华南理工大学高等数学统考试卷下1998bk

1998高等数学下册补考试卷及解答

一、单项选择题

1．[3分]设Ω为正方体10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z ，。),,(z y x f 在Ω上可积，试问下面各式中哪一式为在上的三重积分的值。 A. 3

11),,(lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→n n i n i n i f n i n B. n n n i n i n i f n i n 11),,(lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→ C. 3

1111),,(lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===∞→n n k n j n i f n i n j n k n D. n n k n j n i f n i n j n k n 1),,(lim 111∑∑∑===∞→ 2．[3分]⎰+++-=C dy y x x dx y

x y I 2222，因为2222

2)(y x x y x Q y P +-=∂∂=∂∂，所以 A.对任意闭曲线0:=I C B. 在曲线C 不围住原点时0=I

C. 因y

P ∂∂与x Q ∂∂在原点不存在，故对任意的闭曲线C ：0≠I D. 在曲线C 围住原点时0=I ，不围住原点时0≠I

3．[3分]设向量b a ,满足b a b a +=-，则必有

A. 0 =-b a

B. 0 =+b a

C. 0=⋅b a

D. 0 =⨯b a

4．[3分] 设OM 是从)0,0(O 到)1,1(M 的直线段，则与曲线积分ds e I OM y x ⎰+=22不相等的积分是 A.⎰102dx e x B. ⎰

102dy e y C. ⎰20dr e r D.

⎰1

02dr e r 5．[3分] 级数∑∞=12n n u 与∑∞=-112n n u 均收敛是∑∞

=1

n n u 收敛的

A.必要但非充分条件

B. 充分但非必要条件

C. 充分必要条件

D. 既非必要又非充分条件

二、解答下列各题

1、[6分] 设Ω是由22y x z +=及1=z 所围的有界闭域，试将⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ),,(化

成先对x 次对y 再对z 积分的三次积分式。

2、[6分]试确定∑=1n n n x n 的收敛域。 三、解答下列各题

1、[5分]设x y x z arctan )(+=，求

y z x z ∂∂∂∂, 2、[4分] 设xyz e z y x u =),,(，求

321===∂∂z y x x u 。 四、解答下列各题

1、[5分]已知幂级数 ∑∞=0n n

n x a 的收敛半径0≠R ，试求∑∞

=≠1)0(n n n n b x b a 的收敛半径。 2、[5分]由二重积分的几何意义，求

⎰⎰≤++--12222)11(y x dxdy y x

3、[5分]计算⎰⎰∑

++xydzdx dxdy z )1(，其中100222≤≤≥=+∑z x R y x 且上为的一

部分曲面，它的法线与x 轴的正向交成锐角，R 为正数。

4、[5分]求微分方程x e x y y y ++=-'-''1332的一个特解。

五、解答下列各题

1、[5分]设0 ≠a ，证明向量a a

b a b p 2-=与a 垂直 2、[5分]证明：若0),(1=y x u 和0),(2=y x u 是全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的两个解，则它们只差一个常数

六、解答下列各题

1、[6分]求曲面9=++xyz xy x 在点)3,2,1(处的切平面和法线方程。

2、[6分]求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-=23:t

y t t x L 在t 从1-=t 到1=t 部分所围区域的面积 七、解答下列各题

1、[6分]利用二重积分计算由平面

1=++c

z b y a x （其中0,,>c b a ）0,0,0===z y x 所围立体的体积。

2、[6分]设面密度2),(y y x =ρ的平面薄片由)0(>=+a a y x 及0,0==y x 所围成，试求它的质量。

八、解答下列各题

1、[6分]判别级数∑=1sin

n n

n 的敛散性。 2、[6分]讨论函数y y xy xy z 4422+--=的极值。