2020年重庆市中考数学试卷-(含答案)

2020年重庆市中考数学试卷
一、选择题（共12个小题）. 1．下列各数中，最小的数是( ) A ．3-
B ．0
C ．1
D ．2
2．下列图形是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为( ) A ．32610⨯
B ．32.610⨯
C ．42.610⨯
D ．50.2610⨯
4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为( )
A ．10
B ．15
C ．18
D ．21
5．如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ，OB ，若20B ∠=︒，则AOB ∠的度数为(
)
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．70︒
6．下列计算中，正确的是( ) A 235=
B ．2222+=
C ．236=
D ．323=
7．解一元一次方程1
1(1)12
3
x x +=-时，去分母正确的是( )
A ．3(1)12x x +=-
B ．2(1)13x x +=-
C ．2(1)63x x +=-
D ．3(1)62x x +=-
8．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为( )
A ．5
B ．2
C ．4
D ．25
9．如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53)(︒≈ )
A ．76.9m
B ．82.1m
C ．94.8m
D ．112.6m
10．若关于x 的一元一次不等式组31
3,2x x x a
-⎧+⎪
⎨⎪⎩的解集为x a ；且关于y 的分式方程
34
122
y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．14- C ．28 D ．56-
11．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD ∆沿着AD 翻折，得到AED ∆，
DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =，3AF =，2BF =，ADG ∆的面积为2，
则点F 到BC 的距离为( )
A ．
55
B ．
25
5
C ．
45
5
D ．
43
3
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x
=>>的图象经过AE 上的两点A ，
F ，且AF EF =，ABE ∆的面积为18，则k 的值为( )
A ．6
B ．12
C ．18
D ．24
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．计算：0(1)|2|π-+-= ．
14．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
15．现有四张正面分别标有数字1-，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m ，n ．则点(,)P m n 在第二象限的概率为 ． 16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 的中点为O ，分别以点A ，C 为圆心，以AO 的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留)π
17．A，B两地相距240km，甲货车从A地以40/
km h的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程()
y km与甲货车出发时间()
x h之间的函数关系如图中的折线CD DE EF
--所示．其中点C的坐
标是(0,240)，点D的坐标是(2.4,0)，则点E的坐标是．
18．火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加
的营业额占总增加的营业额的2
5，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的7
20
，为使堂食、
外卖7月份的营业额之比为8:5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）2
()(2)
x y x x y
++-；
（2）
2
2
9 (1)
369
m m
m m m
-
-÷
+++
．
20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示： 年级 平均数 众数
中位数 8分及以上人数所占百分比
七年级 7.5 a
7
45% 八年级
7.5
8
b
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a ，b ，c 的值；
（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作
AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．
（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数； （2）求证：AE CF =．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261
x
y x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
x
⋯ 5- 4-
3- 2- 1- 0 1 2 3
4 5 ⋯
261x y x =
+ ⋯ 1513- 24
17
-
125
- 3- 0 3
125
2417 1513
⋯ （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴．
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-．
③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大． （3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2
6211
x
x x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2)．
23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数-- “差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：14524÷=⋯，14342÷=⋯，所以14是“差一数”； 19534÷=⋯，但19361÷=⋯，所以19不是“差一数”． （1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10
亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为 2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高
100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？
（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，
B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于B 品种深受市场的欢迎，
预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加
20
%9
a ．求a 的值． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中(3,4)A --，(0,1)B -． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB ∆面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点
E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不
存在，请说明理由．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ． （1）求证：2
2
CF AD =
； （2）如图2所示，在点D 运动的过程中，当2BD CD =时，分别延长CF ，BA ，相交于点G ，猜想AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA PB PC
++
++的值最小．当PA PB PC 的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
2020年重庆市中考数学试卷答案
1．A ． 2．A ． 3．C ． 4．B ． 5．D ． 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．B 13．3． 14．6． 15．
3
16
． 16．4π-． 17．(4,160)． 18．1:8． 19．解：（1）2()(2)x y x x y ++-，
22222x xy y x xy =+++-， 222x y =+；
（2）229
(1)369
m m m m m --÷+++， 2
3(3)()33(3)(3)m m m m m m m ++=-⨯
+++-， 33
33m m m +=⨯
+-， 3
3
m =
-． 20．解：（1）七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
7a ∴=，
由条形统计图可得，(78)27.5b =+÷=，
(523)20100%50%c =++÷⨯=，
即7a =，7.5b =，50%c =；
（2）八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；
（3）从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，
∴参加此次测试活动成绩合格的学生有(202)(202)
120010802020
-+-⨯
=+（人)，
即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人． 21．（1）解：AE BD ⊥，
90AEO ∴∠=︒， 50AOE ∠=︒， 40EAO ∴∠=︒，
CA 平分DAE ∠， 40DAC EAO ∴∠=∠=︒，
四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴， 40ACB DAC ∠=∠=︒，
（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥， 90AEO CFO ∴∠=∠=︒， AOE COF ∠=∠，
()AEO CFO AAS ∴∆≅∆， AE CF ∴=．
22．解：（1）补充完整下表为：
x
⋯
5- 4- 3- 2- 1-
0 1 2 3 4 5
⋯
261x
y x =
+ ⋯ 1513
- 24
17-
95
- 125-
3-
0 3 125 9
5 2417
1513
⋯ 画出函数的图象如图：
；
（2）根据函数图象：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴，说法错误；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-，说法正确；
③当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大，说法正确．
（3）由图象可知：不等式26211
x x x >-+的解集为1x <-或0.3 1.8-<． 23．解：（1）49594÷=⋯，但493161÷=⋯，所以49不是“差一数”；
745144÷=⋯，743242÷=⋯，所以74是“差一数”
． （2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，
其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，389．
故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，389．
24．解：（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；
根据题意得，10010 2.4()21600y x x y -=⎧⎨⨯+=⎩
， 解得：400500x y =⎧⎨=⎩
， 答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
（2）202.440010(1%) 2.4(1%)50010(12%)21600(1%)9
a a a a ⨯⨯+++⨯⨯+=+
， 解得：0.1a =，
答：a 的值为0.1．
25．解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得4931b c c -=-=⎧⎨
=-⎩，解得41b c =⎧⎨=-⎩， 故抛物线的表达式为：241y x x =+-；
（2）设直线AB 的表达式为：y kx t =+，则431k t t -=-+⎧⎨
=-⎩，解得11k t =⎧⎨=-⎩， 故直线AB 的表达式为：1y x =-，
过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点2(,41)P x x x +-，则(,1)H x x -，
PAB ∆面积221139()(141)(03)2222B A S PH x x x x x x x =
⨯⨯-=---+⨯+=--， 30
2-<，故S 有最大值，当32x =-时，S 的最大值为278
； （3）抛物线的表达式为：2241(2)5y x x x =+-=+-， 则平移后的抛物线表达式为：25y x =-， 联立上述两式并解得：14
x y =-⎧⎨=-⎩，故点(1,4)C --；
设点(2,)D m -、点(,)E s t ，而点B 、C 的坐标分别为(0,1)-、(1,4)--； ①当BC 为菱形的边时，
点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），
即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②， 当点D 在E 的下方时，则BE BC =，即2222(1)13s t ++=+③， 当点D 在E 的上方时，则BD BC =，即22222(1)13m ++=+④， 联立①③并解得：1s =-，2t =或4-（舍去4)-，故点(1,3)E -；。