排列组合常用几种基本方法 ppt课件

A
5 5
种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
A
2 2
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543 A53
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有
A
3 5
种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
14.08.2020
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将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
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5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
几个元素不能相邻
共 有 1 2 0 3 0 ＝ 3 6 0 0 种 排 法 时,先排一般元素， 再让特殊元素插孔.
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3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素， 然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有 A55=120种 排 法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：
有 A62=30种 插 入 法
A
7 7
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C C 51
4
(51)(81)
11
条不同的路径.
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5.剪截法（隔板法）：
解：（1）分两步进行：
♀♀♀♀♀♀
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有 共 有 A5 5 2 ＝ 1 1 2 2 0 ＝ 0种 2 4 0 排 种 排 法 法 几捆其个绑它元成的素一进必 个 行须 元 排相 素 列.邻 ，时 再,与先
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1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；
②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
C
2 4
C
1 2
C
1 1
A
2 2
6
种分法；
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⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
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2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
C
2 6
15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
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n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
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7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
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3 9
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种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种 .
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6.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，
再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子
至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有
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4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘
法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当
作元素个数作全排列.
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1. 分组（堆）问题
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要 求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式？
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4.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
B
横8竖构成的方格图,从
A到B只能上行或右行
也共可有以多看少作条是不同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A 11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
A
4 4