隐马尔可夫模型(HMM)简介

隐马尔可夫模型(HMM)简介

（一）

阿黄是大家敬爱的警官，他性格开朗，身体强壮，是大家心目中健康的典范。

但是，近一个月来阿黄的身体状况出现异常：情绪失控的状况时有发生。有时候忍不住放声大笑，有时候有时候愁眉不展，有时候老泪纵横，有时候勃然大怒……

如此变化无常的情绪失控是由什么引起的呢？据警队同事勇男描述，由于复习考试寝室不熄灯与多媒体作业的困扰，阿黄近日出现了失眠等症状；与此同时，阿黄近日登陆一个叫做“xiaonei 网”的网站十分频繁。经医生进一步诊断，由于其他人也遇到同样的考试压力、作息不规律的情况而并未出现情绪失控；并且，其它登陆XIAONEI网的众多同学表现正常，因此可基本排除它们是情绪失控的原因。黄SIR的病情一度陷入僵局……

最近，阿黄的病情有了新的眉目：据一位对手相学与占卜术十分精通的小巫婆透露，阿黄曾经私下请她对自己的病情进行诊断。经过观察与分析终于有了重大发现：原来阿黄的病情正在被潜伏在他体内的三种侍神控制！他们是：修罗王、阿修罗、罗刹神。

据悉，这三种侍神是情绪积聚激化而形成的自然神灵，他们相克相生，是游离于个体意识之外的精神产物，可以对人的情绪起到支配作用。每一天，都会有一位侍神主宰阿黄的情绪。并且，不同的侍神会导致不同的情绪突然表现。然而，当前的科技水平无法帮助我们诊断，当前哪位侍神是主宰侍神；更糟的是，不同的侍神(3个)与不同的情绪（4种）并不存在显而易见的一一对应关系。

所以，乍看上去，阿黄的病情再次陷入僵局……

我们怎样才能把握阿黄情绪变化的规律？

我们怎样才能通过阿黄的情绪变化，推测他体内侍神的变化规律？

关键词：两类状态：

情绪状态（观察状态）：放声大笑，愁眉不展，老泪纵横，勃然大怒

侍神状态（隐状态）：修罗王，阿修罗，罗刹神

（二）

阿黄的病情引来了很多好心人的关心。这与阿黄真诚善良的品格不无关系。

关于侍神的特点，占卜师和很多好心人找来了许多珍贵资料。其中很多人经过一段时间的观察与记录后，在貌似毫无规律的数据背后，发现了侍神与情绪之间的内在规律！！他们在多次观测后，

建立在大量数据基础上，表现出宏观的内在联系！

由于这些好心人大部分是TONGJI大学的人，所以，这种规律被称作统计规律。这些人被称为统计学家（orz太土了）…………

具体的规律被概括为：

1. 每天，哪位侍神主宰与前一天侍神是谁有很大关系！即：前一个侍神会影响下一个侍神出现的概率多少。

三个侍神，两两之间的转化的几率的大小，我们总结在一个对应表中：

便于某些自称为数学家的人计算，我们习惯于写成矩阵形式：

2.每位侍神主宰时，所对应的情绪出现也有一定的规律：某种侍神出现时，情绪的出现有一定的规律性。比如，如果今天的侍神是修罗王，那么阿黄放声大笑的概率是不同侍神对应的不同情绪出现的几率，我们也归纳在一张表中：

便于计算，也可以写成矩阵的格式。

3．由于每天的侍神状态，情绪状态都取决于前一天，所以，只有知道最开始阿黄的情绪状态，即初始状态，才有可能来推导随后的日子里，阿黄体内的侍神和情绪的变化情况。

我们假定，阿黄体内的侍神首先出现的概率满足下面的表格

修罗王阿修罗罗刹神

〔0.63 0.17 0.20〕

至此，我们已经掌握了研究阿黄情绪变化规律的所有信息，它包括：

两类状态：侍神状态，情绪状态

三种关系：侍神的转换关系，侍神与情绪的关系，侍神的初始状态

便于计算，我们用数学语言来定义，便于今后计算。

修罗王阿修罗罗刹神

初始状态矩阵：Π＝〔0.64 0.17 0.20〕

状态转移矩阵：

A =

两态混合矩阵（描述侍神状态和情绪状态对应关系）

（三）

知道了关于阿黄的这些信息后，我们能做些什么呢？

一、估计“放声大笑”－“老泪纵横”－“勃然大怒”出现的概率：

“放声大笑”－“老泪纵横”－“勃然大怒”是一种非常危险的组合！如果某三天内阿黄出现了“放声大笑”－“老泪纵横”－“勃然大怒”的情绪变化，会引起严重精神损伤！！那么，这种情绪组合出现的概率是多少呢？

看起来比较麻烦，因为“放声大笑”可以对应三种侍神；其余两个也可以。三天，三种侍神，所有可能为3*3*3＝27种。

根据全概率公式：所以：

P（笑－泪－怒）＝P（笑－泪－怒 | 修罗王－修罗王－修罗王）＋P（笑－泪－怒 | 修罗王－修罗王－阿修罗）＋P（笑－泪－怒 | 修罗王－修罗王－罗刹神）＋………………＋P（笑－泪－怒 | 罗刹神－罗刹神－罗刹神）

一共27项相加，就可以把所有的可能计算出来！

可以想像，这样的计算是灾难性的。

当然，在计算机计算时，可以用递归法简化计算，降低复杂度。

①我们来把每一天，阿黄的情绪状态串起来，多天就形成一个状态序列。其中第t天的状态就是Ykt

②在计算序列中某一中间状态的概率时，用所有可能到达该状态的路径之和表示。

比如在t=2时间，状态为阿修罗的概率可以用下面的路径计算：

最后的观察状态的部分概率表示，这些状态所经过的所有可能路径的概率。比如：

③用αt ( j ) 表示在时间t时状态j的部分概率。计算方法如下：

αt ( j )= P( 观察情绪 | 侍神是j ) * P(在t时间所有到j的途径)

其中两项相乘中的第一项我们由两状态混合矩阵就可以得到：

而后一项，我们需要前一项的结果来确定。这也表现了HMM每个环节的状态是基于前一环节状态的特点。

④如果说，每一环节都依赖前一环节，那么最初的环节，也就是最初的状态怎么来计算呢？

很简单。初始状态Π就派上它的用场了。

比如：第一天阿黄放声大笑，那么：

a1（修罗王）＝0.63×0.6＝0.378

a1（阿修罗）＝0.17×0.25＝0.0425

a1（罗刹神）＝0.20×0.05＝0.01

归纳成数学式：

⑤我们说过，后一天侍神的情况是由前一天来决定的。现在，如果知道了at（j），那么，后面一天的情况at＋1（j）也应该知道了吧。怎么来算at＋1（j）呢？

太枯燥了～还是继续上面的例子吧

比如，t＝2时，情绪为老泪纵横，侍神为阿修罗，那么：

a2（阿修罗）＝P（阿修罗时老泪纵横的概率）×P(所有到达阿修罗的概率)

其中：

P(所有到达阿修罗的概率)

＝a1（修罗王）×P(修罗王→阿修罗)＋a1（阿修罗）×P（阿修罗→阿修罗）＋a1（罗刹神）×P(罗刹神→阿修罗)

＝0.378×0.25＋0.0425×0.125＋0.01×0.675

这样，知道a1，知道at和at＋1的关系，迭代啊迭代，迭迭代代无穷匮矣……最终会找到你需要的状态的概率的。

（而且，在编成时运用迭代可降低算法复杂度，不太懂，不多扯……）

最后，解答“放声大笑－老泪纵横－勃然大怒”的概率

每天的三个概率对应三位侍神

第一天：放声大笑

(0.63 × 0.6) = 0.37800002

(0.17 ×0.25) = 0.0425

(0.2 ×0.05) = 0.010000001

第二天：老泪纵横