立体几何常见证明方法

立体几何方法归纳小结

一、线线平行的证明方法

1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C 与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。

，且AB、CD不共线，5、由向量共线定理，若AB xCD

则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。

二、线面平行的证明方法

1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b 与平面外的直线a平行，则a//A 。(用相似三角形或平行四边形)

3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。

三、面面平行的证明方法

1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

5、向量法，证明两平面的法向量共线。

四、两直线垂直的证明方法

1、根据定义,证明两直线所成的角为90°

2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.

3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.

4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).

5、向量法.

五、线面垂直的证明方法

1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.

2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.

3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.

4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.

5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.

六、面面垂直的证明方法

1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。

3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。

4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零）。

七、两异面直线所成角的求法

1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点）然后在三角形中求角。

3、cosθ=cosθ1cosθ2

4、向量法.

八、直线与平面所成角的求法

1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、转化为距离(sinθ=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。（注意为正弦）

注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范围。

九、二面角的求法

1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。

2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个半平面内的射影多边形，然后由公式cosθ=s'/s（其中θ为二面角的平面角，s'为射影多边形的面积，s为多边形的面积）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。（一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角,否则要判断指向，同内同外为补角）

5. 公式法(异面直线上点距离公式和三类角公式)

十、点到平面的距离的求法

1、根据定义，直接求垂线段的长度。

2、向量法，利用公式d=|PA n|

n|

|

⋅

（其中PA为平面的一条斜

线，向量n为平面的一个法向量。

3、等体积法，主要用在四面体（三棱锥）中，根据四面体的体积等于1/3底面积×高，选取不同的底面积，求出其中一条高长。

十一、平面图形翻折问题的处理方法

1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。

2、有关翻折问题的计算，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要注意转变为平面图形求两点间的距离来计算。

十二、要注意的问题

1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。(向量法可省略证角，但必须交代如何建系，右手系)。

2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对角线三等分。

3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角(课堂笔记，只需会推导方法，不需强记公式)

4、适当时候，坐标法不方便时可以考虑基向量法，求向量模易出错：2

a a

=。

5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。