排列组合问题的几种基本方法

2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
7
特级教师王新敞
5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放 法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个 教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球 的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
C135 455
因此，不同的分配方案共有455种 .
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
8
特级教师王新敞
5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放 法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元 素，再与其它的进行排列.
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
5
特级教师王Байду номын сангаас敞
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先 让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
C. A43
D.
C
3 4
2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出
3 种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种 植，不同的种植方法共有（ B ）
A.24 种 B.18 种
C.12 种
D.6 种
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
12
特级教师王新敞
巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ A ）
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
14
特级教师王新敞
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
2
特级教师王新敞
1. 分组（堆）问题
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项 工程. 共有多少种不同的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球, 其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
C62 15
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有
A5 种站法， 5
然后再消去甲乙之间的顺序数
A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有
A55 A22
543
A53
A3 5
种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
4
特级教师王新敞
3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部 排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：（1）分两步进行：
♀♀♀♀♀ ♀
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
A.
C142
C84
C
4 4
种
B.3
C142
C84
C
4 4
种
C.
C142
C
4 8
A33
种
D.
C142C84C44 A33
种
4. 5C个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）
A.6
B.12
C.72
D.144
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
13
特级教师王新敞
小结
①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔 板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).
C93 84
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种 .
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
9
特级教师王新敞
6.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要 求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
有A62 =30种插入法
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻时,先排一般 元素，再让特殊元素插孔.
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A53 1 A53
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
6
特级教师王新敞
4.消序法(留空法)
解: 如图所示
B
变式：如下图所示,有5横8竖构成的 方格图,从A到B只能上行或右行共有 多少条不同的路线?
也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,
③,④顺序一定的排列，有
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放 入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有
C42C21C11 6 A22
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
3
特级教师王新敞
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊” 元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
解：所有这样的直线共有
A 条， 3 7
210
其中不过原点的直线有
A61条，A62 180
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
11
特级教师王新敞
巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则不同的投法 的种数是（ B ）
A. 34
B. 43
2020/5/24
新疆奎屯市第一高级中学
1
特级教师王新敞
1. 分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等 分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的 乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组 合数的乘积除以m! ③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
10
特级教师王新敞
7.剔除法
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答 这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、 B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
B
种排法.
A
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11
A11 11
格:
A44 A77
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C C 51 (51)(81)
4 11 条不同的路径.