直角三角形知识点+经典例题

第二讲 直角三角形

【要点梳理】 要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为

c ，那么222a b c +=.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，

这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.

（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，

以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

③22

1

21n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2

2

22,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2

2

2

2

,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

要点三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a b c ，，，满足2

2

2

a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如c ）.

（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若

222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.

要点诠释：

当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.

要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.

要点六、直角三角形全等的判定（HL ）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：

（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小

就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，

首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两

个三角形前加上“Rt” 【典型例题】 类型一、勾股定理

例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ．

【思路点拨】利用勾股定理2

2

2

a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】

解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，

所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，

所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】

解：（1）∵∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，

∴2222325a c b =-=-=； （2）设3a k =，5c k =．

∵∠C ＝90°，b ＝32， ∴222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8．

∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．

例2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？ 【答案与解析】

解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．

则在Rt △BCD 中，222BD DC BC =+， 所以2222161220BD DC BC =+=+=(cm )． 答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．

【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．

【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？ 【答案】

解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，

∴ 22222512169AB BC AC =+=+=． ∴ 16913AB ==(m )． ∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )． ∴ 旗杆折断前的高度为18m ． 类型二、勾股定理的逆定理

例3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．

（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25； （2）a ＝43

，b ＝1，c ＝34

；

（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；