培优9-一次函数综合类问题四大类

一次函数与几何综合（讲义）

一、知识点睛

1. 一次函数表达式：y=kx+b （k , b 为常数，k 工0）

①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释•坡面的竖直高度 k 二竺，②b 是截距，表示直线与y 轴交点的纵坐标.

BM

2. 设直线 l i : y i =k i x+b i ，直线 12： y 2=k 2x+b 2，其中 k i ，k 2工0.

①若k i =k 2，且b i 工b 2，则直线l i II 12；

②若k i k 2=- i ，则直线l i 丄12.

3. 一次函数与几何综合解题思路

从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点.通过点的坐标 和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数 特征或几何特征解决问题.

i. 如图，点B, C 分别在直线y=2x 和y=kx 上,点A D 是x 轴上的两点，已知四边形ABCD 是

正方形，则k 的值为 ________ .

2. 如图，直线l i 交x 轴、y 轴于A , B 两点，OA=m , OB=门，将厶AOB 绕点O 逆时针旋转

90°得到△ COD . CD 所在直线12与直线l i 交于点E ,则l i _________ |2；若直线l i , l 2的斜率 分别为 k i , k 2,贝U k i k 2= ______ .

3. 如图，直线y 4x 8交x 轴、y 轴于A, B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,

3

交AB 于点D ，则点C 的坐标为 ______________ .

与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示, AM 即为竖直高度, 精讲精练

BM 即为水平宽度，则 第3题图

4. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象I 是第一、三象限的角平分线.

探索：若点A 的坐标为(3, 1),则它关于直线I 的对称点A 的坐标为 _________________ ; 猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m , n),则它关于直线I 的对称点P 的坐标为

应用：已知两点B(-2, -5), C(-1, -3)，试在直线I 上确定一点Q ,使点Q 到B , C 两 点的距离之和最小，则此时点 Q 的坐标为 ____________________ .

6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE: EA=5: 3, EC=15 5 ,

把厶BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处.若以点A 为原点，以 直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线 FC 的表达式为 5.

如图，已知直线* 1: y 彳x V 与x 轴交于点A

,

8. 如图，已知正方形 ABCD 的顶点A(1, 1), B(3, 1),直线y=2x+b 交边AB 于点E ,交边

CD 于点F ,则直线y=2x+b 在y 轴上的截距b 的变化范围是 _________________ :

2 8 x 与直线l 2： y=-2x+16相交于点C ,直线l i , |2分别交x

3 3 轴于A , B 两点，矩形DEFG 的顶点D , E 分别在l i , |2上，顶点F , G 都在x 轴上, 且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG ： S A ABC = _______ :

10.如图，在平面直角坐标系中，点 A , B 的坐标分别为A(4, 0), B(0,

-4), P 为y 轴上B 点下方一点，PB=m ( m>0),以点P 为直角顶

点，AP 为腰在第四象限内作等腰 Rt △ APM ：

(1) 求直线AB 的解析式；

(2) 用含m 的代数式表示点M 的坐标；

(3) 若直线MB 与x 轴交于点Q ,求点Q

的坐标：

9.如图，已知直线l i ： y

一次函数之存在性问题（讲义）

一、知识点睛

存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目, 主要考查运动的结果.

一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：

1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息;

2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；

3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题.

1. 如图，直线y 身x 3与x轴、y轴分别交于点A,点B,已知点P是第一象限内的

点，由点P，O, B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_______________ :

（1）求点B的坐标和k的值:

（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△ AOB 的面积是6?

（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点卩，使厶POA是等腰三角形？若存在, 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

精讲精练

2.如图，直线y=kx-4与x轴、

3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC, OA分别与x轴、y轴重合，AB //

OC,Z AOC=90°, / BCO=45°, BC=6©，点C 的坐标为(-9, 0).

(1)求点B的坐标.

(2)若直线BD交y轴于点D,且OD=3，求直线BD的表达式.

(3)若点P是(2)中直线BD上的一个动点，是否存在点P,使以O, D, P为顶点的三角形

是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

OB 3

4. 如图，直线y=kx+3与x 轴、y轴分别交于A, B两点，，点C是直线y=kx+3上

OA 4

与A,B不重合的动点.过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使厶BCD 与厶AOB全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.