矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

目录

摘要....................................................................................................................... I 引言. (1)

1矩阵间的三种关系 (1)

1.1 矩阵的等价关系 (1)

1.2 矩阵的合同关系 (1)

1.3. 矩阵的相似关系 (2)

2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)

3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)

结束语 (6)

参考文献 (6)

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．

关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：

在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.

1矩阵间的三种关系

1.1 矩阵的等价关系

定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：

（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.

性质1

（1）反身性：即A A ≅.

（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅

（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅

定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和

Q （n 阶），使得000r m n

I PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.

1.2 矩阵的合同关系

定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵

p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.

(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =

性质2

（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.

（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.

（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.

因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.

定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.

定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：

22212

r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系

定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使

得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）

由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件

(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵

(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1

性质3

(1)反身性 T A E AE = ;

(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;

（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C

总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.

(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）

； (5）111

1212()()()P A A P P A P P A P ---=；

(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；

(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.

即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.

(8）相似的矩阵有相同的行列式；

因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===

(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；

设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1

B -与1A -相似.

若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.

下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理

定理4 相似矩阵的特征值相同.

推论3 相似矩阵有相同的迹.

2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系

（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须

具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系

定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．

证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得

111P AP B -=，此时若记1

1P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价

反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

等价，但是A 与B 并不相似，

即等价矩阵未必相似．

定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B

等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．

证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即1

11P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．

定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．

证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11T

P AP B =，

若记1T

P P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价