微积分极限极其运算法则

x0 x
0
x0 x
x x

2
(3)将x换成 ( x), 则有 sin[ ( x)] 1 ( ( x) 0), (x)
如 lim sin(1 x) 1. x1 1 x
例11、求下列极限。
tan x (1) lim ;
x0 x
1 cos x
(3) lim x0
定义1：若 lim x x0
f (x)
0,则称f ( x)为x
x0时 的 无 穷 小.
定义2：M 0, 0,当0 x x0 时, f ( x) M则称
f ( x)为x
x0时
的
无
穷
大, 记
作
lim
x x0
f (x) .
定理1：（1）有限个无穷小之和是无穷小； （2）有限个无穷小之积是无穷小；
1, 证明:
f ( x0 )在U ( x0 )内是f ( x)的最大值.
定理4：(1)若
lim
n
xn

a,则它的任一子列
{
xnk
}的
极
限lim k
xnk
a;
(2)若 lim f ( x) A,则对于f ( x)的定 x x0
义域的点列{ xn },若xn x0(n ),
x
3 x3 a
(2) lim
.
xa 3 x a
4 极限存在准则与两个重要极限
定理1：(1)若 当n N0时, 有yn xn zn , 且
lim
n
yn

lim
n
zn

a, 则 lim n
xn

a.

(2)若当x U ( x0 )时, 有g( x) f ( x) h( x),且
(3) lim Cf ( x) CA; x x0
f (x) A
(4) lim
(B 0);
xx0 g( x) B
结论1：
lim
x x0
an xn bm x m
an1 x n1 a0 bm1 x m1 b0

an x0n bm x0m

x x0
u u0
相当于在极限里采取了换元u ( x).
(2)若 lim f ( x) A 0, lim g( x) B,则
x x0
x x0
lim f ( x)g( x) AB .(幂指函数极限法则)
x x0
例9 求下列极限。
1 x 1 x
(1) lim
;
x0
lim g( x) lim h( x) A,则 lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
例10、求下列极限。
1
1
1
(1) lim(


);
n n2 1 n2 2
n2 n
(2) lim n n. n
解题关键：适当放缩，使较小和较大 数列的极限存在且相等。
(13) lim(cos x)cot2 x x0
1
(10) lim(1 2n 3n )n n
1 cos 2x
(12) lim
x0
x
ln(sin2 x e x ) x
(14)lim x0
ln( x 2
e2x) 2x
x0
x
例6、求 lim 1 sin x. x x
arctan x
lim
?
x
x
定理3：设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
x x0
x x0
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B; x x0
(2) lim f ( x)g( x) AB; x x0
1
结论：记住lim n n 1, 并可推广到lim x x 1.
n
x
定理2：单调有界数列必有极限。
第一个重要极限
lim sin x 1 x0 x
(1)当x (0, )时, 有 sin x x tan x;
2
(2)lim sin x 是 0 型极限才有lim sin x 1,而 lim sin x 2 ;
x2
;
arcsin x
(2) lim
;
x0
x
sin xm
(4) lim x0
sin xn
.
sin x tan x
(1) lim x0
sin3 x
?
11
(2)lim x sin sin x ?
x0
xx
11
(3) lim x sin sin x ?
x
xx
第二个重要极限
3x2 2x 1
(1) lim x1
x2 3x 2
;
x3 8
(2)
lim
x2
x2

4
x

12
;
1
2
(3) lim( x1
x
1

x2
). 1
2x3 3x 4
(1)
lim
x
3x3

2x2

x
; 1
x2 x 2
(2)
lim
x
2x3

x2

x

; 1
2x3 3x2 x 1
an
1
x n1 0


a0
bm1 x0m1 b0
结论2：
lim
x
an xn bm x m

an1 xn1 bm1 x m1
a0 b0
an

bm


0

mn mn mn
例7、求下列极限。
例8、求下列极限。
x0
x1
1 (3) f ( x) sgn x 0
1
x0 x0 x0
lim f ( x).
x0
2 函数极限之性质
定理1：(1)若
lim
n
xn
存
在,
则
它
是
唯
一
的;
(2)若 lim f ( x)存在,则它是唯一的. x x0
定理2：(1)若
lim
n
xn存 在,则{ xn }有 界,即M
(3) lim x
x2 x 2
.
定理4 (复合函数的极限运算法则）：

设 lim uu0
f (u)
A, lim ( x) x x0
u0 , 且x U ( x0 ),
u (x)
u0
,
则
lim
x x0
f [( x)]
lim
uu0
f (u)
A.
(1) y f (u), u ( x), 则 lim f [( x)] lim f (u),
ln(1 x)
(2) lim
x0
x
(4) lim n[lnn ln(n 2)] n
tan x sin x
(6) lim x0
x3
cos x cos 3x
(8) lim x0
x2
1
(9) lim (3x 9x ) x x 1 cos 2x
(11) lim x0 x sin x
lim(1
1
x) x
e
或
lim(1
1 )x
e
x0
x
x
(1)第二个重要极限属于1 型, 方法为固定的机械变形;
1
(2)它的形式特点:[1 ( x)](x) e (( x) 0).
例12、求下列极限。
(1) lim(1 3 )x;
x
x
2
(2) lim x1x ; x1
（3）有界函数与无穷小之积是无穷小；
（4）常数与无穷小之积是无穷小。
定理2： (1)若 lim f ( x) 0( f ( x) 0), 则 lim 1 ;
x x0
xx0 f ( x)
(2)若 lim f ( x) ,则 lim 1 0.
x x0
xx0 f ( x)
例5、求 lim x sin 1 .
则f ( xn ) A(n ).
结论：
(1)若{
xn
}的
某
个
子
列
极
限
不
存
在, 则
lim
n
xn不
存
在;
(2)若{
xn
}的
两
个
子
列
极
限
存
在
但不
相
等,
则limnFra bibliotekxn不
存
在.
例3、xn

(1)n , 证
:
lim
n
xn 不 存 在.
例4、证 : limsin 1 不存在.
x0
x
3 极限的运算法则
第一讲 极限及其运算法则
1 极限与单侧极限
定理：lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x x0
x x0
x x0
例1、 求下列函数极限。
(1) f ( x) x lim f ( x); (2) f ( x) [x] lim f ( x);

N*,
当n N时, xn 0(或xn 0);

(2)若 lim x x0
f (x)
A且A
0(或A
0),则U( x0 ),

当x U ( x0 )时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
例2、若 lim[ f ( x) x x0
f ( x0 )]

0,
n N * , 有 xn M;


(2)若 lim x x0
f
( x)存 在,则U( x0 ,
),使f
( x)在 U( x0 ,
)有 界,

即x U( x0 , ),M 0, 使 f ( x) M .
定理3：(1)若 lim n
xn

a且a

0(或a

0),则N
(3) lim( 2x 1)3x;
ex 1
(4) lim
.
x 2x 1
x0 x
练习 题
求下列极限：
(1) lim(1

x
)
1 x
x0 1 x
2
(3) lim[1 ln(1 x)]x x0
1 x
(5)
lim
x1
cot

x
2
(7)lim sin4x x0 x 1 1