第七章 时间序列分析(计量经济学,潘省初)

第二节 平稳性的检验
平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方 法。前者使用自相关函数(Autocorrelation function)， 后者使用单位根(Unit roots)。单位根方法是目前最常 用的方法，因此本节中，我们仅介绍单位根方法。
一． 单位根
考察（7.8）式的一阶自回归过程，即
因此，检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为： H0：∣θ∣≥1 Ha：∣θ∣＜1
接受原假设H0表明Xt是非平稳序列，而拒绝原假 设（即接受备择假设Ha）则表明Xt是平稳序列。
单位根检验方法的由来
在Φ=1的情况下，即若原假设为真，则（7.11）就 是随机漫步过程（7.5），从上节得知，它是非平稳 的。因此，检验非平稳性就是检验 Φ=1 是否成立， 或者说，就是检验单位根是否存在。换句话说，单 位根是表示非平稳性的另一方式。这样一来，就将 对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，这就是 单位根检验方法的由来。
-3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86
-2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57
-0.37 -0.40 -0.42 -0.42 -0.43 -0.44
0.00 -0.03 -0.05 -0.06 -0.07 -0.07
第七章 时间序列分析
(Time Series Analysis)
第一节 时间序列分析的基本概念
经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的 变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在 估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的 变量的均值和方差是常数，不随时间而变。 然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间 序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪 回归”问题(‘spurious’ regression problem)。 为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统 估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量 的非平稳性 (non-stationarity) 的系统性检验和协整 (cointegration)。
二． Dickey-Fuller检验（DF检验）
迪奇（ Dickey ） 和福勒（ Fuller ）以蒙特卡罗模拟 为基础，编制了（7.14）中tδ统计量的临界值表，表中 所列已非传统的 t 统计值，他们称之为 η 统计值。这些 临界值如表 7.1 所示。后来该表由麦金农（ Mackinnon ） 通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。
600000 500000 400000 300000 200000 100000 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
» 7.1 Ä Í ³ ú ¸ Ë ¼ Ë È û Ï « Ñ ¹ Í · ö Ë È ¾ É § Ö Å ä Ê Õ È ë ¬ £ 1960¡ ª 1995Ä ê ¶ È Ê ý ½ Ý ¥ Î µ º ¹ £ © Ù Í ò à ¿ ª Ô £ ¨1970Ä ê ² º ä ª» Û £ ©
3、带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift)
Xt=μ+Xt－1+εt （7.7） 其中μ是一非0常数，εt为白燥声。 μ 之所以被称为“漂移项”，是因为（ 7.7 ）式的 一阶差分为 ΔXt = Xt－Xt-1 =μ+εt 这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于μ的符 号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序 列也是非平稳时间序列。
在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一些 术语和定义。
一． 平稳性（Stationarity）
1. 严格平稳性 (strict stationarity)
如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而 变，即对于任何n和k，X1, X2, … Xn的联合概率分布 与X1+k, X2+k, … Xn+k 的联合分布相同，则称该时间序 列是严格平稳的。 由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们 用随机变量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和协方差代替 之，即所谓的“弱平稳性”。
的特例，（7.9）称为q阶自回归过程 (AR(q))。 可以证明，如果特征方程 1－θ1L－θ2L2－θ3L3－……－θqLq = 0 （7.10） 的所有根的绝对值均大于1，则此过程（7.9）是平稳 的，否则为非平稳过程。
三． 单整的时间序列（Integrated series）
从（7.6）可知，随机漫步序列的一阶差分序列 ΔXt = Xt－Xt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原 非平稳序列Xt是“一阶单整的”，表示为I(1)。 与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分 (Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1) 才变为平稳序列，则原序列是“二 阶单整的”，表示为I(2)。 一般地，若一个非平稳序 列必须取d阶差分才变为平稳序列，则原序列是“d阶 单整的”(Integrated of order d)，表示为I(d)。 由定义不难看出，I(0)表示的是平稳序列，意味着该 序列无需差分即是平稳的。另一方面，如果一个序列 不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非 单整的”。
-1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95
-1.60 -1.61 -1.61 -1.62 -1.62 -1.62
0.92 0.91 0.90 0.89 0.89 0.89
1.33 1.31 1.29 1.29 1.28 1.28
1.71 1.66 1.64 1.63 1.62 1.62
误差修正模型
一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的关 系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态模 型的设定、估计和检验的一种新技术。
此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估 计，这是因为短期参数的估计可以通过协整方法使 用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型 (error correction model)。
这类检验可用t检验进行，检验统计量为：
ˆ 1 t S
Φ
或
t
ˆ
S

（7.14）
ˆ和 S 和 S 分别为参数估计值 其中， Φ 即

ˆ 的标准误差，
ˆ) S Se(
Φ
ˆ) S Se(

这里的问题是，（7.14）式计算的t值不服从t分布， 而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布。因而 不能使用t分布表，需要用另外的分布表。
百度文库
4、自回归过程
随机漫步过程（7.5）（ Xt = Xt－1+εt）是最简单的 非平稳过程。它是 Xt=θXt－1+εt （7.8）
的特例，（ 7.8 ）称为一阶自回归过程 (AR(1)) ，该 过程在－1＜θ＜1时是平稳的，其他情况下，则为非 平稳过程。
更一般地，（7.8）式又是
Xt=θ1Xt－1+θ2Xt－2+……+θqXt-q+εt （7.9）
Xt=θXt－1+εt
其中εt为白噪声，此过程可写成
（7.11）
Xt－θXt－1=εt 或（1－θL）Xt = εt （7.12）
其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后， 如Xt 的一期滞后可表示为L(Xt），即
L(Xt）= Xt－1
由上节所知，自回归过程Xt平稳的条件是其特征 方程的所有根的绝对值大于1。由于这里特征方程为 1－ΦL=0，该方程 仅有一个根L=1/θ ，因而平稳性 要求－1＜θ＜1。
t 1 t 1
t
t
t 2
这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条 件（7.2）不满足，因此，随机漫步时间序列是非平 稳时间序列。可是，若将（7.5）式 Xt = Xt－1+εt写 成一阶差分形式：
ΔXt=εt
（7.6)
这个一阶差分新变量ΔXt是平稳的，因为它就等 于白燥声εt，而后者是平稳时间序列。
2.16 2.08 2.03 2.01 2.00 2.00
有常数项 无时间项 (统计量τ μ )
25 50 100 250 500 ∞
有常数项 有时间项 (统计量τ τ )
-3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43
-3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12
为求Xt的方差，对（7.5）式进行一系列置换： Xt = Xt－1+εt
= Xt－2+εt-1+εt = Xt－3+εt-2+εt-1+εt
=……
= X0+ε1+ε2+……+εt = X0+∑εt 其中 X0 是 Xt 的初始值，可假定为任何常数或取初 值为0，则
Var ( X t ) Var ( X 0 t ) Var ( t )
表 7.1
样本容量
无常数项 无时间项 (统计量τ )
Dickey-Fuller τ 统计量临界值表
取更小值的概率 0.05 0.10 0.90
0.01
0.025
0.95
0.975
0.99
25 50 100 250 500 ∞
-2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58
-2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23
（7.4）
注：这里IID为Independently Identically Distributed（独立同分 布)的缩写。
2、随机漫步（Random walk）
随机漫步是一个简单随机过程，由下式确定： Xt = Xt－1+εt （7.5）
其中εt为白噪声。
Xt的均值： E(Xt）= E(Xt-1+εt）= E(Xt－1) + E(εt) = E(Xt－1) 这表明Xt的均值不随时间而变。
协整
协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计量 经济学领域最具革命性的进展。 简单地说，协整分析涉及的是一组变量，它们各自 都是不平稳的（含义是随时间的推移而上行或下行）， 但它们一起漂移。这种变量的共同漂移使得这些变量 之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研究经济 变量间的长期均衡关系。如果这些长时间内的线性关 系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的” 。
3. 平稳性和非平稳性
通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳性。 一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间 保持恒定，并且两个时期 t 和 t+k 之间的协方差仅依赖于 两时期之间的距离（间隔或滞后） k ，而与计算这些协 方差的实际时期t无关，则该时间序列是平稳的。
只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。 事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。例如，在图 7.1中，某国的私人消费（CP）和个人可支配收入（PDI） 这两个时间序列都有一种向上的趋势，几乎可以断定它 们不满足平稳性条件（7.1），因而是非平稳的。
2. 弱平稳性 (weak stationarity)
一个时间序列是“弱平稳的”，如果： （1）均值 E(Xt) =μ，t=1,2,…
（7.1）
（2 ）方差 Var(Xt) = E(Xt -μ)2 =ζ2，t =1,2,…（7.2） （3）协方差 Cov(Xt, Xt+k）= E [(Xt -μ)(Xt+k -μ)]＝ rk， t=1,2,…，k≠0 （7.3）
（7.11）式
Xt=θXt－1+εt
两端各减去Xt-1，我们得到
Xt－Xt－1= ΦXt－1－Xt－1+εt
即 ΔXt= δXt－1+εt （7.13）
其中Δ是差分运算符，δ=Φ－1。 假设 Φ为正（绝大多数经济时间序列确实如此）， 前面的假设 H0：∣φ ∣≥1 Ha：∣φ ∣＜1
可写成如下等价形式： H0：δ≥0 Ha：δ＜0 在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程 是非平稳的。 换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1 或δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性 的问题简化成在方程（7.11）的回归中，检验参数 Φ=1 是否成立或者在方程（7.13）的回归中，检验参 数δ=0是否成立。
CP PDI
二． 几种有用的时间序列模型
1、白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程，满 足: （1） E(εt) = 0 , 对所有t成立； （2） V ar(εt) = ζ2，对所有t成立； （3） Cov (εt, εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。 白噪声可用符号表示为： εt～IID(0, ζ2)