第三章 变额年金
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1 (an 1| v n an 1| 1 v n ) i
1 (1 v n )(an 1| 1) i
n| an| a
16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
原年金已支付10次
1.089X
1.0810X
Y
1.0824X
……
价值方程 ( X = 54 ) 为： Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15) = 54(1.08)9· 15 由此可得：Y = 129.5
2
v
n 1
n (v n v n 1 v) = i
( Da) n
n an i
13
( Da)n|
n an| i
• 递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da)n| (1 i)n n an| i n(1 i)n sn| i
)n| = (1 + i)(Da)n| (Da
=
n an | d
)n| = (1 i) ( Da )n| ( Ds
n
n(1 i)n sn| d
14
• 例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直
至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一
n| 年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为 an| a
n1
1 v 1 v ) n ( m ) (1 i ) ( Ia) n ( m ) ( Ia i i
( Ia)
(m) n
i i
(m )
( Ia) n
关系：
( Ia)
(m) n
i
( Ia ) (m ) ni Nhomakorabea( Is)
( m) n
( m) ( Ia)n
) ( Is
• 现值：
10 1 1 （ 1 j） 1000 1000 10042.29 1.04 1.04 j / (1 j)
22
10 j a
例
• 年金的年增长率 r 与年实际利率 i 相等，即 j = 0. 请 计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？ • 解： 期初付 = n 期末付 = n/(1+i)
200
300
400
500
600
700
800
100 ( I a)8 j 100
8 j 8(1 j ) 8 a j
3148.8
(1 j )4 1 10%
35
每年支付m次的递减年金
( Da)
(m) n
a
( m) 1
n (n 1)v (n 2)v
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
18
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
1 • 令 (1 r )v 1 j
， 则：
1 1 PV初 1 1 j 1
24
第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250
100
100
100
100
100
100
第一次替换后的递增年金：25次付款
X
1.08X
1.082X
1.083X
1.0824X
由于利率i ＝0.08，与年金增长率相等，故上述递增年金 的现值为： PV = X · n/(1 + i) = 25X/1.08 1250 = 25X/1.08
• 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
( Ia ) | lim( Ia ) n | lim n
n
n | nv n a i
1 di
) | lim( Ia )n | lim ( Ia
n n
n | nv n a d
1 d2
• 上式两边乘以(1 + i)： (1 i)( Ia)n| 1 2v 3v2 nvn1
i ( Ia)n| (1 v v 2 v3 v n1 ) nv n
3
•
i ( Ia)n| (1 v v2 v3 v n1 ) nv n
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity)： 同一年的每次付款相同
现值：
(Ia)(nm) a1(m) (1 2v 3v2 nvn1 )
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)
( m) n
a (1 2v 3v nv )
( m) 1 2
(1 j ) m 1 i
33
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0 1
2
100
100
100
100
200
200
200
200
400 ( I a)
(4) 2|
400
i i
(4)
( I a) 2
34
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0 1 2
100
900 200
900 900
900 1000
900a10| 100( I a)10| = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 ( 元 )
9
2、递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate)：第一期末 支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
26
注：v = 1.08-1
回顾与展望（算数级数递增或递减）
( Ia)n n nv a i
1年 支付m次
n
( Da) n
n an i
1年 支付1次
连续支付， 离散变化
连续支付， 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)
• 如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下 述两种情况： – 同一年的每次付款相同（每年递增一次）： increasing mthly annuity – 同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一 次）：mthly increasing mthly annuity （略）
1
2
n
n-1
1
( I a)n| v n ( Da)n1|
15
( I a ) n | v ( D a ) n 1|
n
n| nvn a i
+v
n
(n 1) an1| i
1 (an 1| 1 nv n nv n v n v n an 1| ) i
其中
1 j 1
2
j
n 1
n j a
(1 r )(1 j ) (1 i ) 1 (1 r )v ir 1 j j 1 r
19
• 期末付复递增年金的现值：
PV末
PV初 1+i
n j a 1 i
sn n i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
现值
)n (1 i)( Ia) n ( Ia n nv n a d
sn n d
7
累积值
( I s )n = (1 + i)( Is)n
递增永续年金(increasing perpetuity)
其中
ir j 1 r
20
• 例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给 付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这 项年金在时刻零的现值。 • 解：年金的现金流如下：
21
• 现值： 1000
n j a 1 i
1000
10 j a 1.04
i r 0.04 0.05 0.009524 • 其中 j 1 r 1 0.05
• 在计算上述极限时，
lim nv n lim
n
n 0 n (1 i ) n
8
• 例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年
增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利
率为5%，这项年金的现值应该是多少？ • 解：年金分解如下：
1000
1100
1800
1900
900 100
变额年金
主要内容
• 递增年金（离散支付，离散递增）
• 递减年金（离散支付，离散递减）
• 复递增年金：按几何级数递增的年金 • 每年支付 m 次的递增年金（递减年金，略） • 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） • 连续支付、连续递增（或递减）的年金 • 一般形式的连续支付、连续变额现金流
n| nv n a
• 递增年金的现值：
( Ia)n
n nv a i
n
4
• 例：证明下列关系式成立：
n1 | (n 1)v n a i
an| nv n i
（1）
( Ia)n |
（2）
( Ia)n | an|
已知： ( Ia)n|
n| nvn a i
时期
递减年 金
0
1
n 1 1 1 …
2
n –1 1 1 1 …
3
n –2 1 1 1 …
…
… … … …
n –1
2 1 1
n
1 1
等 额 年 金
1 1
1 1
1
12
• 递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，
即：
( Da)n an an1 a1
1 v n 1 v n 1 1 v i i i
( m) n
31
• 每年支付 m 次的递增年金(mthly increasing mthly annuity)：同一年的每次付款递增
两种方法计算现值： （1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。 （2）建立新公式（略）
32
应用递增年金公式计算现值：
I
(m)
a
(m) n
1 2 Ia nm j , m
5
P P＋Q
例：写出下述年金的现值公式
P＋2Q …… P＋(n-2)Q P＋(n-1)Q
0
1
2
3
……
n-1
n
设A表示此年金的现值，则
A P an Q v (Ia)n1
6
( Ia)n|
n| nv n a i
• 根据现值求得其累积值为
( Is)n (1 i)n ( Ia) n (1 i) n n nv n a i
2
1、递增年金（increasing annuity）
• 期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支 付n元。按算术级数递增。 用 ( Ia ) n | 表示其现值：
•
( Ia ) n | v 2v 2 3v 3 nv n
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
23
Exercise
• A perpetuity-immediate pays 100 per year. • Immediately after the fifth payment, the perpetuity is exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. • Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. • The annual effective rate of interest is 8%. • Calculate Y.
1 (1 v n )(an 1| 1) i
n| an| a
16
3、复递增年金
• 含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 • 期初付复递增年金(compound increasing annuityimmediate) ：在第1年初支付1元，此后每年的支付金额按 的复利 r 增长，直到第 n 年初支付(1+r)n-1。注：r < 0 ，递 减。
X = 54
25
第二次替换为永续年金，每年末支付Y，价值为Y/0.08 原年金剩余10次
X
原年金已支付10次
1.089X
1.0810X
Y
1.0824X
……
价值方程 ( X = 54 ) 为： Y / 0.08 = 54 (1.0810v + 1.0811v2 + … + 1.0824v15) = 54(1.08)9· 15 由此可得：Y = 129.5
2
v
n 1
n (v n v n 1 v) = i
( Da) n
n an i
13
( Da)n|
n an| i
• 递减年金的其他公式：
( Ds)n| (1 i)n ( Da)n| (1 i)n n an| i n(1 i)n sn| i
)n| = (1 + i)(Da)n| (Da
=
n an | d
)n| = (1 i) ( Da )n| ( Ds
n
n(1 i)n sn| d
14
• 例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直
至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一
n| 年付款1元。证明该项年金的现值可以表示为 an| a
n1
1 v 1 v ) n ( m ) (1 i ) ( Ia) n ( m ) ( Ia i i
( Ia)
(m) n
i i
(m )
( Ia) n
关系：
( Ia)
(m) n
i
( Ia ) (m ) ni Nhomakorabea( Is)
( m) n
( m) ( Ia)n
) ( Is
• 现值：
10 1 1 （ 1 j） 1000 1000 10042.29 1.04 1.04 j / (1 j)
22
10 j a
例
• 年金的年增长率 r 与年实际利率 i 相等，即 j = 0. 请 计算期初付年金与期末付年金的现值分别是多少？ • 解： 期初付 = n 期末付 = n/(1+i)
200
300
400
500
600
700
800
100 ( I a)8 j 100
8 j 8(1 j ) 8 a j
3148.8
(1 j )4 1 10%
35
每年支付m次的递减年金
( Da)
(m) n
a
( m) 1
n (n 1)v (n 2)v
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
18
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
1 • 令 (1 r )v 1 j
， 则：
1 1 PV初 1 1 j 1
24
第一次替换时，永续年金的现值为100/0.08＝1250
100
100
100
100
100
100
第一次替换后的递增年金：25次付款
X
1.08X
1.082X
1.083X
1.0824X
由于利率i ＝0.08，与年金增长率相等，故上述递增年金 的现值为： PV = X · n/(1 + i) = 25X/1.08 1250 = 25X/1.08
• 当 n 时，还可以得到递增永续年金的现值为
( Ia ) | lim( Ia ) n | lim n
n
n | nv n a i
1 di
) | lim( Ia )n | lim ( Ia
n n
n | nv n a d
1 d2
• 上式两边乘以(1 + i)： (1 i)( Ia)n| 1 2v 3v2 nvn1
i ( Ia)n| (1 v v 2 v3 v n1 ) nv n
3
•
i ( Ia)n| (1 v v2 v3 v n1 ) nv n
28
每年支付 m 次的递增年金(increasing mthly annuity)： 同一年的每次付款相同
现值：
(Ia)(nm) a1(m) (1 2v 3v2 nvn1 )
29
每年支付m次的递增年金
(Ia)
( m) n
a (1 2v 3v nv )
( m) 1 2
(1 j ) m 1 i
33
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0 1
2
100
100
100
100
200
200
200
200
400 ( I a)
(4) 2|
400
i i
(4)
( I a) 2
34
例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：
0 1 2
100
900 200
900 900
900 1000
900a10| 100( I a)10| = 6949.56 + 3937.38= 1088.69 ( 元 )
9
2、递减年金（decreasing annuity）
期末付递减年金(decreasing annuity-immediate)：第一期末 支付 n 元，第二期末支付 n – 1元，…，第 n 期末支付1 元。按算术级数递减。
26
注：v = 1.08-1
回顾与展望（算数级数递增或递减）
( Ia)n n nv a i
1年 支付m次
n
( Da) n
n an i
1年 支付1次
连续支付， 离散变化
连续支付， 连续变化
27
4、每年支付m次的递增年金(increasing mthly annuity)
• 如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下 述两种情况： – 同一年的每次付款相同（每年递增一次）： increasing mthly annuity – 同一年的每次付款也是递增的（每次付款递增一 次）：mthly increasing mthly annuity （略）
1
2
n
n-1
1
( I a)n| v n ( Da)n1|
15
( I a ) n | v ( D a ) n 1|
n
n| nvn a i
+v
n
(n 1) an1| i
1 (an 1| 1 nv n nv n v n v n an 1| ) i
其中
1 j 1
2
j
n 1
n j a
(1 r )(1 j ) (1 i ) 1 (1 r )v ir 1 j j 1 r
19
• 期末付复递增年金的现值：
PV末
PV初 1+i
n j a 1 i
sn n i
期初付递增年金(increasing annuity-due)
现值
)n (1 i)( Ia) n ( Ia n nv n a d
sn n d
7
累积值
( I s )n = (1 + i)( Is)n
递增永续年金(increasing perpetuity)
其中
ir j 1 r
20
• 例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给 付金额按5％递增，假设年实际利率为4%，请计算这 项年金在时刻零的现值。 • 解：年金的现金流如下：
21
• 现值： 1000
n j a 1 i
1000
10 j a 1.04
i r 0.04 0.05 0.009524 • 其中 j 1 r 1 0.05
• 在计算上述极限时，
lim nv n lim
n
n 0 n (1 i ) n
8
• 例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年
增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利
率为5%，这项年金的现值应该是多少？ • 解：年金分解如下：
1000
1100
1800
1900
900 100
变额年金
主要内容
• 递增年金（离散支付，离散递增）
• 递减年金（离散支付，离散递减）
• 复递增年金：按几何级数递增的年金 • 每年支付 m 次的递增年金（递减年金，略） • 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） • 连续支付、连续递增（或递减）的年金 • 一般形式的连续支付、连续变额现金流
n| nv n a
• 递增年金的现值：
( Ia)n
n nv a i
n
4
• 例：证明下列关系式成立：
n1 | (n 1)v n a i
an| nv n i
（1）
( Ia)n |
（2）
( Ia)n | an|
已知： ( Ia)n|
n| nvn a i
时期
递减年 金
0
1
n 1 1 1 …
2
n –1 1 1 1 …
3
n –2 1 1 1 …
…
… … … …
n –1
2 1 1
n
1 1
等 额 年 金
1 1
1 1
1
12
• 递减年金的现值可以表示为上述等额年金的现值之和，
即：
( Da)n an an1 a1
1 v n 1 v n 1 1 v i i i
( m) n
31
• 每年支付 m 次的递增年金(mthly increasing mthly annuity)：同一年的每次付款递增
两种方法计算现值： （1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。 （2）建立新公式（略）
32
应用递增年金公式计算现值：
I
(m)
a
(m) n
1 2 Ia nm j , m
5
P P＋Q
例：写出下述年金的现值公式
P＋2Q …… P＋(n-2)Q P＋(n-1)Q
0
1
2
3
……
n-1
n
设A表示此年金的现值，则
A P an Q v (Ia)n1
6
( Ia)n|
n| nv n a i
• 根据现值求得其累积值为
( Is)n (1 i)n ( Ia) n (1 i) n n nv n a i
2
1、递增年金（increasing annuity）
• 期末付递增年金(increasing annuity-immediate)： 第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支 付n元。按算术级数递增。 用 ( Ia ) n | 表示其现值：
•
( Ia ) n | v 2v 2 3v 3 nv n
PV初 1 (1 r)v (1 r)2 v2 (1 r)n1 vn1
23
Exercise
• A perpetuity-immediate pays 100 per year. • Immediately after the fifth payment, the perpetuity is exchanged for a 25-year annuity-immediate that will pay X at the end of the first year. Each subsequent annual payment will be 8% greater than the preceding payment. • Immediately after the 10th payment of the 25-year annuity, the annuity will be exchanged for a perpetuity-immediate paying Y per year. • The annual effective rate of interest is 8%. • Calculate Y.