晶面指数 六方晶系的晶面指数标定

• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面 和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面 和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是(110) 和(100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
a、b、c为晶胞参数
[ 了解 ]
单斜
1 h2 k2 l2 2hl cos 2 2 2 2 2 2 2 d hkl a sin b c sin ac sin
1 1 2 d hkl (1 2 cos cos cos cos 2 cos 2 cos 2 ) h 2 sin 2 k 2 sin 2 l 2 sin 2 2hk [ (cos cos cos ) 2 2 2 a b c ab 2kl 2hl (cos cos cos ) (cos cos cos )] bc ac
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
●
Y
X
Z
练习
●
O X
Y
晶向符号 [221]
[001] [111]
● ●
常见的晶向指数
●
O
●
[010]
[100]
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
晶面指数的确定方法
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划 线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1
0,1,0 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1 2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 4°晶面指数（211）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1， a2，a3及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均 为120度，这样，其晶面指数就以(h k i l）四个 指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多 不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
O
●
Y
X
Z
练习
●
O X
Y
晶向符号 [221] [001] [111]
● ●
常见的晶向指数
●
O
●
[010]
[100]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。 • 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。 [001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面 [001]
4a2 已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向； 反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的 大小、形状。【物相分析】
4-3 六方晶系指数表示
• 上面我们用三个指数 表示晶面和晶向。这 种三指数表示方法， 原则上适用于任意晶 系。对六方晶系，取 a， b，c 为晶轴，而 a 轴 与 b 轴的夹角为120°， c 轴与 a，b 轴相垂直， 如右图所示。
3° (hkl）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划 线表示。 4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶向指数(h k i l)
i ＝－ ( h + k ) 。
பைடு நூலகம்
三斜
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm, c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
1 1 1 2 2 d110 7.417 4.9452
1
2 d 200
2
2
2 7.417 2
2
得出： 110 =0.41nm, d200=0.37nm d
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
h2 ＋ k2 ＋ l2 1 h2 k 2 l 2 ＝ 2 2 2 2 a2 d a b c d＝/（2sin） ∴ sin2 ＝ 2 （ h2 ＋ k2 ＋ l 2 ）
• 四指数表示是基于4个坐标轴：a1，a2，a3 和 c 轴，其中，a1，a2 和 c 轴就是原胞的 a，b 和c 轴，而 a3 = -(a1+a2)。下面就分别讨论用 四指数表示的晶面及晶向指数。 • 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶 系中的一样，步骤如下：（1）先找出该面在 四个坐标轴上的截距长度（以晶胞的点阵常数 a,c 为单位长）； （2）求其倒数并化为最简整数，即得(hkil)指 数，这样得到的晶面指数称为 Miller-Bravais 指数。
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直)
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
•
由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法由 晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种 等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大 的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了 使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指 数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示， 而采用四指数表示。
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。