高一数学数列知识点梳理总结

数列知识点梳理总结

【要点梳理】 要点一：等差数列

判定一个数列为等差数列的常用方法

①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；

④前n 项和公式法：2

n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。

要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。 等差数列的有关性质：

（1）通项公式的推广：+()n m a a n m d =－

（2）若*

()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；

特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=

（3）等差数列{}n a 中，若*

m n p m n p N ∈、、（

、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.

（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列。 （5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S

①当n 为奇数时，12

n n S n a +=⋅；12

n S S a +-=奇偶；

1

1

S n S n +=

-奇偶

； ②当n 为偶数时，1

2

2

(

)2

n n

n a a S n ++=⋅；1

2S S dn -=偶奇；21

2n

n

a S S a +=奇偶。

等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中

① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10

n n a a +≥⎧⎨

≤⎩来确定n ；

② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10

n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和

公式21()22

n d d

S n a n =

+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点二 ：等比数列

判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：

1

n n

a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：n

n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：2

12n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.

等比数列的主要性质：

（1）通项公式的推广：n m

n m a a q -=

（2）若*

()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.

特别，若2m n p +=，则2

m n p a a a ⋅=

（3）等比数列{}n a 中若*

m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.

（4）公比为q （q ≠0）的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列。

（5）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇。

（6）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n a

a （a ＞0且a≠1）为等比数列。 要点三：常见的数列求和方法

公式法：

如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。 分组求和法：

将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .

裂项相消求和法：

把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 常见裂项公式a n =

1(1)n n +11

1n n =-+，

a n = ()()1221+n 1-n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12112121n -n ，

a n =

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⋅++a a a a n n n n d 111111，a n = (

)

n n n

n -+=

++111

错位相减求和法：

通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n -1)2n .

一般步骤：

n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++

所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q

要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 题型一：等差、等比通项公式、前n 项和、中项性质应用 1．设等比数列的前n 项和为

（ ）

A ．2 B

．3 2．数列{}n a 满足11a =，22

3

a =，且

()111122n n n

a a a a -++=≥，则n a 等于（ ） A ．21

n +

B ．1

23n -⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．23n

⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．

22

n + 3．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ） A ．6斤

B ．7斤

C ．8斤

D ．9斤

4．在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +＝（ ）

}{n a n S