换面法的概念与投影交换教案

换面法
课题：1、换面法的概念
2、点的投影变换
3、直线的投影变换
4、平面的投影变换
5、换面法投影变换应用举例
课堂类型：讲授
教学目的：1、讲解换面法的投影变换规律
2、讲解换面法的四个基本作图方法
教学要求：1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律
2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践
教学重点：换面法的四个基本作图方法
教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图）
教具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线”；
“将一般位置直线变换成投影面垂直线”；
“将一般位置平面变换成投影面垂直面”；
“将一般位置平面变换成投影面平行面”。

教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。

教学过程：
一、复习旧课
结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。

二、引入新课题
在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。

通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形、距离、夹角等。

换面法就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，以达到简化解题的目的。

三、教学内容
（一）换面法的概念
1、概念
空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的
投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，
这种方法称为变换投影面法，简称换面法。

2、举例
如图2－49所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体
系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于
三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向
V1面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平
面的实形。

图2－49 换面法的原理
（二）点的投影变换
点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。

1、新投影面的选择
在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。

并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。

因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。

（2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。

2、点的一次换面
根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。

变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。

（1）变换V面，即V／H→V1／H
如图2－50中a、a′为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。

V1与H的交线X1为新的投影轴。

由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′，而水平投影仍为a。

（a）（b）
图2－50 变换V面
边作图演示边讲解作图步骤。

（2）变换H面，即V／H→V／H1
从图2－51中看出，用H1代替H组成新投影面体系V／H1，由于V面不变，所以点到V面的距离不变。

即a1a x1= aa x= y坐标。

（a）（b）
图2－51 变换H面
边作图演示边讲解作图步骤。

3、点的二次换面
点的二次变换的原理和方法与第一次变换基本相同，只是将作图过程重复一次，但要注意新、旧体系中坐标的量取，其作图方法和步骤如图2－52所示：
（a）（b）
图2－52 点的
二次变换
注意：新投
影面的设置必
须符合前述两
个原则，而且必
须交替变换，若第一次用V1面代替V面，组成V1／H新体系，第二次变换则应用H2面代替H面组成V1／H2体系，可如此交替多次变换达到解题目的。

（三）直线的投影变换
直线是由两点决定的，因此当直线变换时，只要将直线上任意两点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。

在解决实际问题时，根据实际需要经常要将一般位置线变换成平行或垂直于新投影面的位置。

1、直线的一次换面
（1）将一般位置线变换为投影面平行线
当一般位置线变换为投影面平行线时，就可以求出线段的实长和对投影面的倾角。

举例：如图2－53所
示，AB为一般位置线，如
要变换为正平线，则必须
变换V面，使新投影面V1
面平行AB，这样AB在V1
面上的投影a1′b1′将反映
AB的实长，a1′b1′与X1轴的夹角反映直线对H面的倾角α。

（a）（b）
图2－53 一般位置线变换为投影面平行线（求α角）
边作图演示边讲解作图步骤。

（2）将投影面平行线变换为投影面垂直线
举例：如图2－55所示，将正平线AB变换为垂直线。

根据投影面垂直线的投影特性，反映实长的投影必定为不变投影，只要变换水平投影面，即作新投影面H1面垂直AB，这样AB在H1面上的投影重影为一点。

（a）（b）
图2－55 正平线变换为投影面垂直线
边作图演示边讲解作图步骤。

在上例中，如果要求将水平线AB变换为垂直线，只要变换正投影面，即作新投影面V1面垂直AB，这样AB在V1面上的投影重影为一点，如图2－56所示。

边作图演示边讲解作图步骤。

（a）（b）
图2－56 水平线变换为投影面垂直线
2、直线的二次换面
直线的二次换面可以将一般位置线变换为投影面垂直线。

第一次将一般位置线变换为投影面平行线，第二次将投影面平行线变换为投影面垂直线。

举例：如图2－57所示，AB为一般位置线，如先变换V面，使V1面平行AB，则AB在V1／H 体系中为投影面平行线，再变换H面，作H2面垂直AB，则AB在V1／H2体系中为投影面垂直线。

（a）（b）
图2－57 一般位置线
变换为投影面垂直线
边作图演示边
讲解作图步骤。

（四）平面的投影变
换
平面的投影变换，就是将决定平面的一组几何要素的投影加以变换，从而求得平面的新投影。

根据具体要求，可以将平面变换成平行或垂直于新投影面的位置。

1、平面的一次换面
（1）将一般位置面变换为投影面垂直面
当一般位置面变换为投影面垂直面时，就可以求出平面对投影面的倾角。

举例：如图2－58所示，△ABC为一般位置面，如要变换为正垂面，则必须取新投影面V1代替V面，V1面既垂直于△ABC，又垂直于H面，为此可在三角形上先作一水平线，然后作V1面与该水平线垂直，则它也一定垂直H面。

（a）（b）
图2－58 一般位置平面变换为投影面垂直面（求α角）
边作图演示边讲解作图步骤。

在上例中，如果要求△ABC 对V面的倾角β，可在此
三角形平面上先作一正平线AE，然后作H1面垂直AE，则△
ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴的夹角反映△
ABC对V面的倾角β，如图2－59所示。

边作图演示边讲
解作图步骤。

图2－59 一般位置平面求β角（2）将投影面垂直面变换为投影面平行面
举例：如图2－60所示为铅垂面△ABC，要求变换为投影面平行面。

根据投影面平行面的投影特性，重影为一直线的投影必定为不变投影，因此可以变换V面，使新投影面V1平行△ABC，这样△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′反映实形。

（a）（b）
图2－60 垂直面变换为平行面
边作图演示边讲解作图步骤。

2、平面的二次换面
平面的二次换面可以将一般位置面变换为投影面平行面。

第一次将一般位置面变换为投影面垂直面，第二次将投影面垂直面变换为投影面平行面。

举例：如图2－61（a）所示为△ABC为一般位置面，为了求出它的实形，必须变换两次，先将△ABC变换为垂直面，再变换为平行面。

（a）（b）
图2－61 一般位置面变换为投影面垂直面
边作图演示边讲解作图步骤。

同理，也可以先变换H面，在此基础上再变换一次V面，如图2－61（b）所示，
△a2′b2′c2′为所求实形。

（五）换面法投影变换应用举例
1、讲解例题（例2－12）求C点到AB直线的距离。

如图2－62（a）所示。

作图方法与步骤如图2－62 (b)所示：
（a）（b）
图2－62 求点到直线的距离
2、讲解例题（例2－13）求D点到平面△ABC的距离。

如图2－63（a）所示。

作图方法与步骤如图2－63 (b)所示。

（a）（b）
图2－63 求点到平面的距离
3、讲解例题（例2－14）求交叉两直线AB、CD间的距离。

如图2－64（a）所示。

作图方法与步骤如图2－64 (b)所示。

（a）（b）
图2－64 求两交叉直线间的距离
4、讲解例题（例2－15）求两平面△ABC 、△ABD之间的夹角。

如图2－65（a）所示。

作图方法与步骤如图2－65(b)所示。

（a）（b）
图2－65 求两平面之间的夹角
四、小结
总结例题，归纳直线和平面投影变换的作图方法和步骤。

五、布置作业
习题集2－4（1）～（8）。