差的作用下，其过渡过程随着时 间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称系 统稳定；否则称该系统不稳定。 稳定平衡点：扰动消失后，经过自由振荡，能得到恢复的平衡点。 不稳定平衡点：扰动消失后，不能恢复的平衡点。
Cs Xo s Ds
零初始状态下的拉氏 变换。闭环传递函数 的分母多项式D(s)。
与初始偏差状态相关的拉氏变换部分
L
dn f dt
t
n
snF
s
s n 1
f
0
sn2
f
0
sf
n2
0
f
n1 0
5. 2 系统稳定的充要条件
Cs 扰动消失后，n(t)=0，系统自由振荡输出响应的相函数： Xo s D s