常微分方程讲义和作业

第四章 常微分方程与数学模型
微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。

一、什么是微分方程
例1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如
()dy
u x dx
=，其中()y f x =为未知函数，()u x 为已知函数。

满足上述方程的函数()y f x =称为微分方程的
解。

求下列微分方程满足所给条件的解： （1）
2(2)dy
x dx
=-，20x y ==； （2）2232d x dt t =，1
1t dx dt ==，11t x ==。

二、分离变量法
※例2：求微分方程y xy '=的通解。

解： 变形为：
dy xy dx =， 分离变量：1
dy xdx y
=（此时漏掉解0y =）， 两边同时积分：
1
dy xdx y =⎰⎰， 得：211ln 2
y x C =+， 2
2111122
x C x C y e
e e
+==，
从而221112
2
2x x C y e e
C e =±=，其中12C
C e =±，为任意非零常数，
但0y =亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：
212
x y Ce
=，C 为任意常数。

上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为：
两边同时积分：
1
dy xdx y =⎰⎰， 得：21ln ln 2
y x C =+， 从而 2
211ln 2
2
x
x C y e e Ce
==
这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。

例3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷
却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况）。

命()T t 表示在时刻t 物体的温度，c T 表示周围环境的温度（假定是常数），建立微分方程并求解，得出()T t 的变化规律。

(2)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30时测量体温为18℃，7:30时再测一次为16℃，室外温度为10℃（假定不变），人正常体温为37℃，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为0t ，则0()37T t =，时刻6:30计算时看成6.5）
例4：人口预测
记时刻t 的人口为()P t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()P t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()P t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0P ，假设人口增长的速度（即增长率）与t 时刻的人口数量()P t 成正比，利用下表中数据为20世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相符合吗？
解：设比例系数为μ（即增长率），则()P t 满足的微分方程为：
0,(0)dP
P P P dt
μ==. 解出 0
()t
P t Pe μ= ， 表明人口将按指数规律随时间无限增长(0μ>)．上式称为人口指数增长模型，也称为马尔
萨斯人口模型．
以1900年为初始时刻，0
(0)=1650P P =，得()1650t
P t e μ=， 以1910年数据估计μ，即10(10)16501750P e μ==，解11750
l n .0584
101650
μ=≈，
即增长率约为0.6%，增长模型为0.005884()1650t P t e =
若以1950年为初始时刻，为20世纪后50年建模，则0=2560P ，得()2560t
P t e μ=，
以1960年数据估计μ，即10(10)25603040P e μ==，解13040
l n 0.017185
102560
μ=≈，
即增长率约为1.7%，增长模型为0.017185()2560t P t e =
但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．
2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）
分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．
阻滞作用体现在对人口增长率μ的影响上，使得μ随着人口数量P 的增加而下降。

若将μ表示为P 的函数()P μ，对()P μ的一个最简单的假设是
()(1)P P K
μμ=-
K 为承载能力（指自然资源和环境长期能支持的最大种群数量）
，当P 较小时，()P μμ≈，即人口近似按指数增长，当P 增大时，增长率()P μ开始减小，当P K >时开
始负增长。

相应的微分方程为：
0(1),(0)dP P
P P P dt K
μ=-=. 称为人口阻滞增长模型，也称为Logistic 模型.
可用分离变量法解方程得
000
()=(1)
1(
1)t
t t K KP e P t K
K P e e P μμμ-=
+-+- . P 的增加是先快后慢.当t →∞时，P K →，拐点在2
K
P =
处.
上面的曲线称为Logistic 曲线，逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性.
除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.
作业：
1. 解微分方程：先求出通解，再解出满足初始条件的特解
(1) 2(1)x y xy '+=，(0)2y =；(2)
2
cos 1dy y x
dx y =
+，(0)1y =. 2. 细菌数量的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h 内由100增长为400，那
么，经过12h 后细菌总数是多少？
3. 从冰箱中取出一杯5℃的饮料，放到室温为20℃的房间里，25分钟后饮料温度升高到
10℃，则50分钟后饮料温度为多少，需要多长时间饮料温度升高到15℃？ 4. 设子弹以200m/s 的速度射入厚0.1m 的木板，受到的阻力大小与子弹的速度平方成正比，
如果子弹穿出木板时的速度为80m/s ，求子弹穿过木板的时间（在木板中子弹受力随时间变化，因而不是匀加速运动，不能用中学的知识求解）。