【高中会考】2019年高二数学会考测试题(word版含答案)

2019年高二数学会考测试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则=)(B C A U （ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,6 2
0y -=的倾斜角为（ ） A ．
6π B ．3
π C ．23π D ．56π
3
．函数y = ）
A ．(),1-∞
B ．(],1-∞
C ．()1,+∞
D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12
C ．14、13
D ．12、14
5．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．
4π B ．14π- C ．8π D ．18
π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 B
C ．2
D ．3
7．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．
为（ ）
A ．2
12cm π B. 2
15cm π C. 224cm
π
D. 2
36cm π
8．若23x <<，12x
P ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，2log Q x =
，R =P ，Q ，R 的大小关系是（ ）
主视图
6
侧视图
图2
图1
A ．Q P R <<
B ．Q R P <<
C ．P R Q <<
D ．P Q R <<
9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛
⎫>< ⎪
⎝
⎭
的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是（ ） A ．10()2sin 11
6f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
B ．10()2sin 11
6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭ D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）
A ．
378 B ．34
C ．74
D ．1
8 11.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 ( )
A ．18
B ．27
C ．36
D ．9 12.函数x
e x
f x
1
)(-
=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)2
3,1( D ．)2,23
(
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ．
14．如图4，函数()2x
f x =，()2
g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .
1 O
x
y 1112
π图3
15．设不等式组0,02036x y x y x y -+-⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≥，表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的
取值范围是 ．
16．若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．
（1）求角B 的大小；（2）若(
)sin A B +=sin A 的值．
18．（本小题满分12分）某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x ，y 的值；
（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率．
19．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．
（1）求证：//PB 平面ACE ；（2）若四面体E ACD -的体积为
2
3
，求AB 的长．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2
n S n =．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
21.（本小题满分12分）
直线y kx b =+与圆2
2
4x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）． （1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值．
22.（本小题满分12分）
已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．
数学试题参考答案及评分标准
分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
13．()2
2
225x y ++=（或2
2
4210x y y ++-=） 14．9
15．()0,+∞（或[)0,+∞） 16．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
三、解答题
17．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=，
由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+． 解得3
B π
=．
（2）方法1：由()sin 2A B +=，即()sin 2C π-=，得sin 2
C =． 所以4
C π
=
或34
C π
=
． 由（1）知3
B π
=
，所以4
C π
=
，即512
A π=
． 所以5sin sin
sin 1246A πππ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
sin cos cos sin 4646ππππ=+
12222=
+⨯ 4
=．
方法2：因为A ，B 是△ABC 的内角，且()sin 2A B +=，所以4A B π+=或34
A B π
+=． 由（1）知3
B π
=
，所以34A B π+=
，即512
A π
=．以下同方法1．
方法3：由（1）知3
B π
=
，所以sin 32
A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭．即sin cos cos sin 332A A ππ+=．
即
1sin 222
A A +=
sin A A =．
即2
2
3cos 2sin A A A =-+．
因为2
2
cos 1sin A A =-， 所以(
)
2231sin 2sin A A A -=-+．
即2
4sin 10A A --=
．解得sin A =． 因为角A 是△ABC 的内角，所以sin 0A >．
故sin 4
A =
． 18．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． 解：（1）由题意可得，
3243648
x y
==
， 解得2x =，4y =． （2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，
()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种． 所以()3
10
P X =
． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为
310
．
19．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算
求解能力．满分14分．
（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，
因为ABCD 是正方形，所以点O 是BD 的中点．
因为点E 是PD 的中点，
所以EO 是△DPB 的中位线． 所以PB
EO ．
因为EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB
平面ACE ．
（2）解：取AD 的中点H ，连接EH ， 因为点E 是PD 的中点，所以EH
PA ．
因为PA ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ．
设AB x =，则PA AD CD x ===，且1122EH PA x =
=． 所以1
3
E ACD ACD V S EH -∆=⨯ 11
32
AD CD EH =⨯⨯⨯⨯3111262123x x x x ===． 解得2x =．故AB 的长为2．
20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． 解：（1）因为数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=． 因为数列{}n b 的前n 项和2
n S n =．
所以当2n ≥时，1n n n b S S -=-()2
2
121n n n =--=-，
当1n =时，111211b S ===⨯-，所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-． （2）由（1）可知，
121
2n n n b n a --=． 设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ， 则 213572321
124822
n n n n n T ----=+
+++++， ① 即111357232122481622
n n n n n T ---=++++++， ② ①－②，得21
111121112248
22n n n n T --=++
++++-1
1121
211212
n n
n -⎛⎫- ⎪
-⎝⎭
=+-
- 2332n n +=-
， 所以12362n n n T -+=-．故数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为1
23
62n n -+-． 21．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）当0k =时，直线方程为y b =
，设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，
由2
2
4x b +=，解得12
x =，
21AB x x =-= 所以12
S AB b
=
=22422b b +-=≤． 当且仅当b =
，即b =
S 取得最大值2．
（2）设圆心O 到直线2y kx
=+的距离为d
，则
d =
．
因为圆的半径为2R =，所以
2AB ===．
于是241121
k S AB d k =
⨯===+，
即2410k k -+=
，解得2k =．
故实数k
的值为2+
2-
，2-+
2-
22．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方
法．满分14分． 解法1：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．
当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根， 令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12
a =． 当1
6
a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点． 当1
2
a =
时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点． ②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根， 令()()()114420f f a a -=-≤，解得102
a <≤
． ③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则
()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎧≤≤<-<->++-=∆<.
01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．
综上可知，实数a 的取值范围为10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
解法2：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．
当0a ≠时，()2
13f x ax x a =+-+在区间[]1,1-上有零点⇔()
2
31x a x +=-在区间[]1,1-上有解
⇔213x a x -=
+在区间[]1,1-上有解． 问题转化为求函数213
x
y x -=+在区间[]1,1-上的值域． 设1t x =-，由[]1,1x ∈-，得[]0,2t ∈．且()
2
013
t
y t =
≥-+．
而()
2
1
413
2t
y t t t
=
=
-++-．设()4g t t t =+，可以证明当(]0,2t ∈时，()g t 单调递减． 事实上，设1202t t <<≤，则()()()()121212121212
444t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+
-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 由1202t t <<≤，得120t t -<，1204t t <<，即()()120g t g t ->． 所以()g t 在(]0,2t ∈上单调递减． 故()()24g t g ≥=．所以()11
22
y g t =
≤-．
故实数a 的取值范围为10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
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