排列组合方法
排列组合常见的九种方法
排列组合常见的九种方法
1. 直接排列法：将元素按照一定次序排列，每种排列方案都是一个不同的结果。
例如，3个元素的排列数为 3! = 3 × 2 × 1 = 6。
2. 递归法：将问题逐步分解成每一步只有相对简单的子问题，从而不断求解。
通过递归，经过一系列不同的子过程，得到最终的结果。
3. 循环法：使用循环来枚举所有的可能的排列组合情况。
通常用于数组、字符串等元素的排列组合问题。
4. 分组排列法：将待排列的元素按照一定属性分组，再对每组内的元素进行排列组合，最终将每组的结果进行组合得到最终的结果。
5. 交换法：通过元素间的交换，对所有可能的排列组合进行枚举。
该方法需要注意元素交换时的顺序。
6. 邻项对换法：将相邻的两项进行对换，直到所有项都被排列组合了一遍。
7. 插入法：将新的元素依次插入已有元素的任意位置，直到所有元素都被排列组合了一遍。
8. 非递增排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最大的开始进行排列组合。
9. 非递减排列法：将待排列的元素按照一定属性进行排序，然后将元素从最小的开始进行排列组合。
排列组合常见15种解题方法
排列组合常用的十五种方法一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C；.〔I.然后排首位共有C：, 甲最后排其它位置共有& | | J由分步计数原理得C：C；A； = 288 C] A：C；练习题：1. 7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有疋斎崙=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题•即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题：2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_____________ 三•不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有&种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种犹不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有貳处____________ 种元素相离问题可先把没有位宜要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习题：3.某班新年联欢会原定的5个节目己排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 _______四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解：（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，则共有A；丽法。
排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求,应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位,从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合;然后排首位,从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合;最后排中间三个数,从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =.变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =.二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位,共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种?分析：相离问题即不相邻问题。
分两步.第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列,第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位)共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =.变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法排列组合是数学中一个重要的概念，用于解决许多实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍五种常见的方法来解决排列组合问题。
第一种方法是使用乘法原则。
乘法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。
例如，如果有3个人可以选择一个水果和2种颜色的衣服，那么总共有3 * 2 = 6种可能性。
第二种方法是使用加法原则。
加法原则是指如果一个事件有m种可能的方式发生，另一个事件有n种可能的方式发生，那么这两个事件至少有m + n种可能性。
例如，如果有3个人可以选择两种不同的水果，那么至少有3 + 3 = 6种可能性。
第三种方法是使用排列。
排列是指从一组对象中选择有序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行排列，那么排列的数量可以用以下公式来计算：P(n, r) = n! / (n - r)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1。
例如，如果有4个人要站成一排，那么有P(4, 4) = 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24种可能性。
第四种方法是使用组合。
组合是指从一组对象中选择无序的一部分对象。
如果有n个对象，要从中选择r个对象进行组合，那么组合的数量可以用以下公式来计算：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!）。
例如，如果有4个人要从中选择2个人进行分组，那么有C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1)) = 6种可能性。
第五种方法是使用二项式定理。
二项式定理是一个用于展开二项式的公式。
它可以用于计算排列和组合的值。
二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
排列组合常用四种方法-周丽红
排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家 周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。
而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。
例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。
一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。
1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。
12C 44A =2×24=48。
二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。
2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。
最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。
三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。
3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。
最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。
4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。
排列组合几种基本方法
排列组合几种基本方法1.直接法例1.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
2.间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？3.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？4.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？5.阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。
6.平均分堆问题例6.6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？7.合并单元格解决染色问题例7．某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）8.排列问题例8六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．9.组合问题例9某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？10.排列组合综合例10(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x ＋y ＋z ＝6的正整数解有多少组；(3)计算x ＋y ＋z ＝6的非负整数解有多少组．546132【针对性训练】1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种。
排列组合常用方法
浅谈解排列组合题的几种常用方法1.相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。
例1．,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种。
2．相间问题插空法元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间的空位和两端即可。
例2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。
如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 （ ）A 、6B 、 12C 、15D 、30解析：原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。
将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有3026=A 种排法。
3.特殊元素优先安排法对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
例3． 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
解析：3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有33A 种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有27A 种排法。
因此结果为2733A A =252种。
4.选排问题先选后排法对于排列组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。
“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。
一般地，在排列组合综合问题中，我们总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。
例4． 四个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，则恰好有一个空盒的放法有几种？解析：方法一：这是一个排列与组合的混合问题。
排列组合方法
排列组合方法1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。
它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。
解析：该题若轻易展开答疑较为麻烦，此时可以利用嗟乎问题插空法，可以并使问题迎刃而解。
先将原来的6个节目排序不好，这时中间和两端存有7个空位，然后用一个节目回去挂7个空位，存有a种方法;接着再用另一个节目回去挂8个空位，存有a种方法;将最后一个节目填入至9个空位中，存有a种方法，由乘法原理得：所有相同的嵌入方法aaa=种。
解析：先排好8辆车有a种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有c种方法。
故共有ac种方法。
2.相连问题绑定法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。
解析：由于甲、乙两人必须陈小华在一起，故可以将甲、乙两人绑定出来做为一个整体展开考量，即将两人视作一人，再与其他四人展开全系列排序，则存有a种排法，甲、乙两人之间存有a种排法。
由分步计数原则所述，共aa=种相同排法。
解析：此题共6个球要分为5份，那么必有两个球在一起，所以从6球当中选择两球捆绑在一起的情况为c种，那么此时将捆绑的两球作为一个整体和另外4球进行全排列，则总的情况为ca=种。
故选b.3.多元问题分类法多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。
它是在弄清题意的基础上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进行总计。
，解析：若子集a、b中没相同的元素，且都不是空集，则存有：（1）从5个元素中选出2个元素，有c=10种选法，小的给a集合，大的给b集合;（2）从5个元素中挑选出3个元素，存有c=10种选法，再分为1、2两组，较小元素的一组给a子集，很大元素的一组的给b子集，共计2×10=20种方法;（3）从5个元素中选出4个元素，有c=5种选法，再分成1、3;2、2;3、1两组，较小元素的一组给a集合，较大元素的一组的给b集合，共有3×5=15种方法;（4）从5个元素中挑选出5个元素，存有c=1种选法，再分为1、4;2、3;3、2;4、1两组，较小元素的一组给a子集，很大元素的一组的给b子集，共计4×1=4种方法;总计为：10+20+15+4=49种方法，故答案为d。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题, 元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略2、7 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队, 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法练习、10人身高各不相等, 排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7 个车间实习, 共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8 名乘客人, 他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、8 人围桌而坐, 共有多少种坐法一般地,n 个不同元素作圆形排列, 共有(n-1)! 种排法. 如果从n 个不同元素中取出m个元素作1圆形排列共有1An mn练习、 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略7、8 人排成前后两排, 每排 4 人, 其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法练习、有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球, 装入 4 个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.练习、一个班有 6 名战士, 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务, 每人完成一种任务, 且正副班长有且只有 1 人参加, 则不同的选法有种九. 小集团问题先整体后局部策略9、用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 少个练习、１. 计划展出 10 幅不同的画 , 其中 1 幅水彩画 , ４幅油画 , ５幅国画 , 排成一行陈列 , 要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5 男生和５女生站成一排照像 ,男生相邻 ,女生也相邻的排法有 种十. 元素相同问题隔板策略10、有 10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案将 n 个相同的元素分成 m 份（n ，m 为正整数） , 每份至少一个元素 ,可以用 m-1块隔板， 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 C n m 11练习题：1． 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法2 . x y z w 100 求这个方程组的自然数解的组数十一 .正难则反总体淘汰策略11、从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 取法有多少种有些排列组合问题 , 正面直接考虑比较复杂 , 而它的反面往往比较简捷 , 可以先求1, ５在两个奇数之间 , 这样的五位数有多这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数 , 不同的练习、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种十二.平均分组问题除法策略12、 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法练习题：1、将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法2、10 名学生分成3组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_____十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目有多少选派方法解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做练习：1、从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有2、3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘1人,他们任选2只船或 3 只船, 但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯, 现要关掉其中的 3 盏, 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏, 也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有多少种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒练习、某排共有10个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种十五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收练习1、同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种2、给图中区域涂色,要求相邻区域不同色, 现有4种可选颜色, 则不同的着色方法有种十六. 分解与合成策略16、30030 能被多少个不同的偶数整除练习: 正方体的8 个顶点可连成多少对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略, 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构, 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成, 从而得到十七.化归策略17、25 人排成5×5 方阵, 现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列, 不同的选法有多少种处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，练习、某城市的街区由12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A 走到的最短路径有多少种十八.数字排序问题查字典策略18、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105 大的数数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数, 根据分类计数原理求出其总数。
排列组合的5种方法
排列组合的5种方法
1. 互斥事件与独立事件
互斥事件是指两个或多个事件不包括共同的事件，而独立事件则是指一个事件的发生不受另一个事件的影响。
在排列组合中，这两个概念经常被用来确定事件的概率。
例如，在掷骰子时，每次投掷的结果是独立的，即每次投掷都不会影响下一次投掷的结果。
2. 古典概型
古典概型是排列组合中最常用的方法之一，它涉及到事件的概率和组合物的构造。
在古典概型中，我们通常考虑有限个样本点，每个样本点都有一个与之相关的概率。
例如，在掷硬币时，正面和反面出现的概率都是1/2。
3. 几何概型
几何概型涉及到将一个随机事件映射到一个几何空间中，并计算该空间中的概率。
例如，在投掷飞镖时，飞镖落在靶子上的任何位置都是随机的，我们可以将靶子划分为若干个区域，并计算每个区域出现的概率。
4. 超几何分布
超几何分布是一种概率分布，它描述了在有限个样本中选取若干个样本的随机事件发生的概率。
超几何分布可以用来描述诸如抽取产
品、分配任务等类似的情况。
例如，如果我们有一个包含10个白球和2个黑球的箱子，我们要计算从中随机抽取3个球其中至少有1个黑球的概率。
5. 帕斯卡三角形与二项式定理
帕斯卡三角形是排列组合中的一个重要工具，它可以用来计算组合数和排列数。
二项式定理则可以用来计算组合数的近似值，特别是在组合数较大而指数较小的情况下。
例如，我们可以使用帕斯卡三角形来计算C(n, k)的值，其中n是总数量而k是要选择的数量。
排列组合的各种方法
排列组合的各种方法
排列组合是一种数学问题，描述的是从给定的元素集合中选择一部分元素来形成一组对象的方法。
下面是一些常见的排列组合方法：
1. 排列
排列是从给定的元素集合中选择一定数量的元素，按照一定的顺序来排列形成一组序列。
常见的排列方法有：
- 全排列：将集合中的所有元素按照不同的顺序排列成一组序列。
- 循环排列：将集合中的元素排列成一组序列，并且其中的某些元素可以循环使用。
2. 组合
组合是从给定的元素集合中选择一定数量的元素，无需考虑元素的顺序。
常见的组合方法有：
- 无重复组合：从集合中选择不同的元素来组成一组对象，元素之间没有重复。
- 有重复组合：从集合中选择元素来组成一组对象，元素之间可以重复。
3. 全排列组合
全排列组合是将排列和组合结合起来，从给定的元素集合中选择一定数量的元素，按照一定的顺序来排列形成一组序列。
其中可以包括全排列和有重复排列两种形式。
这些方法可以通过数学公式或递归算法来实现。
具体的实现方法可以参考相关的数学教材或计算机算法书籍。
排列组合基本方法
排列组合基本方法排列组合基本方法是数学中常见的一种计算方法，用于求解在一定条件下物体的排列和组合问题。
在实际生活中，排列组合方法被广泛运用于统计学、概率论、组合数学等领域，具有重要的理论意义和实际应用价值。
首先，我们来了解一下排列和组合的概念。
排列指的是将一组物体按照一定的顺序进行排列，而组合则是从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。
下面分别介绍排列和组合的基本方法：一、排列的计算方法：1. 全排列：全排列是指将一组不同的物体按照一定的顺序进行排列，不允许重复。
全排列的计算方法是通过阶乘来求解，即n个物体的全排列数为n!，其中n表示物体的个数。
2. 循环排列：循环排列是指将一组物体按照一定的顺序排列，允许循环移位。
循环排列的计算方法是通过n个物体的全排列数除以n，即n!/n。
3. 有重复元素的排列：当一组物体中有重复的元素时，排列的计算方法需要考虑重复的情况。
此时，排列数为n!/n1!n2!...nk!，其中n为总的物体数，n1、n2、...、nk为重复元素的个数。
二、组合的计算方法：1. 组合的定义：组合是指从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。
组合的计算方法是通过组合数的公式来求解，即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示物体的总数，m表示选择的物体数。
2. 组合的性质：组合数具有一些重要的性质，如C(n,0)=1，C(n,n)=1，C(n,1)=n，C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)等。
3. 组合的应用：组合数在概率计算、组合数学、排列组合等领域有着广泛的应用，如二项式定理、二项分布、组合恒等式等。
总的来说，排列组合的基本方法是数学中重要的计算工具，能够帮助我们解决各种实际问题。
通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力和效率。
排列组合方法的应用不仅局限于数学领域，还可以在生活和工作中帮助我们进行合理的组合和排列，提高工作效率和创造力。
排列组合的几种解题方法
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
排列组合八大方法
排列组合八大方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊排列组合八大方法呀！这可真是个超级有趣的话题呢！
排列组合，就像是一个神奇的魔法盒子，里面装满了各种奇妙的可能性。
比如说，从一群人中选出几个来站成一排，这就是排列；而从一堆东西里挑出几个不管顺序，那就是组合。
想想看呀，我们生活中的好多事情不都和排列组合有关嘛！就像你去商场买衣服，面对那么多款式和颜色，你得在心里默默排列组合一下，想想怎么搭配才最好看。
这不就和排列组合八大方法挂上钩了嘛！
插空法，就好像是在一群人中间找缝隙挤进去，把新的元素巧妙地安插进去。
捆绑法呢，就像是把几个好伙伴紧紧绑在一起，当成一个整体来考虑。
还有什么定序问题缩倍法呀，那感觉就像是把一些已经有固定顺序的东西进行巧妙处理，让它们变得更有意思。
再比如，在一场比赛中，安排选手的出场顺序，这得多考验对排列组合方法的运用啊！你能想象没有这些方法，那得乱成什么样吗？
分类讨论法，就像是把一个大问题分成好多小块，逐一去解决，多有条理呀！还有什么住店法、染色法等等，每一种方法都有它独特的魅力和用处。
这八大方法可不是随随便便就有的呀，它们是数学家们智慧的结晶！它们就像是我们解决问题的得力助手，帮助我们在复杂的情况中找到清晰的思路。
排列组合八大方法，真的是太重要啦！它们让我们的思维更加灵活，让我们能够应对各种看似复杂的局面。
我们可不能小瞧了它们呀！它们就像是隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘，去运用。
所以呀，大家一定要好好掌握这些方法，让它们为我们的生活增添更多的精彩和可能！。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法.排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一。
特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^1种方法，最后排其它位置共有A4^3种方法，根据分步计数原理得到答案为C4^1 × C3^1 × A4^3 = 288.入问题或空位法来解决。
排列组合方法大全
排列组合方法归纳大全复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
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排列、组合题解题方法
一、相邻问题捆绑法
1、A，B，C，D，E共5人并排站成一排，若A，B必须相邻，则不同的排法种数有多少？
2、A，B，C，D，E共5人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法种数有多少？
二、相离问题插空法
1、A，B，C，D，E共5人并排站成一排，若A，B不能相邻，则不同的排法种数有多少？
2、用1，2，3，4，5，6，7七个数字排成一个七位数，
（1）偶数数字不相邻的有多少个？
（2）奇数与偶数数字相间的有多少个？
3、4男4女排成一排，男女要相间排列，则不同的排法种数有多少？
4、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中且恰有3枪连在一起的不同种数？
射击7枪，击中5枪，击中与未击中的不同顺序？
三、定序问题缩倍法
1、A，B，C，D，E共5人并排站成一排，若A必须站在B的右方，（A，B可以不相邻），则不同的排法种数有多少？
2、书架上放有6本不同的书，现把另外3本不同的新书也放上去，并且不改变原来书的相对顺序，则共有多少种不同的摆放方法？
3、一条街上有10盏路灯，为了节约用电，需关掉其中的3盏，但不能关两端的2盏，也不能关相邻的2盏或3盏，则共有多少种关灯方法？
4、某人上楼共10级，上楼可以一步上一级，也可一步上两级，规定要用8步走完，则不同的上楼方法？四、定位问题优先法
1、一名老师和4名同学排成一排照相，若老师不能在两端，则不同的排法种数有多少？
2、用0，1，3，5，7五个数字，可组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？
3、10双不同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，
（1）4只鞋子没有成双的
（2）4只鞋子恰成两双
（3）4只鞋子，有2只成双，另2只不成双
五、相同元素隔板法
1、方程）
（*
∈
=
+
+
+N
n
n
x
x
x
m
Λ
2
1
，共有多少组不同的正整数解？
2、某校召开代表会，把6个代表分配给3个班，每班至少一个名额，有多少种方法？
3、4
()
a b c d f
++++展开式再合并同类项共有多少项？
4、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子至少有一个球的不同放法？（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每盒可空，不同放法？
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，每个盒子的小球数不小于其编号数，不同放法？
六、有序分配问题逐分法
1、有甲，乙，丙三项任务，甲需2人承担，乙，丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这3项任务，不同的选法总数有多少？
2、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？
（1）分给甲，乙，丙三人，每人两本书
（2）分成三份，每份2本
（3）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本
（4）分给甲，乙，丙三人，1人1本，1人2本，1人3本
（5）分给甲，乙，丙三人，每人至少1本
3、用黄，蓝，白3种颜色粉刷6间办公室，一种颜色粉刷3间，一种颜色粉刷2间，一种颜色粉刷1间，问粉刷这6间办公室有多少种安排方法？
七、标号排位树图法
1、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有几种？
八、多元问题分类法
1、由数字0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有几个？
2、从1，2，…，100这100个数中，任取2个数，使其和能被4整除的取法有多少种？
3、有11名外语翻译，其中7名英语翻译，6名日语翻译，从中找出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两组能同时工作，问这样的8人名单共有多少种？
4、9名歌舞演员，7人会唱歌，5人回舞蹈，从中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，则不同的选法？
5、划船运动员8人，其中3人只会划右舷，2人只会划右舷，3人会划右舷也会划左舷，从这8人中选出6人，平均分配在船的两侧，有多少种选法？
九、交叉问题集合法
1、从6名运动员中选出4个参加接力赛，若甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，共有多少种方式？
十、多排问题单排法
1、6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，则不同的排法总数？
2、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，则不同的排法总数？
十一、“至少”问题间接法
1、从4台甲型和5台乙型电视机中任选3台，其中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法有几种？十二、选排问题先选后排法
1、4个不同的球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则恰有一个空盒的放法有几种？
2、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，要进行混合双打比赛，有多少种分组方法？
十三、部分符合条件问题排除法
1、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有多少个？异面直线有多少对？（174）
2、从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个不相邻的选法有多少种？
3、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取不共面的4个点，不同的取法有多少种？
4、有1克，2克，3克，4克，的四个砝码，可以称不同重量的物体种数？
5、从0，1，2，3，4，5中取出3个不同的元素作为方程ax+by+c=0的系数，则可表示的不同直线的条数？
十四、注意问题的转化
1、某区有7条南北街道，5条东西街道，如图
（1）图中共有多少个矩形？
（2）从A到B路径最短的走法有多少种？
2、圆内接n边形（n ≥4）的对角线在圆内最多可以有多少个不同的交点？
十五、平均分堆问题
1、有6本不同的书，（1）平均分成3堆，有多少种分法？
（2）平均分给甲，乙，丙三人，有多少种分法？
2、8本不同的书，分成三堆，一堆4本，另两堆2本，有多少种分法？。