17种排列组合方法

例.从1楼2楼有17级楼梯，上楼时可以一步一级，也一步 楼有17级楼梯，上楼时可以一步一级，也一步 两级，若要求11步走完这楼梯则，则有多少种不同的走法 两级，若要求11步走完这楼梯则，则有多少种不同的走法 分析：由题意知，这11步中6不2一步走两级，5步走一 级，因此，要确定一种走法只需确定这11步中哪6步走 6 两级即可，故不同的走法为 = 462
甲乙
丙丁
由分步计数原理可得共有 种不同的排法
A
5 2 2 A2 A2 5
=480
五.不相邻问题插空策略 3.一个晚会的节目有 个舞蹈,2个相声,3个独唱, 一个晚会的节目有4 ,2个相声,3个独唱 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 分两步进行第一步排2个相声和3 A55 种， 有 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 4 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A6 不 同的方法.由分步计数原理, 同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺序 4 5 共有 A5 A6 种
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五 位奇数. 位奇数. 由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有___ 先排末位共有___ C3
相
独
独
独
相
六.定序问题用除法策略 4.7人排队 其中甲乙丙3人顺序一定, 人排队, 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法? 同的排法? 除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题, 1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可 先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 这几个元素之间的全排列数， 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则 7 A7 共有不同排法种数是： 共有不同排法种数是：
.
解：
练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让他们参加。 1）分成3组，每组3人，共有几种分法？ 2）分3组，其中2组2人，一组5人，有几种分法。？ 3）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，有几种分法？ 4）分成3组，每组3人，每组参加一项活动，有几种方法？ 5）分3组，其中2组2人，一组5人，每组参加一项活动，有几种方法？ 6）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，每组参加一项活动，有几种方法？ C 93 C 63 C 33 解： 1）这是一个均匀分组的问题，总的方法有： A 33 C 2 C 2 C 5
十四.平均分组（或分堆）问题除法策略 十四.平均分组（或分堆）
例 有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种分法？ （l）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （2）一人得1本，一人得2本，一人得3本； （3）甲得2本，乙得2本，丙得2本； （4）平均分成三组，每组2本； （5）把6本不同的书分成三组，一组4本，另二组各1本
一 班
二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
十三.重排问题求幂策略(应弄清“谁”选择“谁”） 十三.重排问题求幂策略(应弄清“ 选择“ 例.把7名实习生分配到5个车间实习,共有多少种不 名实习生分配到5个车间实习, 同的分法？ 同的分法？ 完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法， 种分法. 把第二名实习生分配到车间也有5种分法， 依此类推, 种不同的排法. 依此类推,由分步计数原理共有 57 种不同的排法. 例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人 名学生争夺5项冠军， 获得， 获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生 分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军， 可重复排列， 名学生看作7 可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军 看作5 每个“ 种住宿法， 看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法 原理得7 原理得75种.
A
2 2 种排法，再排小集团内部共有_______种排法， _______种排法 种排法，再排小集团内部共有_______种排法，由分步 2 2
AA
2 2 2 AA 计数原理共有_______种排法. _______种排法 计数原理共有_______种排法. 2 2 2
A
小集团 1524
3
九正难则反， 九正难则反，等价转化策略
C
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4 方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
4 同的盒内有___种方法. ___种方法 同的盒内有___种方法. 4
A
2 4 根据分步计数原理装球的方法共有_____种方法. _____种方法 根据分步计数原理装球的方法共有_____种方法. 5 A4
4
5
前排 后排
八.小集团问题先整体局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰 9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰 有两个偶数夹1, 在两个奇数之间, 1,５ 有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个？ 多少个？
2 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队,共有____ 当作一个小集团与３排队,共有____ 2
解排列组合综合性问题的一般过程如下: 解排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 认真审题弄清要做什么事； 1.认真审题弄清要做什么事； 2.怎样做才能完成所要做的事 即采取分步还是分类, 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类, 怎样做才能完成所要做的事, 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类； 或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；确 定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序) 定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序) 问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 3.正确区分“至多” 3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题 至少” 正确区分 ※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉， 容易产生重复和遗漏， 容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法. 何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.
3 A3
插入法：先排甲乙丙三个人,共有1种排法, 2 插入法：先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其 四人依次插入共有4*5*6*7方法. 依次插入共有4*5*6*7方法 余4四人依次插入共有4*5*6*7方法.
3分类法： 分类法：
七.分排问题直排策略 7.8人排成前后两排 每排4 人排成前后两排, 其中甲乙在前排, 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排, 丁在后排,共有多少排法? 丁在后排,共有多少排法? 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅 :8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子, 人排前后两排 子排成一排. 先在前4 子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两个特殊元素 1 2 ____种 再排后4个位置上的特殊元素有_____种 有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种, A4 A4 _____ 其余的5人在5个位置任意排列有____种,则共 其余的5人在5个位置任意排列有____种 ____ A5 2 1 5 _________种 有_________种. A4 A A5
C
11
练习. 练习.在3×4的方格中，从A走到B的最短路径有多少种？ 的方格中，从A走到B
C
3 7
= 35
十一.构造模型策略 十一. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3 但不能关掉相邻的2 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏 也不能关掉两端的2 或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？ 方法有多少种？ 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5 3 个空隙中插入3个不亮的灯有_____ _____种 个空隙中插入3个不亮的灯有_____种. C5
9
2）这是一个部分均匀分组的问题，总的方法有： 3）这是一个不均匀分组的问题，总的方法有：
A
C 92 CБайду номын сангаас73 C 44
7 2 2
5
C 93 C 63 C 33 4）由问题1分组后在全排列，总的方法有： ( ) A 33 A 33 C 92 C 72 C 55 5）由问题2分组后在全排列，总的方法有： ( ) A 33 A 22
1
1 然后排首位共有___ 然后排首位共有___ C4
A 最后排其它位置共有___ 最后排其它位置共有___
3 4
C
1 4
A
3 4
C
1 3
3 1 由分步计数原理得 C 3 C4 A 4 =288
1
二. 合理分类与分步策略 例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱 在一次演唱会上共10名演员,其中8 10名演员 ,5人会跳舞 现要演出一个2人唱歌2 人会跳舞, 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节 有多少选派方法? 目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人 10演员中有5人只会唱歌， 人只会跳舞3 演员中有 为全能演员.以只会唱歌的5 为全能演员. 以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员 为标准进行研究. 只会唱的5 为标准进行研究. 只会唱的5人中没有人选上唱歌 CC 人员共有____ ____种 只会唱的5人中只有1 人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱 1 1 2 歌人员________ ________种 只会唱的5人中只有2 歌人员________种,只会唱的5人中只有2人选上 CCC4 2 5 3 2 唱歌人员有____ 2 2 ____种 唱歌人员有C 5C 5种，由分类计数原理共有 ____ 2 2 1 1 2 C3C3 + CCC4 + C 5C 5 ______________________种 ______________________种. 5 3
2 2 3 3
三.排列组合混合问题先选后排策略 例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 个不同的小球,装入4个不同的盒内, 至少装一个球,共有多少不同的装法? 至少装一个球,共有多少不同的装法?
2 第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__ __种 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种 5
十二.元素相同问题隔板策略 十二. 例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至 10.有10个三好学生名额，在分给7个班， 个三好学生名额 少一个,有多少种分配方案？ 少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相 因为10个名额没有差别，把它们排成一排， 10个名额没有差别 邻名额之间形成９个空隙. 在９个空档中选６个 邻名额之间形成９个空隙. 个空档中选６ 位置插个隔板，可把名额分成７ 位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给 个班级， ７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 6 C9 种分法. 种分法.
C
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 练习： 个男同学和4个女同学中，选出3 个女同学，分别担任五项不同的工作， 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？ 种不同的分配方法？
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 2.7人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 有多少种不同的排法. 有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 同时丙丁也看成一个复合元素， 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排. 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.