插值法,迭代法matlab程序

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Matlab插值法

Matlab插值法

Matlab插值法实验⽬的:1.Matlab中多项式的表⽰及多项式运算2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法3.⽤多项式插值法拟合数据实验要求:1.掌握多项式的表⽰和运算2.拉格朗⽇插值法的实现(参见吕同富版教材)3.⽜顿插值法的实现(参见吕同富版教材)实验内容:1.多项式的表达式和创建;多项式的四则运算、导数与积分。

2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法。

3.⽤多项式插值法拟合数据。

实验步骤: 1.多项式的表达式,MATLAB中使⽤以为向量来表⽰多项式,将多项式的系数按照降幂次序存放在向量中。

多项式P(x)的具体表⽰⽅法:的系数构成向量为:。

⽰例如下: 将向量表⽰的多项式⽤字符串输出的通⽤函数⽰例: 例⼦运⾏⽰例: 多项式的加法: 结果是 多项式乘法: 结果是 多项式除法: 多项式导数: 2.⽤Matlab实现拉格朗⽇,拉格朗⽇代码:1 function yi=Lagrange(x,y,xi)2 m=length(x);n=length(y);p=length(xi);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 s=0;7for k=1:n8 t=ones(1,p);9for j=1:n10if j~=k11 t=t.*(xi-x(j))./(x(k)-x(j));12 end13 end14 s=s+t.*y(k);15 end16 yi=s;17 endLagrange 运⾏⽰例: ⽜顿插值法代码:1 function yi=newtonint(x,y,xi)2 m=length(x);n=length(y);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 A=zeros(n);7 A(:,1)=y;8for j=2:n%j为列标9for i=1:(n-j+1) %i为⾏标10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表11 end12 end13 %根据差商表,求对应的⽜顿插值多项式在x=xi处的值yi14 N(1)=A(1,1);15for j=2:n16 T=1;17for i=1:j-118 T=T*(xi-x(i));19 end20 N(j)=A(1,j)*T;21 end22 yi=sum(N); %将x=xi带⼊⽜顿插值多项式,得到的yi的值23 %A 输出差商表24 endnewtonint 运⾏实例: 等距节点的⽜顿向后插值代码:1 function yi=newtonint1(x,y,xi)2 h=x(2)-x(1);t=(xi-x(1))/h;3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';4for k=1:n-15 Y(:,k+1)=[diff(y',k);zeros(k,1)];6 end7 yi=Y(1,1);8for i=1:n-19 z=t;10for k=1:i-111 z=z*(t-k);12 end13 yi=yi+Y(1,i+1)*z/prod([1:i]);14 endnewtonint1 运⾏实例: 等距节点的⽜顿向前插值代码:1 function yi=newtonint2(x,y,xi)2 n=length(x);h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';4for k=1:n-15 Y(:,k+1)=[zeros(k,1);diff(y',k)];6 end7 h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;yi=Y(n,1);8for i=1:n-19 z=t;10for k=1:i-111 z=z*(t-k);12 end13 yi=yi+Y(n,i+1)*(-1)^i*z/prod([1:i]);14 endnewtonint2 运⾏⽰例: 3.使⽤4次⽜顿插值多项式插值,并作图: 解:由4次⽜顿插值多项式, 求上述多项式的系数:(修改newtonint.m代码,得到差商表),代码如下:1 function B=newtonint4(x,y)2 m=length(x);n=length(y);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 A=zeros(n);7 A(:,1)=y;8for j=2:n%j为列标9for i=1:(n-j+1) %i为⾏标10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表11 end12 end13 B=A;14 endnewtonint4 代⼊数据得到差商表:0.98-0.3-0.625-0.2083-0.52080.92-0.55-0.75-0.62500.81-0.85-1.125000.64-1.30000.380000 已知,第⼀⾏的便是插值多项式的系数,代⼊插值多项式: 并作出图像:1 x0=[0.20.40.60.81.0];2 y0=[0.980.920.810.640.38];3 plot(x0,y0,'b-o')4 hold on5 k=0:1:10;6 x=0.2+0.08*k;7for i=1:1:118 y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.2083333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0.520833333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8);9 end10 plot(x,y,'r-o');11 legend('原图像','4次插值图像');plot3⼩结: 在编写⽜顿插值的代码时,我遇到了超出元组索引的问题。

matlab(迭代法_牛顿插值)

matlab(迭代法_牛顿插值)

实验报告内容:一:不动点迭代法解方程二:牛顿插值法的MA TLAB实现完成日期:2012年6月21日星期四数学实验报告一日期:2012-6-21hold on>> fplot(g,[-2,2])>> fplot(f,[-2,2])>> hold off>> grid输出结果如下所示:所以,确定初值为x0=1二:不断迭代算法:第一步:将f(x0)赋值给x1第二步:确定x1-x0的绝对值大小,若小于给定的误差值,则将x1当做方程的解,否则回到第一步编写计算机程序:clearf=inline('0.5*sin(x)+0.4');x0=1;x1=f(x0);k=1;while abs(x1-x0)>=1.0e-6x0=x1;x1=f(x0);k=k+1;fprintf('k=%.0f,x0=%.9f,x1=%.9f\n',k,x0,x1)end显示结果如下:k=2,x0=0.820735492,x1=0.765823700k=3,x0=0.765823700,x1=0.746565483k=4,x0=0.746565483,x1=0.739560873k=5,x0=0.739560873,x1=0.736981783k=6,x0=0.736981783,x1=0.736027993k=7,x0=0.736027993,x1=0.735674699k=8,x0=0.735674699,x1=0.735543758k=9,x0=0.735543758,x1=0.735495216k=10,x0=0.735495216,x1=0.735477220k=11,x0=0.735477220,x1=0.735470548k=12,x0=0.735470548,x1=0.735468074k=13,x0=0.735468074,x1=0.735467157>>。

牛顿插值法matlab程序例题

牛顿插值法matlab程序例题

牛顿插值法是一种常用的数值分析方法,用于构造一个多项式函数,以便在给定的数据点上进行插值。

这个主题在数学和工程领域中有着广泛的应用,特别是在数据拟合和函数逼近方面。

牛顿插值法的核心思想是通过不断地添加新的数据点来构造一个多项式,并利用已知数据点来确定多项式的系数,从而实现对未知数据点的插值预测。

在Matlab中,实现牛顿插值法并不困难,我们可以利用已有的函数和工具来简化计算过程。

下面,我们将通过一个具体的例题来讲解如何使用Matlab编写牛顿插值法的程序,并分析其结果。

我们需要明确牛顿插值法的数学原理。

给定n个互不相同的节点\(x_0, x_1, ... , x_n\),以及在这些节点上的函数值\(f(x_0), f(x_1), ... , f(x_n)\),我们希望构造一个n次插值多项式p(x),满足p(x_i) = f(x_i),i=0,1,...,n。

牛顿插值多项式的一般形式为:\[p(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x -x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})\]其中,\[a_i\]表示插值多项式的系数。

通过牛顿插值法的迭代过程,可以逐步求解出这些系数,进而得到插值多项式的表达式。

接下来,我们将以一个具体的例题来演示如何在Matlab中实现牛顿插值法。

假设我们有如下的数据点和函数值:\(x = [1, 2, 3, 4]\)\(f(x) = [1, 4, 9, 16]\)我们希望利用这些数据点来构造一个插值多项式,并在给定的区间上进行插值计算。

在Matlab中,可以通过interp1函数来进行插值计算,该函数支持多种插值方法,包括牛顿插值法。

下面是一个简单的Matlab程序示例:```matlabx = [1, 2, 3, 4];y = [1, 4, 9, 16];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline');disp(['在x=',num2str(xi),'处的插值结果为:',num2str(yi)]);```在这段代码中,我们首先定义了给定的数据点x和对应的函数值y,然后利用interp1函数对x=2.5处的插值结果进行计算。

matlab中的迭代算法

matlab中的迭代算法

matlab中的迭代算法Matlab中的迭代算法迭代算法是一种通过重复应用某个过程或规则来解决问题的方法。

在Matlab中,迭代算法广泛应用于数值计算、优化问题、图像处理等领域。

本文将介绍几种常见的迭代算法,并通过实例来演示其应用。

一、二分法二分法是一种简单而有效的迭代算法,用于求解函数的根。

其基本思想是通过将区间逐渐缩小,不断逼近根的位置。

具体步骤如下:1. 选择一个初始区间[a, b],使得f(a)和f(b)异号;2. 计算区间的中点c=(a+b)/2;3. 判断f(c)的符号,并更新区间的边界;4. 重复步骤2和3,直到满足精度要求。

二分法的优点是简单易懂,但收敛速度相对较慢。

以下是一个使用二分法求解方程x^2-2=0的示例代码:```matlaba = 1;b = 2;tol = 1e-6;while abs(b-a) > tolc = (a + b) / 2;if (c^2 - 2) * (a^2 - 2) < 0b = c;elsea = c;endendroot = (a + b) / 2;disp(root);```二、牛顿法牛顿法是一种迭代算法,用于求解非线性方程和最优化问题。

其基本思想是通过利用函数的局部线性近似,逐步逼近根或最优解。

具体步骤如下:1. 选择一个初始点x0;2. 计算函数f在点x0处的导数f'(x0);3. 计算切线方程的解,即x1 = x0 - f(x0)/f'(x0);4. 重复步骤2和3,直到满足精度要求。

牛顿法的优点是收敛速度快,但对初始点的选择较为敏感。

以下是一个使用牛顿法求解方程x^2-2=0的示例代码:```matlabx0 = 1;tol = 1e-6;while abs(x1 - x0) > tolx1 = x0 - (x0^2 - 2) / (2 * x0);x0 = x1;endroot = x1;disp(root);```三、迭代法求解线性方程组迭代法也可以用于求解线性方程组Ax=b。

matlab数组插值程序

matlab数组插值程序

matlab数组插值程序在MATLAB中,数组插值是一种常见的操作,可以使用interp1函数来实现。

interp1函数可以对一维数据进行插值操作,以下是一个简单的示例程序,演示了如何在MATLAB中进行数组插值操作:matlab.% 创建原始数据。

x = 1:5; % 原始数据的x坐标。

y = [3 6 2 8 4]; % 原始数据的y坐标。

% 创建插值的新x坐标。

xq = 1:0.1:5; % 创建新的x坐标,间隔为0.1。

% 使用interp1进行线性插值。

yq_linear = interp1(x, y, xq, 'linear'); % 线性插值。

% 使用interp1进行三次样条插值。

yq_spline = interp1(x, y, xq, 'spline'); % 三次样条插值。

% 绘制原始数据和插值结果。

plot(x, y, 'o', xq, yq_linear, '-', xq, yq_spline, '--');legend('原始数据', '线性插值', '三次样条插值');在这个示例程序中,我们首先创建了原始数据x和y,然后创建了新的x坐标xq,接着使用interp1函数进行线性插值和三次样条插值,最后将原始数据和插值结果绘制在同一张图上进行对比。

需要注意的是,interp1函数还可以进行其他类型的插值,比如最近邻插值、分段线性插值等,具体可以根据实际需求选择合适的插值方法。

除了interp1函数,MATLAB还提供了其他一些用于数组插值的函数,比如interp2(用于二维数据的插值)、interpn(用于多维数据的插值)等,可以根据具体情况选择合适的插值函数进行操作。

总之,MATLAB提供了丰富的插值函数,可以满足不同数据插值的需求,通过灵活运用这些函数,可以实现对数组的高效插值操作。

插值法,迭代法matlab程序

插值法,迭代法matlab程序

数值分析作业姓名学号学院专业2013年12月16日1.用MATLAB编程实现langrage插值多项式:syms xx0=[-2,-1,0,1];y0=[3,1,1,6];n=length(x0);for i=1:na=1;for j=1:nif j~=ia=expand(a*(x-x0(j)));endendb=1;for k=1:nif k~=ib=b*(x0(i)-x0(k));endendA(i)=expand(a/b);endL=0;for p=1:nL=L+y0(p)*A(p);endL>>LanguageL=x^3/2+(5*x^2)/2+2*x+12.牛顿插值多项式程序function[p2,z]=newTon(x,y,t)%输入参数中x,y为元素个数相等的向量,t为待估计的点,可以为数字或向量。

%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式,z为利用多项式所得的t的函数值。

n=length(x);chaS(1)=y(1);for i=2:nx1=x;y1=y;x1(i+1:n)=[];y1(i+1:n)=[];n1=length(x1);s1=0;for j=1:n1t1=1;for k=1:n1if k==jcontinue;elset1=t1*(x1(j)-x1(k));endends1=s1+y1(j)/t1;endchaS(i)=s1;endb(1,:)=[zeros(1,n-1)chaS(1)];cl=cell(1,n-1);for i=2:nu1=1;for j=1:i-1u1=conv(u1,[1-x(j)]);cl{i-1}=u1;endcl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];endp2=b(1,:);for j=2:np2=p2+b(j,:);endif length(t)==1rm=0;for i=1:nrm=rm+p2(i)*t^(n-i);endz=rm;elsek1=length(t);rm=zeros(1,k1);for j=1:k1for i=1:nrm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);endz=rm;endendx=[-1125];y=[-77-435];t=1;[u,v]=newTon(x,y,t)>>[u,v]=newton(x,y,t)u=2-10510v=7则所求得的牛顿多项式为:2*x^3-10x^2+5*x+103.Matlab程序三次样条插值函数clearclcx=[12346]y=[00.693147 1.09861 1.38629 1.79176]n=length(x);for i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:n-2k(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));endfor i=1:n-2gl(i)=3*(u(i)*(y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)+k(i)*(y(i+1)-y(i))/h(i)); endg0=3*(y(2)-y(1))/h(1);g00=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1);g=[g0gl g00];g=transpose(g)k1=[k1];u1=[1u];Q=2*eye(5)+diag(u1,1)+diag(k1,-1)m=transpose(Q\g)syms X;for i=1:n-1p1(i)=(1+2*(X-x(i))/h(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*y(i);p2(i)=(1-2*(X-x(i+1))/h(i))*((X-x(i))/h(i))^2*y(i+1);p3(i)=(X-x(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*m(i);p4(i)=(X-x(i+1))*((X-x(i))/h(i))^2*m(i+1);p(i)=p1(i)+p2(i)+p3(i)+p4(i);p(i)=simple(p(i));ends1=p(1)s2=p(2)s3=p(3)s4=p(4)for k=1:4for z=x(k):0.001:x(k+1)q=eval(subs(p(k),'X','z'));plot(z,q,'b')hold onendendgrid onlegend('eval')title('sysm')xlabel('x')ylabel('p')x=12346y=00.6931 1.0986 1.3863 1.7918g= 2.07941.64791.03970.77810.6082Q=2.0000 1.00000000.5000 2.00000.50000000.5000 2.00000.50000000.6667 2.00000.3333000 1.0000 2.0000 m=0.76290.55370.31810.25350.17744.牛顿迭代法求多项式根syms xf=x-cos(x);df=diff(f,x);eps=1e-6;x0=1;cnt=0;MAXCNT=20;%最大循环次数while cnt<MAXCNT%防止无限循环x1=x0-subs(f,x,x0)/subs(df,x,x0);%去掉这个分号,可以看到迭代过程.if(abs(x1-x0)<eps)break;endx0=x1;cnt=cnt+1;endif cnt==MAXCNTdisp'不收敛'elsevpa(x1,8)end>>Untitledans=0.73908513。

MATLAB中的插值方法及其应用

MATLAB中的插值方法及其应用

MATLAB中的插值方法及其应用引言数据在科学研究和工程应用中起着至关重要的作用。

然而,在实际问题中,我们常常遇到数据不完整或者不连续的情况。

为了填补这些数据的空隙,插值方法应运而生。

插值方法可以通过已知的点估计未知点的值,从而使得数据连续化。

MATLAB作为一款强大的数值计算软件,提供了丰富的插值方法及其应用。

本文将对MATLAB中常用的插值方法进行介绍,并探讨它们在实际应用中的价值和效果。

一、线性插值方法线性插值是最简单和常用的插值方法之一。

它假设两个已知数据点之间的插值点在直线上。

MATLAB中的线性插值可以通过interp1函数实现。

例如,对于一组已知的点(x1,y1)和(x2,y2),我们可以使用interp1(x,y,xq,'linear')来估计插值点(xq,yq)的值。

线性插值方法的优点在于简单易懂,计算速度快。

然而,它的缺点在于无法处理非线性关系和复杂的数据分布。

因此,在实际应用中,线性插值方法往往只适用于简单的数据场景。

二、多项式插值方法多项式插值是一种常用的插值技术,它假设插值点在已知数据点之间的曲线上,而非直线。

MATLAB中的polyfit和polyval函数可以帮助我们实现多项式插值。

多项式插值方法的优点在于可以逼近各种形状的曲线,对数据的逼真度较高。

然而,当插值点之间的数据分布不均匀时,多项式插值容易产生振荡现象,即“龙格现象”。

因此,在实际应用中,我们需要根据具体问题选择合适的插值阶数,以避免过拟合和振荡现象的发生。

三、样条插值方法样条插值是一种光滑且精确的插值方法。

它通过在已知数据点之间插入一系列分段多项式,使得插值曲线具有良好的光滑性。

MATLAB中的spline函数可以帮助我们实现样条插值。

样条插值方法的优点在于可以处理数据分布不均匀和曲线形状复杂的情况。

它能够减少振荡现象的发生,并保持曲线的光滑性。

然而,样条插值方法的计算复杂度较高,需要更多的计算资源。

matlab的迭代法编程

matlab的迭代法编程

matlab的迭代法编程迭代法是一种常用的解决数值计算问题的方法, 在MATLAB中也有相应的编程实现。

本文将介绍如何使用MATLAB实现迭代法来解决数值计算问题。

一、迭代法简介迭代法是通过反复迭代计算来逼近问题的解的一种方法。

它适用于无法直接求得解析解的问题,但可以通过一系列近似的计算逐步逼近真实解。

二、基本思想迭代法的基本思想是通过不断迭代,逐步逼近问题的解。

假设我们要求解一个方程 f(x)=0 的根,可以从一个初始值开始,通过迭代计算逐步逼近真实解。

三、MATLAB的迭代法编程实现在MATLAB中,可以使用循环语句结合适当的迭代公式来实现迭代法。

首先,我们需要确定迭代的终止条件。

通常可以使用误差判定条件来进行终止判断,比如当迭代结果的相对误差小于某一阈值时,可以认为迭代已经达到了足够的精度。

然后,我们可以使用循环语句(如for循环或while循环)来进行迭代计算。

在每次迭代中,根据迭代公式更新迭代结果,并进行误差判定。

最后,当满足终止条件时,迭代停止,并返回最终的迭代结果作为近似解。

下面是一个简单的例子,演示了如何使用MATLAB实现牛顿迭代法求解方程的根。

```matlabfunction x = Newton_method(f, df, x0, epsilon, max_iter)for i = 1:max_iterx = x0 - f(x0)/df(x0);if abs(f(x)) < epsilonreturn;endx0 = x;enderror('迭代次数超过上限');end```在上述代码中,函数`Newton_method`用于实现牛顿迭代法。

其中,`f`代表方程函数,`df`代表方程函数的导数,`x0`是初始点的值,`epsilon`是误差判定的阈值,`max_iter`是最大迭代次数。

四、迭代法的应用迭代法在数值计算中有广泛的应用。

它可以用于求解非线性方程的根、线性方程组的解、优化问题的最优解等等。

插值法matlab程序

插值法matlab程序

插值法matlab程序插值法是一种常用的数值计算方法,广泛应用于科学与工程领域。

在MATLAB中,可以通过插值函数实现对数据的插值处理。

本文将介绍插值法的原理及其在MATLAB中的应用。

一、插值法的原理插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。

它的基本思想是利用已知数据点之间的关系推断未知数据点的值。

插值法分为多种类型,常用的有线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。

1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法,它假设数据点之间的关系是线性的。

给定两个已知数据点(x0, y0)和(x1, y1),线性插值可以通过以下公式来估计在两个数据点之间的任意点(x, y)的值:y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种多项式插值方法,它通过构造一个满足已知数据点的多项式函数来估计未知数据点的值。

给定n+1个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn),拉格朗日插值多项式可以表示为:P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中,L0(x), L1(x), ..., Ln(x)是拉格朗日基函数,定义为:Lk(x) = (x - x0) * (x - x1) * ... * (x - xk-1) * (x - xk+1) * ... * (x - xn) / ((xk - x0) * (xk - x1) * ... * (xk - xk-1) * (xk - xk+1) * ... * (xk - xn))3. 样条插值样条插值是一种利用多个多项式函数来近似估计数据点的方法。

它将数据点之间的区间划分为多段,每段都用一个低次多项式函数来拟合。

这样可以在保持插值函数光滑的同时,更准确地估计未知数据点的值。

二、MATLAB中的插值函数MATLAB提供了多个插值函数,可以根据实际需求选择合适的函数进行数据插值处理。

matlab迭代算法程序

matlab迭代算法程序

matlab迭代算法程序摘要:一、迭代算法简介二、Matlab迭代算法程序1.牛顿下山法2.进退法三、迭代算法的应用四、总结正文:一、迭代算法简介迭代算法是一种求解方程或优化问题的方法,通过不断迭代更新变量值,逐步逼近最优解。

Matlab提供了丰富的迭代算法工具箱,可以帮助我们方便地实现迭代算法。

二、Matlab迭代算法程序1.牛顿下山法牛顿下山法是一种在局部收敛的迭代算法,适用于求解非线性方程组。

其基本思想是利用函数在当前迭代点的二阶导数来估计下一个迭代点的值。

下面是一个用牛顿下山法求解非线性方程的Matlab程序:```matlabfunction [x, k] = myfunnewton(f, x0, emg)% f表示非线形方程% x0迭代初值,此种方法是局部收敛,初值要选择恰当% emg是精度指标% k,u分别表示迭代次数和下山因子% d1表示非线形方程f在x0处的导数值[f1, d1] = feval(f, x0);k1 = 1;x(1) = x0;x(2) = x(1) - f1 / d1;while abs(f1) > emgu1 = 1;k = k + 1;[f1, d1] = feval(f, x(k));x(k+1) = x(k) - f1 / d1;endend```2.进退法进退法是一种在全局收敛的迭代算法,适用于求解无约束一维极值问题。

其基本思想是每次迭代时,先向前一步,再根据当前步长和目标函数值的变化决定是否需要后退一步。

下面是一个用进退法求解无约束一维极值问题的Matlab程序:```matlabfunction x = myfunbacktracking(f, x0, fprime, emg)% f表示目标函数% x0迭代初值% fprime表示目标函数的一阶导数% emg是精度指标x = x0;while truex1 = x + 0.5 * (x - x0) / (f(x) - f(x0));if abs(f(x1)) < emgx0 = x1;break;elseif fprime(x1) * (x - x0) > 0x = x1;elsex = x0;endendend```三、迭代算法的应用迭代算法广泛应用于数学、物理、工程等领域,可以用于求解非线性方程组、优化问题等。

Matlab插值算法程序集

Matlab插值算法程序集

Matlab插值算法程序集一、插值算法1.Atkenfunction f = Atken(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %检错y1(1:n) = t; %符号函数数组要赋初值for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)*(t-x(i))/(x(j)-x(i))+y(i)*(t-x(j))/(x(i)-x(j));endy = y1;simplify(y1);endif(nargin == 3)f = subs(y1(n),'t',x0); %计算插值点的函数值elsesimplify(y1(n)); %化简f = collect(y1(n)); %将插值多项式展开f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数end2.BSamplefunction f0 = BSample(a,b,n,y,y_1,y_N,x0)f0 = 0.0;h = (b-a)/n;c = zeros(n+3,1);b = zeros(n+1,1);for i=0:n-1if(a+i*h<=x0) && (a+i*h+h>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(4*ones(n+1,1));I = eye(n+1,n+1);AL = [I(2:n+1,:);zeros(1,n+1)];AU = [zeros(1,n+1);I(1:n,:)];A = A+AL+AU; %形成系数矩阵for i=2:nb(i,1) = 6*y(i);endb(1) = 6*y(1)+2*h*y_1;b(n+1) = 6*y(n+1)-2*h*y_N;d = followup(A,b); %用追赶法求出系数c(2:n+2) = d;c(1) = c(2) - 2*h*y_1; %c(-1)c(n+3) = c(3)+2*h*y_N; %c(n+1)x1 = (a+index*h-h-x0)/h;m1 = c(index+1)*(-((abs(x1))^3)/6+(x1)^2-2*abs(x1)+4/3); x2 = (a+index*h-x0)/h;m2 = c(index+2)*((abs(x2))^3/2-(x2)^2+2/3);x3 = (a+index*h+h-x0)/h;m3 = c(index+3)*((abs(x3))^3/2-(x3)^2+2/3);x4 = (a+index*h+2*h-x0)/h;m4 = c(index+4)*(-((abs(x4))^3)/6+(x4)^2-2*abs(x4)+4/3); f0 = m1+m2+m3+m4; %求出插值3.DCSfunction f = DCS(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等!');return;endc(1) = y(1);for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (x(j)-x(i))/(y(j)-y(i));endc(i+1) = y1(i+1);y = y1;endf = c(n);for(i=1:n-1)f = c(n-i) + (t-x(n-i))/f;f = vpa(f,6);if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendend;4.DHfunction fz = DH(x,y,x0,y0,zx,zy,zxy)n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间hx = x(index_x+1) - x(index_x);hy = y(index_y+1) - y(index_y);tx = (x0 - x(index_x))/hx; %插值坐标归一化ty = (y0 - y(index_y))/hy; %插值坐标归一化Hl = [(1-tx)^2*(1+2*tx) tx*tx*(3-2*tx) tx*(1-tx)^2 tx*tx*(tx-1)]; %左向量Hr = [(1-ty)^2*(1+2*ty); ty*ty*(3-2*ty); ty*(1-ty)^2 ; ty*ty*(ty-1)]; %右向量C = [Z(index_x, index_y) Z(index_x,index_y+1) zy(index_x, index_y) ...zy(index_x, index_y+1);Z(index_x+1, index_y) Z(index_x+1,index_y+1) zy(index_x+1, index_y) ...zy(index_x+1, index_y+1);zx(index_x, index_y) zy(index_x, index_y+1) zxy(index_x, index_y) ...zxy(index_x, index_y+1);zx(index_x+1, index_y) zy(index_x+1, index_y+1) zxy(index_x+1, index_y) ... zxy(index_x+1, index_y+1)]; %C矩阵fz = Hl*C*Hr;5.DLfunction fz = DL(x,y,Z,x0,y0,eps)n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间A = [1 x(index_x) y(index_y) x(index_x)* y(index_y);1 x(index_x+1) y(index_y+1) x(index_x+1)* y(index_y+1);1 x(index_x) y(index_y+1) x(index_x)* y(index_y+1);1 x(index_x+1) y(index_y) x(index_x+1)* y(index_y)];iA = inv(A);B = iA*[Z(index_x,index_y); Z(index_x+1,index_y+1); Z(index_x,index_y+1);Z(index_x+1,index_y)];fz = [1 x0 y0 x0*y0]*B;6.DTLfunction fz = DTL(x,y,Z,x0,y0)syms s t;f = 0.0;n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间if index_x == 1cx(1:3) = index_x:(index_x+2);elseif index_x == n-1cx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);elseif abs(x(index_x-1)-x0)>abs(x(index_x+2)-x0)cx(1:3) = (index_x):(index_x+2);elsecx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);endendend %找到离x0最近的三个x坐标if index_y == 1cy(1:3) = index_y:(index_y+2);elseif index_y == m-1cy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);elseif abs(y(index_y-1)-y0)>=abs(y(index_y+2)-y0)cy(1:3) = (index_y):(index_y+2);elsecy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);endendend %找到离y0最近的三个y坐标for i=1:3i1 = mod(i+1,3);if(i1 == 0)i1 = 3;endi2 = mod(i+2,3);if(i2 == 0)i2 = 3;endfor j=1:3j1 = mod(j+1,3);if(j1 == 0)j1 = 3;endj2 = mod(j+2,3);if(j2 == 0)j2 = 3;endf = f+Z(cx(i),cy(j))*((t-x(cx(i1)))*(t-x(cx(i2)))/(x(cx(i))-x(cx(i1)))/(x(cx(i))-x(cx(i2))))* ...(s-y(cy(j1)))*(s-y(cy(j2)))/(y(cy(j))-y(cy(j1)))/(y(cy(j))-y(cy(j2)));%插值多项式endendfz = subs(f,'[t s]',[x0 y0]);7.FCZfunction fz = DTL(x,y,Z,x0,y0)syms s t;f = 0.0;n = length(x);m = length(y);for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index_x = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:mif(y(i)<=y0)&& (y(i+1)>=y0)index_y = i;break;endend %找到y0所在区间if index_x == 1cx(1:3) = index_x:(index_x+2);elseif index_x == n-1cx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);elseif abs(x(index_x-1)-x0)>abs(x(index_x+2)-x0)cx(1:3) = (index_x):(index_x+2);elsecx(1:3) = (index_x-1):(index_x+1);endendend %找到离x0最近的三个x坐标if index_y == 1cy(1:3) = index_y:(index_y+2);elseif index_y == m-1cy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);elseif abs(y(index_y-1)-y0)>=abs(y(index_y+2)-y0)cy(1:3) = (index_y):(index_y+2);elsecy(1:3) = (index_y-1):(index_y+1);endendend %找到离y0最近的三个y坐标for i=1:3i1 = mod(i+1,3);if(i1 == 0)i1 = 3;endi2 = mod(i+2,3);if(i2 == 0)i2 = 3;endfor j=1:3j1 = mod(j+1,3);if(j1 == 0)j1 = 3;endj2 = mod(j+2,3);if(j2 == 0)j2 = 3;endf = f+Z(cx(i),cy(j))*((t-x(cx(i1)))*(t-x(cx(i2)))/(x(cx(i))-x(cx(i1)))/(x(cx(i))-x(cx(i2))))* ...(s-y(cy(j1)))*(s-y(cy(j2)))/(y(cy(j))-y(cy(j1)))/(y(cy(j))-y(cy(j2)));%插值多项式endendfz = subs(f,'[t s]',[x0 y0]);8.Gaussfunction f = Gauss(x,y,x0)if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;endxx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));if(xx ~= x)disp('节点之间不是等距的!');return;endif( mod(n,2) ==1)if(nargin == 2)f = GStirling(x,y,n);else if(nargin == 3)f = GStirling(x,y,n,x0);endendelseif(nargin == 2)f = GBessel(x,y,n);else if(nargin == 3)f = GBessel(x,y,n,x0);endendendfunction f = GStirling(x,y,n,x0)syms t;nn = (n+1)/2;f = y(nn);for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)-y(j-1);endif(mod(i,2)==1)c(i) = (y1((i+n)/2)+y1((i+n+2)/2))/2;elsec(i) = y1((i+n+1)/2)/2;endif(mod(i,2)==1)l = t+(i-1)/2;for(k=1:i-1)l = l*(t+(i-1)/2-k);endelsel_1 = t+i/2-1;l_2 = t+i/2;for(k=1:i-1)l_1 = l_1*(t+i/2-1-k);l_2 = l_2*(t+i/2-k);endl = l_1 + l_2;endl = l/factorial(i);f = f + c(i)*l;simplify(f);f = vpa(f, 6);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 4)f = subs(f,'t',(x0-x(nn))/(x(2)-x(1)));endendendfunction f = GBessel(x,y,n,x0)syms t;nn = n/2;f = (y(nn)+y(nn+1))/2;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)-y(j-1);endif(mod(i,2)==1)c(i) = y1((i+n+1)/2)/2;elsec(i) = (y1((i+n)/2)+y1((i+n+2)/2))/2;endif(mod(i,2)==0)l = t+i/2-1;for(k=1:i-1)l = l*(t+i/2-1-k);endelsel_1 = t+(i-1)/2;l_2 = t+(i-1)/2-1;for(k=1:i-1)l_1 = l_1*(t+(i-1)/2-k);l_2 = l_2*(t+(i-1)/2-1-k);endl = l_1 + l_2;endl = l/factorial(i);f = f + c(i)*l;simplify(f);f = vpa(f, 6);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 4)f = subs(f,'t',(x0-x(nn))/(x(2)-x(1)));endendEnd9.Hermitefunction f = Hermite(x,y,y_1,x0)syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等!');return;endelsedisp('x和y的维数不相等!');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i));if(i==n)if(nargin == 4)f = subs(f,'t',x0);elsef = vpa(f,6);endendEndnguagefunction f = Language(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %检错f = 0.0;for(i = 1:n)l = y(i);for(j = 1:i-1)l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j = i+1:n)l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); %计算拉格朗日基函数end;f = f + l; %计算拉格朗日插值函数simplify(f); %化简if(i==n)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0); %计算插值点的函数值elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数endendend11.Nevillefunction f = Neville(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;endy1(1:n) = t;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)if(j==2)y1(j) = y(j)+(y(j)-y(j-1))/((t-x(j-i))/(t-x(j)))*(1-(y(j)-y(j-1))/y(j));elsey1(j) = y(j)+(y(j)-y(j-1))/((t-x(j-i))/(t-x(j)))*(1-(y(j)-y(j-1))/(y(j)-y(j-2)));endendy = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(y(n-1),'t',x0);elsef = vpa(y(n-1),6);endendend12.Newtonfunction f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等!');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endendend13.Newtonbackfunction f = Newtonback(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等!');return;endf = y(n);y1 = 0;xx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));if(xx ~= x)disp('节点之间不是等距的!');return;endfor(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = y(j)-y(j-1);endc(i) = y1(n);l = t;for(k=1:i-1)l = l*(t+k);end;f = f + c(i)*l/factorial(i);simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',(x0-x(n))/(x(2)-x(1)));elsef = collect(f);f = vpa(f, 6);endend14.Newtonforwardfunction f = Newtonforward(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等!');return;endf = y(1);y1 = 0;xx =linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));if(xx ~= x)disp('节点之间不是等距的!');return;endfor(i=1:n-1)for(j=1:n-i)y1(j) = y(j+1)-y(j);endc(i) = y1(1);l = t;for(k=1:i-1)l = l*(t-k);end;f = f + c(i)*l/factorial(i);simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',(x0-x(1))/(x(2)-x(1)));elsef = collect(f);f = vpa(f, 6);endend15.SecSamplefunction [f,f0,fd0] = SecSample (x,y,y_1,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等!');return;endelsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间d = y_1(1)*(x(2)-x(1))/2+y(1);for i=2:n-1d = d + y_1(i)*(x(i+1)-x(i-1))/2;endh = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y_1(index+1)*(t-x(index))^2/2/h + ...y_1(index)*(t-x(index+1))^2/2/h + d; %x0所在区间的插值函数fd = (t-x(index))*y_1(index+1)/h + y_1(index)*(x(index+1)-t)/h;%x0所在区间的插值函数的导数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值fd0 = subs(fd,'t',x0); % x0处的导数插值16.SubHermitefunction [f,f0] = SubHermite(x,y,y_1,x0)syms t;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('y和y的导数的维数不相等!');return;endelsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度fl = y(index)*(1+2*(t-x(index))/h)*(t-x(index+1))^2/h/h + ...y(index+1)*(1-2*(t-x(index+1))/h)*(t-x(index))^2/h/h; fr = y_1(index)*(t-x(index))*(t-x(index+1))^2/h/h + ...y_1(index+1)*(t-x(index+1))*(t-x(index))^2/h/h;f = fl + fr; %x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值17.ThrSample1function [f,f0] = ThrSample1 (x,y,y_1, y_N,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %维数检查if(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(2*ones(1,n)); %求解m的系数矩阵u = zeros(n-2,1);lamda = zeros(n-1,1);c = zeros(n,1);for i=2:n-1u(i-1) = (x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda(i) = (x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i) = 3*lamda(i)*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+ ...3*u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i, i+1) = u(i-1);A(i, i-1) = lamda(i); %形成系数矩阵及向量cendc(1) = 2*y_1;c(n) = 2*y_N;m = followup(A,c); %用追赶法求解方程组h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y(index)*(2*(t-x(index))+h)*(t-x(index+1))^2/h/h/h + ...y(index+1)*(2*(x(index+1)-t)+h)*(t-x(index))^2/h/h/h + ...m(index)*(t-x(index))*(x(index+1)-t)^2/h/h - ...m(index+1)*(x(index+1)-t)*(t-x(index))^2/h/h;%x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值18. ThrSample2function [f,f0] = ThrSample2 (x,y,y2_1, y2_N,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(2*ones(1,n)); %求解m的系数矩阵A(1,2) = 1;A(n,n-1) = 1;u = zeros(n-2,1);lamda = zeros(n-1,1);c = zeros(n,1);for i=2:n-1u(i-1) = (x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda(i) = (x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i) = 3*lamda(i)*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+ ...3*u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i, i+1) = u(i-1);A(i, i-1) = lamda(i); %形成系数矩阵及向量cendc(1) = 3*(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-(x(2)-x(1))*y2_1/2;c(n) = 3*(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1))-(x(n)-x(n-1))*y2_N/2;m = followup(A,c); %用追赶法求解方程组h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y(index)*(2*(t-x(index))+h)*(t-x(index+1))^2/h/h/h + ...y(index+1)*(2*(x(index+1)-t)+h)*(t-x(index))^2/h/h/h + ...m(index)*(t-x(index))*(x(index+1)-t)^2/h/h - ...m(index+1)*(x(index+1)-t)*(t-x(index))^2/h/h;%x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值19.ThrSample3function [f,f0] = ThrSample3 (x,y,x0)syms t;f = 0.0;f0 = 0.0;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %维数检查for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间for i=1:nif(x(i)<=x0)&& (x(i+1)>=x0)index = i;break;endend %找到x0所在区间A = diag(2*ones(1,n-1)); %求解m的系数矩阵h0 = x(2)-x(1);h1 = x(3)–x(2);he = x(n)-x(n-1);A(1,2) = h0/(h0+h1);A(1,n-1) = 1 - A(1,2);A(n-1,1) = he/(h0+he);A(n-1,n-2) = 1 - A(n-1,1);c = zeros(n-1,1);c(1) = 3* A(1,n-1)*(y(2)-y(1))/h0 + 3* A(1,2)*(y(3)-y(2))/h1;for i=2:n-2u = (x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda = (x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i) = 3*lamda*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+ ...3*u*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i, i+1) = u;A(i, i-1) = lamda; %形成系数矩阵及向量cendc(n-1) = 3*( he*(y(2)-y(1))/h0+h0*( y(n)-y(n-1))/he)/(h0+he);m = zeros(n,1);[m(2:n),Q,R] = qrxq(A,c); %用qr分解法法求解方程组m(1) = m(n);h = x(index+1) - x(index); %x0所在区间长度f = y(index)*(2*(t-x(index))+h)*(t-x(index+1))^2/h/h/h + ...y(index+1)*(2*(x(index+1)-t)+h)*(t-x(index))^2/h/h/h + ... m(index)*(t-x(index))*(x(index+1)-t)^2/h/h - ...m(index+1)*(x(index+1)-t)*(t-x(index))^2/h/h;%x0所在区间的插值函数f0 = subs(f,'t',x0); %x0处的插值。

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matlab牛顿迭代法

matlab牛顿迭代法经过几千年的发展,牛顿迭代法一直是近代数学和计算机应用领域最受欢迎的数值解决方案。

其在Matlab工程中的应用可以极大程度地解决复杂的优化问题,并显著提升了解决高精度问题的效率。

本文旨在介绍Matlab中牛顿迭代法的基本原理、准备工作和实现过程,以期提高Matlab用户应用牛顿迭代法的能力,使其获得更好的结果。

一、牛顿迭代法基本原理牛顿迭代法是一种基于牛顿插值法的法,它利用逼近函数和迭代法来求解非线性方程组。

当用牛顿插值法求解一个函数时,先利用已知函数值和其导数值,给出一次和二次期望值,从而可以算出下一个函数值,从而迭代求解。

牛顿迭代法最重要的特点在于它对非线性方程组具有极大的精度,它重复操作过程可以较快地收敛,它的实现简单确定性,它易于并行计算,它能够收敛到方程组的精确解。

二、准备工作在开始使用Matlab使用牛顿迭代法之前,需要先准备一定的准备工作,使其具备有效的解决方案。

1.先,必须准备一个非线性方程组,这个方程组用牛顿迭代法来求解,根据实际情况,可以采用一阶、二阶或:方程组。

2.果求解一个函数时,还需要准备函数和其一阶、二阶导数,将其编写成具有一定结构的Matlab函数。

3.据实际情况,必须设定预先条件,是非线性方程组可以进行求解,比如设定精度要求、步长条件,并计算初始迭代点。

三、Matlab中牛顿迭代法的实现在Matlab中,只需要一行代码就可以实现牛顿迭代法,其在Matlab中可以简代码如下:[Xn, fval, info] = fsolve(fun, x0);其中,fun表示需要求解的函数,x0表示初始化迭代点。

此外,fsolve可以接受一些可选参数,包括精度要求以及步长条件等。

四、实际案例通过实际案例可以更好的理解上文讲解的内容,以下实例将应用于牛顿迭代法求解下面这个一元非线性方程组:f(x) = x^3*e^x-2 = 0求解的源程序如下:function f = fun(x)f = x.^3.*exp(x) - 2;endx0 = 0;[x, fval, info] = fsolve(@fun,x0);计算结果如下:x = 0.8245fval = -1.9625e-14info = 1从结果可以看出,牛顿迭代法给出的结果与精确解非常接近,说明使用牛顿迭代法求解此问题是可行的。

matlab牛顿插值法程序

matlab牛顿插值法程序

matlab牛顿插值法程序牛顿插值法是一种数值分析方法,用于确定给定数据点之间的未知函数值。

该方法使用一个插值多项式,该多项式使得插值多项式通过给定的插值点,并且在插值点周围的函数值接近已知函数值。

该方法比其他插值方法更高,因为它使用被插值数据的微分。

下面是MATLAB中牛顿插值法的程序:function [f, c] = newton_interpolation(x, y)% x:插值节点不同的x值,必须有n个元素。

% y:相应在每个节点的y值,必须有n个元素。

% 返回:拟合的多项式和的权重向量c% 我们创建一个表格,其中包含x和y值的第一行n = length(x);delta=zeros(n,n);% 先把第一列设置为y值:delta(:,1)=y';%接下来,我们将使用牛顿插值法来填写余下的每个列for j=2:nfor i=j:ndelta(i,j) = ( delta(i,j-1) - delta(i-1,j-1) )/( x(i) - x(i-j+1));endend% 配置 c 数组% 从差分表中得出k次递归系数矩阵,目标是多项式系数c = zeros(1,n);c(1)=delta(1,1);% 获取插值多项式(通过牛顿插值法)syms t;L = c(1);for j=2:nprod = 1;for i=1:j-1prod = prod * ( t - x(i) );endL = L + c(j) * prod;end% 转换L成一个函数y=L(x)f = matlabFunction(L);end现在,当我们调用这个函数并输入我们想要插值的节点和相应的y值,我们会得到拟合的多项式和传递插值节点的权重向量。

matlab迭代法解方程的程序

matlab迭代法解方程的程序

文章标题:使用MATLAB迭代法解方程的程序目录1. 什么是迭代法解方程2. MATLAB中迭代法的实现3. 迭代法解方程的优缺点4. 实例分析:使用MATLAB实现迭代法解方程5. 结语1. 什么是迭代法解方程迭代法是一种数值计算方法,用于逼近方程的根或解。

在实际应用中,经常会遇到无法通过代数方法得到准确解的方程,这时候就需要借助数值计算的方法来求得近似解。

迭代法通过不断逼近解的过程,逐步缩小误差,最终得到一个接近精确解的近似值。

2. MATLAB中迭代法的实现MATLAB作为一种强大的数值计算工具,提供了丰富的数值计算函数和工具箱,其中包括了多种迭代法的实现。

在MATLAB中,常用的迭代法有牛顿法、雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

这些迭代法都可以通过调用MATLAB内置函数或自行编写程序实现。

在编写迭代法程序时,需要注意选择合适的迭代停止条件、初始化的迭代值、迭代步数等参数。

3. 迭代法解方程的优缺点迭代法解方程具有以下优点:1) 适用范围广:迭代法可以解决各种类型的方程,包括线性方程组、非线性方程、微分方程等;2) 可以得到近似解:即使方程无法通过代数方法求解,迭代法也可以得到一个接近精确解的近似值;3) 数值稳定性:在一定条件下,迭代法能够保证解的稳定性和收敛性。

但迭代法也存在一些缺点:1) 收敛速度慢:一些迭代法可能需要较多的迭代次数才能得到满意的解;2) 初始值敏感:迭代法对初始值的选取比较敏感,选取不当可能导致迭代发散或者收敛到错误的解;3) 复杂度高:一些迭代法的实现比较复杂,需要具备较高的数值计算和编程能力。

4. 实例分析:使用MATLAB实现迭代法解方程接下来,我们将以求解非线性方程x^2-3x+2=0为例,使用MATLAB实现迭代法来求得方程的根。

我们选择使用简单而经典的二分法来进行迭代计算。

```MATLABfunction result = iteration_method()f = @(x) x^2 - 3*x + 2;a = 0;b = 2;tol = 1e-6;if f(a)*f(b) > 0error('The function has the same sign at the endpoints.'); endwhile (b - a) > tolc = (a + b) / 2;if f(c) == 0break;elseif f(a)*f(c) < 0b = c;elsea = c;endresult = c;endend```上述代码中,我们通过定义函数f(x)为方程的表达式,并选择区间[a, b]为[0, 2]作为初始迭代区间。

matlab插值法

matlab插值法

MATLAB插值法引言MATLAB是一种高级编程语言和环境,特别适用于数值计算和数据可视化。

插值法是一种在给定有限的数据点的情况下,通过构造插值函数来估计其他数据点的方法。

在MATLAB中,有多种插值方法可供选择,例如拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。

本文将详细介绍MATLAB中常用的插值方法及其应用。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法,通过构造一个满足给定数据点要求的多项式函数,来估计其他数据点的函数值。

其基本思想是通过一个多项式函数对已知数据点进行拟合,以实现函数值的估计。

以下是使用MATLAB实现拉格朗日插值法的步骤:1.确定待插值的数据点集合,假设有n个数据点。

2.构造拉格朗日插值多项式。

拉格朗日插值多项式的表达式为:其中,为拉格朗日基函数,其表达式为:3.利用构造的拉格朗日插值多项式求解其他点的函数值。

二、牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法,通过构造一个n次多项式函数来拟合已知数据点,并利用差商的性质来求解其他点的函数值。

使用MATLAB实现牛顿插值法的步骤如下:1.确定待插值的数据点集合,假设有n个数据点。

2.计算差商表。

差商表的计算公式为:3.构造牛顿插值多项式。

牛顿插值多项式的表达式为:4.利用构造的牛顿插值多项式求解其他点的函数值。

三、样条插值法样条插值法是一种通过多段低次多项式来逼近原始数据,以实现光滑插值的方法。

它在相邻数据点处保持一定的连续性,并通过边界条件来确定插值函数的特性。

以下是使用MATLAB实现样条插值法的步骤:1.确定待插值的数据点集合,假设有n个数据点。

2.根据数据点的个数确定样条插值的次数。

一般情况下,插值多项式的次数小于或等于n-1。

3.利用边界条件构造样条插值函数。

常用的边界条件有:自然边界、固定边界和周期边界。

4.利用MATLAB中的插值函数csape或interp1等进行样条插值。

5.利用样条插值函数求解其他点的函数值。

非线性方程(组):一维非线性方程(二)插值迭代方法[MATLAB]

非线性方程(组):一维非线性方程(二)插值迭代方法[MATLAB]

⾮线性⽅程(组):⼀维⾮线性⽅程(⼆)插值迭代⽅法[MATLAB] ⼀般⽽⾔,⽅程没有能够普遍求解的silver bullet,但是有⼏类⽅程的求解⽅法已经⾮常清晰确凿了,⽐如线性⽅程、⼆次⽅程或⼀次分式。

⼀次⽅程可以直接通过四则运算反解出答案,⼆次⽅程的求根公式也给出了只需要四则运算和开根号的符号表达式。

⽽⼀次分式的分⼦即为⼀次函数。

更多的⽅程并没有普适的符号表达式,但通过⽤便于求零点的函数模仿、代替之也可以估计零点的位置。

插值⽅法可以实现这⼀思路。

插值迭代⽅法包括割线法、⼆次插值法等多项式插值⽅法,反插法以及线性分式插值法等等,其核⼼是⽤⼏个点及其函数值信息,通过插值产⽣⼀条容易计算零点的函数图线,然后⽤插值函数的零点来估计原函数的零点,不断迭代以达到⾜够的精度。

每个算法的⼤致思路均相同,不再分别阐述具体原理。

1. 割线法(Secant Method) ⽤⼀次函数模拟原函数,⽤该⼀次函数的零点作为原函数零点的下⼀个估计。

起始需要两个点。

迭代式:$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$$ 迭代式和⽜顿法的迭代式类似。

实际上,割线法正是⽤两点的割线斜率代替了⽜顿法中使⽤的切线斜率(即导数):$f'(x_k)\approx [f(x_k)-f(x_{k-1})]/(x_k-x_{k-1})$ .function [ zeropt, iteration ] = SecantMethod( func, start0, start1, prec )% 割线法求零点,函数句柄func,两个起点start0,start1,绝对精度prec% 返回:零点zeropt,迭代步数iterationprev = start0;current = start1;next = current - func(current)*(current - prev)/(func(current) - func(prev));iteration = 0;while abs(next - current) > prec && iteration < 500prev = current;current = next;next = current - func(current)*(current - prev)/(func(current) - func(prev));iteration = iteration + 1;endif iteration >= 500error('Method fails to converge');endzeropt = next;end 进⾏试验:% ⽤⼆次函数x^2-x-2func = @(x)x^2-x-2;[zero, iter] = SecantMethod(func, 6, 10, 0.0001)% 输出zero = 2.0000, iter = 7% 输⼊[zero, iter] = SecantMethod(func, -3, -9, 0.0001)% 输出zero = -1.0000, iter = 6 【迭代步复杂度】两次函数值求值+固定次数的四则运算(5)。

matlab newton插值法

matlab newton插值法

matlab newton插值法
在MATLAB 中实现Newton 插值法,您可以使用内置的polyfit和polyval函数。

下面是一个简单的例子,它展示了如何使用Newton 插值法在MATLAB 中拟合数据。

首先,我们需要一些数据来进行插值。

假设我们有一些x 和y 的数据点:
matlab
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [1, 4, 9, 16, 25];
这些数据点表示一个函数y = x^2 的取值。

然后,我们可以使用polyfit函数来找到最佳拟合的多项式。

polyfit函数返回一个数组,该数组表示多项式的系数,从最高次幂到最低次幂。

例如,对于二次多项式,它会返回一个包含三个系数的数组:a2, a1 和a0。

matlab
p = polyfit(x, y, 2); % 对于二次多项式,我们使用2作为第三个参数
现在,p包含多项式的系数。

我们可以使用polyval函数来评估多项式在给定x 值
处的y 值:
matlab
y_fit = polyval(p, x);
最后,我们可以绘制原始数据和拟合曲线:
matlab
plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-');
legend('Data', 'Fitted curve');
以上就是如何在MATLAB 中使用Newton 插值法进行数据拟合的简单示例。

注意,对于非线性函数,您可能需要使用更高阶的多项式来获得更好的拟合效果。

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数值分析作业
姓名王建忠
学号132080202006
学院能源与动力工程
专业机械电子工程
2013年12月16日
1.用MATLAB编程实现langrage插值多项式:
syms x
x0=[-2,-1,0,1];
y0=[3,1,1,6];
n=length(x0);
for i=1:n
a=1;
for j=1:n
if j~=i
a=expand(a*(x-x0(j)));
end
end
b=1;
for k=1:n
if k~=i
b=b*(x0(i)-x0(k));
end
end
A(i)=expand(a/b);
end
L=0;
for p=1:n
L=L+y0(p)*A(p);
end
L
>> Language
L =x^3/2 + (5*x^2)/2 + 2*x + 1
2.牛顿插值多项式程序
function [p2,z]=newTon(x,y,t)
%输入参数中x,y为元素个数相等的向量,t为待估计的点,可以为数字或向量。

%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式,z为利用多项式所得的t的函数值。

n=length(x);
chaS(1)=y(1);
for i=2:n
x1=x;y1=y;
x1(i+1:n)=[];
y1(i+1:n)=[];
n1=length(x1);
s1=0;
for j=1:n1
t1=1;
for k=1:n1
if k==j
continue;
else
t1=t1*(x1(j)-x1(k));
end
end
s1=s1+y1(j)/t1;
end
chaS(i)=s1;
end
b(1,:)=[zeros(1,n-1) chaS(1)];
cl=cell(1,n-1);
for i=2:n
u1=1;
for j=1:i-1
u1=conv(u1,[1 -x(j)]);
cl{i-1}=u1;
end
cl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};
b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];
end
p2=b(1,:);
for j=2:n
p2=p2+b(j,:);
end
if length(t)==1
rm=0;
for i=1:n
rm=rm+p2(i)*t^(n-i);
end
z=rm;
else
k1=length(t);
rm=zeros(1,k1);
for j=1:k1
for i=1:n
rm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);
end
z=rm;
end
end
x=[-1 1 2 5];
y=[-7 7 -4 35];
t=1;
[u,v]=newTon(x,y,t)
>> [u,v]=newton(x,y,t)
u =2 -10 5 10
v=7
则所求得的牛顿多项式为:2*x^3-10x^2+ 5*x +10
3.Matlab程序三次样条插值函数
clear
clc
x=[1 2 3 4 6]
y=[0 0.693147 1.09861 1.38629 1.79176]
n=length(x);
for i=1:n-1
h(i)=x(i+1)-x(i);
end
for i=1:n-2
k(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));
u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));
end
for i=1:n-2
gl(i)=3*(u(i)*(y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)+k(i)*(y(i+1)-y(i))/h(i)); end
g0=3*(y(2)-y(1))/h(1);
g00=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1);
g=[g0 gl g00];
g=transpose(g)
k1=[k 1];
u1=[1 u];
Q=2*eye(5)+diag(u1,1)+diag(k1,-1)
m=transpose(Q\g)
syms X;
for i=1:n-1
p1(i)=(1+2*(X-x(i))/h(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*y(i);
p2(i)=(1-2*(X-x(i+1))/h(i))*((X-x(i))/h(i))^2*y(i+1);
p3(i)=(X-x(i))*((X-x(i+1))/h(i))^2*m(i);
p4(i)=(X-x(i+1))*((X-x(i))/h(i))^2*m(i+1);
p(i)=p1(i)+p2(i)+p3(i)+p4(i);
p(i)=simple(p(i));
end
s1=p(1)
s2=p(2)
s3=p(3)
s4=p(4)
for k=1:4
for z=x(k):0.001:x(k+1)
q=eval(subs(p(k),'X','z'));
plot(z,q,'b')
hold on
end
end
grid on
legend('eval')
title('sysm')
xlabel('x')
ylabel('p')
x =
1 2 3 4 6
y =
0 0.6931 1.0986 1.3863 1.7918
g = 2.0794
1.6479
1.0397
0.7781
0.6082
Q = 2.0000 1.0000 0 0 0
0.5000 2.0000 0.5000 0 0
0 0.5000 2.0000 0.5000 0
0 0 0.6667 2.0000 0.3333
0 0 0 1.0000 2.0000
m = 0.7629 0.5537 0.3181 0.2535 0.1774
4.牛顿迭代法求多项式根
syms x
f=x-cos(x);
df=diff(f,x);
eps=1e-6;
x0=1;
cnt=0;
MAXCNT=20; %最大循环次数
while cnt<MAXCNT %防止无限循环
x1=x0-subs(f,x,x0)/subs(df,x,x0); %去掉这个分号,可以看到迭代过程.
if (abs(x1-x0)<eps)
break;
end
x0=x1;
cnt=cnt+1;
end
if cnt==MAXCNT
disp '不收敛'
else
vpa(x1,8)
end
>> Untitled
ans =
0.73908513。

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