求积分的几种常规方法

合肥学院论文
求积分的若干方法
姓名：陈涛
学号：1506011005
学院：合肥学院
专业：机械设计制造及其自动化
老师：左功武
完成时间：2015年12月29日
求积分的几种常规方法
陈涛
摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。

为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。

关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法
引言
数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。

其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。

一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则
和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。

本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

1 积分的概念
设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

记作∫f(x)dx。

其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

1.1 不定积分
积分还可以分为两部分。

第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c
不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。

例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。

函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。

如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。

1.2 定积分
相对于不定积分，还有定积分。

所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。

用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。

实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。

而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分.
用公式表示是：∫[a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n
定积分是以平面图形的面积问题引出的。

y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0<x1<...<xn=b，取ζi∈[xi-1，xi]，记Δxi=xi－xi-1，，则pn为S的近似值，当n→+∞时，pn的极限应可作为面积S。

把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念：对于定义在[a，b]上的函数y=f（x），作分划a=x0<x1<...<xn=b，若存在一个与分划及ζi∈[xi-1，xi]的取法都无关的常数I，使得,其中则称I为f（x）在[a，b]上的定积分，表为即称[a，b]为积分区间，f（x）为被积函数，a，b分别称为积分的上限和下限。

当f（x）的原函数存在时，定积分的计算可转化为求f（x）的不定积分：这是c牛顿莱布尼兹公式。

1.3 定积分与不定积分的联系
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。

它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？
定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们
有了本质的密切关系。

把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
若F'(x)=f(x)
那么∫[a:b]f(x)dx =F(a)-F(b)
但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。

虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：
Φ(x)=∫[a:b]f(t)dt
牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

1.4相关公式
f(x)
∫f(x)dx
k
kx
x^n
[1/(n+1)]x^（n+1）
a^x
a^x/lna
sinx
-cosx
cosx
sinx
tanx
-lncosx
cotx
lnsinx
secx
ln(secx+tanx)
cscx
ln(cscx-cotx)
(ax+b)^n
[(ax+b)^(n+1)]/[a(n+1)]
1/(ax+b)
1/a*ln(ax+b)
2求积分的常见方法
2.1求不定积分的方法
2.1.1直接积分法
直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。

该方法是求不定积分的
基本方法，是其它积分方法的基础，熟练地掌握基本的公式，在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。

(1) 利用二项式定理将二项式变为多项式，从而变为多个单项式求积分；
例1：
(2) 利用代数公式或三角公式将积商形式的被积函数化为代数和的形式，并使每一项都符合积分公式；
例2：
(3) 对分式函数还可以根据分母的情况，将分子拆项或拼凑，化为几个分式的代数和后再约分，使其符合积分公式；
例3：
(4) 对于含有绝对值的积分问题，要求先处理绝对值再积分。

由此可得，直接积分法使熟练掌握基本公式的基础。

但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式求解积分。

2.1.2换元积分法
所谓不定积分的换元法，其实质就是：当直接求某个积分有困难时，，把原来的积分转化为对新变量t的积分。

那么，不定积分的换元法有（其逆运算）导数的换元法（即复合函数的求导方法）而来，它是通过改变积分变量的方式来实现不定积分问题的转化。

不定积分的换元法按照换元前后新旧积分变量的关系可分为：第一类换元积分法和第二类换元积分法。

2.1.3有理函数的不定积分及待定系数法
有理函数的不定积分的定义和分析
有理函数的不定积分不仅是微分学中的一个重要内容，也是不定积分学习中的一个重点和难点。

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：R(x)=.
其中有理函数可以分解为多项式（即有理整式）与真分式之和，多项式易于求积分，而真分式可以化为部分分式的和求积分。

在将真分式分解成部分分式的和时，对于简单的问题，可以用观察法进行拆分；复杂的则要另寻他法。

那么，有理函数的积分形如的积分，其中；m和n均为非负整数；都是实数，且.
当m<n时，R(x)为有理真分式，否则为有理假分式，因假分式可以化为一多项式与真分式之和，所以只用掌握有理真分式的积分思想。

待定系数法在不定积分中的运用
那么，有理真分式的积分该如何求解呢？[9]
(1) 第一步：对分母Q（x）在实数解内作标准分解：
，在多项式Q（x）中均为自然数，而且的前s项的和与的前t项的和的二倍相加等于m；j=1，2，，t.
第二步：根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式，它所对应的部分分式是
对每个形如的因式，它所对应的部分分式是
.
把所有部分分式加起来，使之等于R（x）。

第三步：确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等。

于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于
待定系数的线性方程，这组方程即为要确定的系数。

(2) 对于有理真分式，可以看成以下几种情况：
①当分母Q(x)含有单因式x-a时，分解式中应有一项，A为待定系数；
②当分母Q(x)含有重因式时，部分分式中相应有n个项，分母按的次数依次降低为一次，分子为待定系数；
③当分母Q(x)中含有质因式时，部分分式中相应的有一项.
例15：求积分.
解：该被积函数为假分式，利用多项式除法，得
=
然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系数法，令
去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.
故
=
用待定系数法将其复杂的有理函数变为有理真分式的代数和，然
后用前面的方法逐项积分。

该方法的基本步骤：
①先考察被积有理函数是真分式，还是假分式。

如果是假分式，在通过带余除法化为多项式和真分式之和；如果是真分式，则进行第（2）步;
②在实数范围内把分母多项式分解成若干个一次因式和二次因式之积;
③设定真分式函数分解成若干部分分式之和的形式;
④利用待定系数法等方法求出各部分分式的分子所有系数；
⑤对多项式（如果有理函数是假分式）和各部分分式分别进行积分并求和。

2.2求定积分的常见方法
对于求定积分的常见方法可参考不定积分求原函数的方法在代入数值即可，但求定积分时也可以利用相关性质，例如当积分上下限互为相反数，被积函数为奇函数是，值为零；也可利用几何图形求积分值，例如当被积函数为圆时。

以及等等性质，这里不再做讨论。

参考文献
[1]尚馥娟.解析不定积分的计算[J].数学研究与教学.2007.
[2]同济大学数学系.高等数学.2007.
[3]合肥学院.陈秀.张霞.高等数学.北京：高等教育出版社.2010.。