几种定积分的数值计算方法

证明：
I I~~ b f (x)dx b a n f (2i1 2i )
将{i }映射到子区间
{a i 1 (b a), a i (b a)} a,b,
n
n
i 1,2,, n
最后,计算 I
的近似值 I~ , I~
ba n
n i 1
f (i ) ．
下面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性.
命题 1
设
f (x) C1a,b,记M
max
xa ,b
f
( x)
, x0
x1 (x a
x2
x1)(x x2 )dx (x x1)(x x2 )dx
x1
b
(x
x2
x1)(x
x2 )dx
记
x1
x2
b
L(x1, x2 ) (x x1)(x x2 )dx (x x1)(x x2 )dx (x x1)(x x2 )dx
a
x1
x2
不妨设 a x1 x2 b ,则将 L(x1, x2 ) 分别对求偏导数,得
L x1
(b
a)( x2
a
2
b)
( x2
x1 ) 2
0
L x2
(b a )( x1
a
2
b
)
(
x2
x1 ) 2
0
解得唯一驻点：
x1 x2
1 4 1 4
(3a b) (a 3b)
又
L(3a b , a 3b) (b a)3 , L(a,b) (b a)3
44
16
6
故当 a x1 x2 b 时,
3.1 平均值法
考虑定积分 I
b a
f
( x)dx
的近似计算,其中
f
(x) 在 a,b内可积,用平均值法计算该积分,
首先随机产生 n 个独立的随机变量,且服从在 a,b上均匀分布,即 i (i 1,2,n) ;其次,计
3
算 I
的近似值 I
,I
ba n
n i 1
f (i ) .
由中心极限定理知,若i (i 1,2,n) 相互独立、同分布,且数学期望及标准差 0 存
两点类似于梯形公
式构造“类梯形”公式
Si
ba [
n
f
(2i1 )
f
(2i )]
近类似
a ih
f (x)dx . a ( i 1) h
最后计算 I 的近似值 I~~ , I~~ b a n f (2i1 ) f (2i ) ．
n i1
2
下面证明“类梯形”方法可行性的两个命题：
命题 3
设
a ( i 1) h
i 1
f (i )
n
i 1
a ih a ( i 1) h
f
( x)dx
hf
(i )
于是
aih a ( i 1) h
f
( x)dx
hf
(i )
Mi 2
h2,i
1,2,, n
I I~ n M i h2 M (b a)2
i1 2
2n
即
I I~ O( 1 ) . n
''( ) f ''( ) 2k(x) 0 ,所以 k(x) f ''( ) ．将它代入（1）式,并两段同时从 a 到 b 积分, 2
6
得
b
a
f
x dx
b
2
a
f
x1
f
x2
b a
f
''( 2
)
(
x
x1
)(
源自文库
x
x2
)dx
M 2
b a
(x x1)(x x2 ) dx
M 2
取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图 1 中所示,则 A
ba n
n i 1
f (xi ).
图 1 分割曲边矩形近似积分
2.2 梯形法
梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图 2,从而得到 S 的近似值,
即
A
ba n
f
(a) 2
f
(b)
n1 i 1
f
(xi )
.
图 2 分割曲边梯形近似积分
f
x C2 a,b，记 M=max xa,b
f
'' x ，则 x1, x2 a
x1
x2 ，有
b
a
f
x dx
ba 2
f
x1
f
x2
b a3
12
M
．
证明： 过 x1, f x1 , x2, f x2 两点的直线方程为
P(x)
f
x1
f
x2
x2
f x1
x1
(
x
x1
)
所以 P(xi ) f (xi ),i 1, 2.令
2i
a
ba 2n
(2i
1 2i )
5
将 2i1 , 2i 分别映射到子区间
[a i 1 (b a), a 2i 1 (b a)]
n
2n
[a 2i 1 (b a), a i (b a)],i 1,2,3,, n
2n
n
然后在每个等分子区间上
[a
i
1 n
(b
a),
a
i n
(b
a)] 利用2i1 ,2i
[a,b] 连续且原函数为 F (x) ,则可用牛顿-莱布尼茨公式
b
f (x) F (b) F (a)
a
求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于
求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会
有这样的情况:
(1) 函数 f (x) 的原函数无法用初等函数给出.例如积分
2.3 抛物线法
抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 如图 3 所示.
图 3 抛物线积分
2
x0 , x1, x2 对应的曲线上的点 P0 , P1, P2 可以唯一地确定一条抛物线 y ax 2 bx c ,这条
抛物线将作将代替从 x0 至 x2 的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积
Abstract: Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords: Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法
摘 要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算 思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形
Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals
n
有对平均值法的改进，“类矩形” Monte-Carlo 方法,改进过程为：先将积分区间 a,b n
等分, 随机产生 n 个相互独立且服从 0,1上均匀分布的随机变量序列{i }, (i 1,2,n) ；然
后由这 n 个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换
i
a
ba n
( i
i
1),
i 1,2,n
在,则当 n 充分大时,随机变量Y
I I
渐近服从正态分布 N (0,1) ,即对任意的 t
0,
n
P{ Y
t}
P{ I - I
t } n
这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为 O( 1 ) . n
3.2“类矩形”Monte-Carlo 方法
1 由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为 O( ) ,就
1. 引言
在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数
f (x) 在区间[a,b] 连续且原函数为 F (x) ,则可用牛顿-莱布尼茨公式
b
a f (x) F (b) F (a)
求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科
学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 f (x) 在区间
max
xa ( i 1) h , a ih
f (x) ,i
1.2., n
I~ 与 I 如上,则 I~ 与 I 的误差满足 I I~ O( 1 ) . n
证明:
I I~
b a
f (x)dx b a n
n i 1
f (i )
由命题 1 得,
n i 1
a ih
n
f (x)dx h
1ex2 dx , 0
1 sin x
dx 0x
等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。
(2) 函数 f (x) 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。
(3) 函数 f (x) 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用.
由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解
成 许 多 小 的 曲 边 梯 形 面 积 之 和 . 常 采 用 均 匀 分 割 , 假 设 [a,b]上 等 分 n 的 小 区 间
x i-1
xi
h,
x0
a, xn
b ,其中 h
ba n
表示小区间的长度.
2.1 矩形法
1
矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到 S 的近似值.若
……
An / 2
h 3
[
f
(
xn2
)
4
f
(
xn1
)
f
(xn )]
n/2
n / 21
所以, S
A1
A2
An / 2
ba 3n
{[
f
(a)
f
(b)]
4
f (x2i1 ) 2
f (x2i )}
i 1
i 1
3.概率意义上的数值算法
概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 .尽管算 法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增 加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值.
数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,
平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一
个比较．
2.几何意义上的数值算法
s 在几何上表示以 [a,b]为底,以曲线 y f (x) 为曲边的曲边梯形的面积 A ,因此,计算
s 的近似值也就是 A 的近似值,如图 1 所示.沿着积分区间[a,b] ,可以把大的曲边梯形分割
分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第 1、2 个小区边梯形的面积:
A1
（x2 ax 2
x0
bx c)dx
h[ 3
f
(
x0
)
4
f
(
x1
)
f (x2 )]
上面利用了条件 P0 , P1, P2 是抛物线上的点以及等式 x2 x0 2x1 .同理可证：
A2
h[f 3
(x2 )
4f
(x3)
f
(x4 )]
a, b, 有
b a
f
( x)dx
f
(x0 )(b
a)
(b
a)2 2
M
证明:由 Lagrange 中值定理得
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
上式两边在 a,b积分,得
(介于x与x0之间)
b a
f (x)dx
f (x0 )(b a)
b a
f
( )(x
x0
)dx
4
R(x) f (x) P(x) k(x)(x x1)(x x2 )
（1）
将 x 看成a,b 上的一个定点,构造辅助函数
(t) f (t) P(t) k(x)(t x1)(t x2 )
由于 (x1) (x2 ) (x) 0 , 由 Rolle 中值定理, '(t) 在 a,b 内至少有两个零点, 对 '(t) 再 用 Rolle 中 值 定 理 , 知 ''(t) 在 a,b 内 至 少 有 一 个 零 点 , 即 存 在 a,b , 使
3.3“类梯形”Monte-Carlo 方法
再给出平均值法的另一种改进.首先将 a,b n 等分,再在每个子区间上随机产生 2n 个相
互独立且服从 [0,1] 上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得{2i1,2i }, (i 1,2,3,, n) ;
做变换
2i1
a
ba 2n
(2i
2
2i1 )
b
a
f
x dx
ba 2
f
x1
f
x2
M 2
L(x1, x2 )
b a3
12
M
结论成立．
命题 4 设f (x) C 2 a,b,
h
ba,M n
max
xa ,b
f (x) , M i
max
xa ( i 1) h , a ih
f (x) ,i
1,2,n
7
I 与 I~~ 如上,则 I 与 I~~ 的误差满足: I I~~ O( 1 ) . n2
由 f (x) 得连续性,得
b
f (x)dx
a
f (x0 )(b a)
b a
f ( )(x x0 ) dx M
b
a x x0 dx
M
x02
(a
b)x0
1 (a2 2
b2 )
(b
a)2 2
M.
命题 2
设
f (x) C1a,b, h
ba ,
n
M
max
xa ,b
f (x) , M i