全等三角形经典题型50题(含答案)

已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD
已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12
CD AB
已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC
1. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C
2. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
A
D
B
C
C
D
B A
B A C
D
F
2 1 E
6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD
上。

求证：BC=AB+DC。

.
7.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
8已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
D
C
B
A
F
E
A
B C
D
9．已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE
10．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 12．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
13．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
F A E
D C B
O
E
D C B A
24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ． 证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F ∵BE ⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF ≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

证明：∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF
∴△BEM ≌△CFM
F
E D
C
B
A M
F
E
C
B
A
F
E D
C
B
A
∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.
27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。

求证：BD ⊥AC 。

三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角ADB 和角CDB 相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD 垂直AC
28、（10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中AB=ACBD=DCAD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在
△BDF 与△FDC 中
BD=DC ∠BDF=∠FDCDF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=F C
29、（12分）如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

求证：AF=DE 。

因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE
30.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB
∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.
证：∵AB 平行CD （已知）∴∠B=∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴EM=FM （中点定义）在△BME 和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF （SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上
31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 证明：
∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE ≌⊿CDF （SAS ）
32.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

D
C
B
A F
D
C
B
A
F
E D C B
A
D
A
F
E
连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF 得AE=AF
33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.所以BC 等于DC ，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠6
34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．
因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE ，BC 平行EF 所以角A+角EDF ，角BCA=角F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等
35．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．
证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD
36、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF
37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？
654
32
1E D
C
B
A
A
C B D
E
F A
E
B F
D
C
B
A
E
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC ≌△DAE AD=AB=5
38．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

求证：MB=MC 证明∵AB=AC
∴△ABC 是等腰三角形∴∠B=∠C
又∵ME=MF ，△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：
已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD ，在四边形ADBC 中，连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。

即：在四边形ABCD 中，∠D=∠C ，∠A=∠B ，求证：AD=BC
因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C ，∠A=∠B ，所以 2(∠A+∠D)=360°， ∠A+∠D=180°，所以 AB//DC
40．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，
MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，
求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
C
M
F E B
C Ｄ Ｅ
（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE ．在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB ，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （AAS ），∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=DC+CE=BE+AD ；
（2）不成立，证明：在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ； 41．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF （1）证明;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角
BAF=90度所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以
三角形EAC 和三角形FAB 全等所以EC=BF 角ECA=角F （2）(2)延长FB 与EC 的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF 因为角CAF=90度所以EC 垂直BF
42．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

证明：（1）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC ∴AM=AN
（2）
∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM ⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 连接BF 、CE ，
证明△ABF 全等于△DEC （SAS ），
然后通过四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC 平行于EF 44．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由
在AB 上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBNBE 为公共边, 所以三角形EBN 全等三角形EBD
所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD
F B
C A M N
E 1
23
4 A E B M C F
45、（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．
证明：∵AD 是中线∴BD=CD ∵DF=DE ，
∠BDE=∠CDF ∴△BDE ≌△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF
46、(10分)已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥．
证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，DE=BF ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，∴∠C=∠A ，∴AB ∥CD ．
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
【待定】
48、 (10分)如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.
结论：CE>DE 。

当∠AEB 越小，则DE 越小。

证明：
过D 作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB 由已知条件
知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且△DFB 为等腰三角形。

RT △BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB
中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT △AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF <45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE
49、 (10分)如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE. 先证明△ABC ≌△BDC 的出角ABC=角DCB 在证明△ABE ≌△DCE 得出AE=DE
A C E D
B A D
E
C B
F A B E
C
D
.
342
1D
C B A
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=
∠DCG=45°∵∠ACB=90°
AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥A
D∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵ AC=CB
∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE A B
C
D
E
F
图9



















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