中考专题复习最短路径问题

B C

D A

L

图(3)

C

中考专题复习——路径最短问题

一、具体内容包括：

蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；

二、原理：

两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：

例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。

四、练习题（巩固提高）

（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。

4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN

＋MN 的最小值

第2题

张村

李庄

A

B

B

第1题

第3题

图(2)

为。

第4题第5题第6题第7题

5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上

的一个动点，则PE+PB的最小值为。

6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边

上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。

7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，

点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，

交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。

9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且

AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，

交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。

11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点

D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），

当n = 时，AC + BC的值最小．

第11题第14题第15题

13、△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，

PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．

14、如图，菱形ABCD中，AB=2, ∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC

上的动点，则PE+PF的最小值为___________.

15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一

座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．

⌒⌒⌒

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

（三）16、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。试画出图形，并说明理由。

17、如图，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：

（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A ′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5，3）、C （－2，5）关于直线l 的对称点B ′、C ′的位置，并写出他们的坐标：B ′ 、C ′ ；

归纳与发现：

（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为 ； 运用与拓广：

（3）已知两点D （1，－3）、E （－1，－4），试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．

18、几何模型：

条件：如图，A 、B 是直线L 同旁的两个定点．问题：在直线L 上确定一点P ，使

PA+PB 的值最小．

方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

19、问题探究

（1）如图①，四边形ABCD 是正方形， 10AB cm =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

（2）如图②，若四边形ABCD 是菱形， 10AB cm =，45ABC ∠=°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC PE +的最小值；

O A

B P R Q 图3 A B E

C B 图1

O A

B C

图2

P A B A '

P l